1、在此输入您的封面副标题2020高中数学竞赛辅导课件（联赛版）基础微积分2022-12-222022-12-23第十三讲第十三讲重积分的应用重积分的应用 2022-12-24求求曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积.1 DdyxfV),(求求平平面面图图形形的的面面积积.2 DdA 1求求不不均均匀匀薄薄板板的的质质量量.3 Ddyxm ),(心心求求不不均均匀匀薄薄板板的的质质量量中中.4二重积分的应用二重积分的应用 2022-12-25xxyyo d dyxdm),(dyxxdMy),(dyxydMx),(D DDxDDydyxdyxymMydyxdyxxmMx ),(),(),(),(2022-1
2、2-26ADyxayx的的面面积积所所围围成成区区域域求求双双纽纽线线例例)(2)(1222222 方方程程为为双双纽纽线线的的极极坐坐标标 2cos222ar 1A利利用用对对称称性性14 AA 解解2022-12-27是是第第一一象象限限内内的的部部分分区区域域 2cos2040:1arD 14DDdxdydxdyA 4022cos4 da 2cos20404ardrd22a 2022-12-28对对称称轴轴垂垂直直求求由由两两个个半半径径相相等等且且其其例例 2V的的体体积积相相交交的的圆圆柱柱面面所所围围立立体体解解的的方方程程为为设设两两圆圆柱柱面面222222azxayx oxyz
3、22xaz 2210:xayaxoD2022-12-29于于是是得得到到 122188DdxaVV 2202208xaadyxadx3022316)(8adxxaa 2022-12-210.),0(),0()(,)(,0,3222222mkkxybaaayxbbyxxxyD求求薄薄板板的的质质量量为为常常数数其其面面密密度度围围成成由由设设不不均均匀匀薄薄板板例例 解解如如右右图图D DDxydkkxydm xoyxy Drdrdrrk sincosa2022-12-211 24544cossin)(4 dabk24644)sin61()(4 abk )811)(3244 abk)(12744
4、abk sin2sin2324sincosbadrrdk2022-12-212 例例4 4 泊松（泊松（PoissonPoisson）积分的计算）积分的计算0,2022 aadxexa 泊松积分泊松积分在概率论与数学物理方法中有重要应用在概率论与数学物理方法中有重要应用可以利用可以利用二重积分的方法二重积分的方法算出泊松积分算出泊松积分首先证明首先证明 dxex2 先考虑以原点为中心，对称于坐标轴，边长先考虑以原点为中心，对称于坐标轴，边长为为2a2a的正方形域的正方形域 D D aaxdxe22)(2 aaxdxe aaxaaxdxedxe22 aayaaxdyedxe22 ayaaxayx
5、de 222022-12-213 Dyxde 22 aayxaadyeedx22 aayaaxdyedxe22因为定积分的数值与变量记号无关，得因为定积分的数值与变量记号无关，得 aayaaxdyedxe22所以，有所以，有2)(222 aaxDyxdxede 时时的的极极限限只只需需求求当当 axyoa2022-12-214RDR的的圆圆域域半半径径为为再再考考虑虑以以原原点点为为中中心心,利用极坐标利用极坐标 Dyxde 22 Rrdrred0202 RDrrdrde 2 200221deRr)1(2Re 之之间间大大圆圆与与一一个个夹夹在在一一个个小小圆圆将将正正方方形形域域最最后后Rr
6、DDD,xyoRr a2022-12-215 RrDyxDyxDyxdedede 222222)1()()1(2222Raaxredxee 得得则必有则必有再令再令,aRr 2)(2dxex即即 dxex2 因为上述广义积分收敛，且被积函数为偶函因为上述广义积分收敛，且被积函数为偶函数，所以有数，所以有 0222dxedxexx2022-12-216于是，有于是，有202 dxex得得则则令令,1,duadxaxu 002221dueadxeuxaa2 2022-12-217三重积分的应用三重积分的应用空空间间立立体体的的体体积积.1 dVV1不不均均匀匀物物体体的的质质量量.2 dVzyxm
7、),(2022-12-218不不均均匀匀物物体体的的质质心心.3 dVzyxyMdVzyxxMdVzyxzMzxyzxy),(),(),(2022-12-219物物体体的的质质心心坐坐标标 dVzyxdVzyxxx),(),(,),(),(dVzyxdVzyxyy dVzyxdVzyxzz),(),(2022-12-220不不均均匀匀物物体体的的转转动动惯惯量量.4urdV dVzyxzyxrJu),(),(22022-12-221轴轴的的转转动动惯惯量量物物体体对对zyx,dVzyxyxJdVzyxxzJdVzyxzyJzyx),()(),()(),()(222222物物体体对对原原点点的的
8、转转动动惯惯量量 dVzyxzyxJO),()(2222022-12-222.,),(25222求求该该球球体体的的质质心心原原点点距距离离的的平平方方标标处处的的密密度度等等于于该该点点到到坐坐上上任任一一点点设设球球体体例例zyxRzzyx 解解轴轴对对称称球球体体的的质质量量分分布布关关于于 z即即有有轴轴上上位位于于所所以以质质心心,),(zzyx0 yx dVzyxzdVzyxz),(),(2022-12-223 zdVzyxzdVzyx)(),(222 cos20222020sincosRddd 2066cos664sincos2 dR6207638sincos364RdR 利用球
9、坐标系利用球坐标系2022-12-224 dVzyxdVzyx)(),(222 cos20222020sinRddd 2055cos532sin2 dR520551532sincos564RdR Rz45 故故)45,0,0(R球球体体的的质质心心坐坐标标为为2022-12-225.,6的的引引力力的的一一单单位位质质点点正正圆圆锥锥体体对对位位于于其其顶顶点点的的均均匀匀密密度度为为半半顶顶角角为为求求高高为为例例 hxyozh 解解取取坐坐标标系系如如图图所所示示即即有有分分量量为为零零轴轴上上的的在在引引力力由由对对称称性性知知,yxF,0 xF0 yF轴轴上上的的分分量量微微元元为为在
10、在zrzrdVkFddFz21cos 222,zyxrk 为为引引力力常常数数其其中中2022-12-226于于是是dVzyxzkFz 23222)(dddkhsincos2cos03020 0sin2dhk)cos1(2 hk2022-12-227证证明明：数数，上上连连续续、正正的的单单调调减减函函是是若若例例1,0)(7xf.)()()()(1010210102 dxxfdxxfdxxxfdxxxf证证明明 10102)()(dyyfdyyf 1010210102)()()()(dxxfdxxfdxxxfdxxxf 1021010102)()()()(dyyfdxxxfdyyfdxxxf
11、化化为为二二重重积积分分2022-12-228 1021010210)()()()(dxdyyfxfxdxdyyfxfx只只需需证证明明0)()()()(1010 dxdyxfyfyfxfx由由轮轮换换对对称称性性 1010)()()()(dxdyxfyfyfxfx 1010)()()()(dxdyyfxfxfyfy又又仅仅需需证证2022-12-2290)()()(xfyfyx即即，),()(,)(xfyfyxxf 时时有有当当是是单单调调减减函函数数由由于于,0)(xf又又0)()()()(yxxfyfyfxf由由此此向向上上逆逆推推即即可可。1010)()()()(2dxdyxfyfyfxfx 10100)()()()(dxdyyxxfyfyfxfx)(证证明明此此题题也也可可利利用用含含参参积积分分
