1、在此输入您的封面副标题2020高中数学竞赛辅导课件（联赛版）基础微积分2022-12-222022-12-23第十八讲第十八讲二、有向曲面二、有向曲面一、格林公式一、格林公式2022-12-24一、一、格林公式格林公式 研究平面向量场的工具研究平面向量场的工具连接平面向量场微分与积分的桥梁连接平面向量场微分与积分的桥梁 格林公式及其变形和推广在数学物理中有格林公式及其变形和推广在数学物理中有许多应用许多应用 用格林公式研究有关平面向量场的某些用格林公式研究有关平面向量场的某些问题问题 平面向量场求势函数平面向量场求势函数,二元微分形式求二元微分形式求 原函数的问题原函数的问题2022-12-2
2、5则则有有续续的的一一阶阶偏偏导导数数上上有有连连在在函函数数光光滑滑曲曲线线是是分分段段其其边边界界为为有有界界闭闭域域若若定定理理,),(),(,:2DyxYyxXLRD DLdxdyyXxYYdyXdx)(的的正正方方向向表表示示沿沿边边界界其其中中LL D L L L LD L单连域单连域复连域复连域2022-12-26平面域的边界闭曲线上的第二型曲平面域的边界闭曲线上的第二型曲线积分与闭曲线所围平面域上的二线积分与闭曲线所围平面域上的二重积分之间的联系重积分之间的联系格林公式揭示了：格林公式揭示了：注意三点：注意三点：(1)封闭的边界曲线封闭的边界曲线 (2)正方向正方向 (3)有连
3、续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数2022-12-27证证先先证证明明 DLdxdyyXXdx假假设设 )()(:21xyyxybxaDxyo)(2xyy ab)(1xyy DAB A B)1(L由由二二重重积积分分计计算算公公式式得得 )()(21xyxybaDdyyXdxdxdyyX baxyyxyydxyxX)()(21),(babadxxyxXdxxyxX)(,)(,12)2(2022-12-28另另一一方方面面 LXdx因因此此有有都都有有上上在在上上在在,0,dxbxBBaxAA BABBBAAAXdxXdxXdxXdx BABALXdxXdxXdx abbadxxyxXdxxyxX
4、)(,)(,21 babadxxyxXdxxyxX)(,)(,21)3(DLdxdyyXXdx可可知知式式式式和和比比较较,)3()2(xyo)(2xyy ab)(1xyy AB A B L2022-12-29同同理理可可证证 DLdxdyxYYdy)4(便便得得到到要要证证的的格格林林公公式式式式相相加加式式和和把把,)4()1(DLdxdyyXxYYdyXdx)(2022-12-210如如下下图图所所示示若若区区域域 DxyoxyoDD形形状状的的区区域域分分成成若若干干个个上上述述可可作作一一些些辅辅助助线线把把 D2022-12-211其其中中计计算算例例,)()3(1 Ldxyxdy
5、yx逆逆时时针针方方向向为为圆圆周周,9)4()1(22 yxL解解1化化为为定定积积分分的的参参数数方方程程为为L 20,sin34,cos31 ttytx Ldxyxdyyx)()3(ttttsincos18cos27cos21(220 dttt)sin9sin92 202218)sin9cos27(dttt2022-12-212,),(xyyxX yxyxY 3),(.,为为封封闭闭曲曲线线且且为为正正方方向向依依题题意意知知 L故故由由格格林林公公式式得得到到上上有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数在在,),(),(DyxYyxX Ldxyxdyyx)()3(Ddxdyxyyyxx)(
6、)3(Ddxdy2 18 解解2利用格林公式利用格林公式2022-12-213到到由由点点为为曲曲线线设设例例)0,0(sin2OxyL Lxxdyxyedxxyye)cos()2sin(试试计计算算曲曲线线积积分分的的一一段段点点,)0,(AxyoALD补补成成封封闭闭路路径径！解解2 OAAOLxLxdyxyedxxyye)()cos()2sin(不封闭！不封闭！=0利利用用格格林林公公式式解解1直直接接化化为为定定积积分分。略略2022-12-214 Ddxdyx)21(xdyxdxsin00)21(0sin)21(xdxx 00cos2cos)21(xdxxx)1(2 Dxxyex)c
7、os(dxdyxyyeyx)2sin(反方向反方向2022-12-215为为包包围围原原点点其其中中计计算算例例LyxxdyydxL,322 .,逆逆时时针针方方向向的的任任意意封封闭闭曲曲线线xyoL,),(22yxyyxX 22),(yxxyxY 解解不不连连续续在在点点)0,0(),(),(yxYyxX公公式式？能能不不能能利利用用 Green把把原原点点“挖挖掉掉”！0)()(2222222222 yxyxyxyxyXxY1L2022-12-21600112222 DLLdxdyyxxdyydxyxxdyydx 12222LLyxxdyydxyxxdyydx 022)cos(cos)s
8、in(sin dttttt 02 dt 2 tytxLsincos:1 )20(t循环常数循环常数得得到到利利用用格格林林公公式式,2022-12-217如如图图其其中中计计算算例例LyxxdyydxBAL,4)()(22 xyLBA解解0)()(2222222222 yxyxyxyxyXxY利利用用格格林林公公式式 )()()()(1110)1(ABLDLLLBALd 231sincos2222 dttt2L1L112022-12-218 )()()()(2220)2(ABLDLLLBALd 21002 dtdD的的边边界界！不不是是是是复复连连域域，注注意意：2DLLD 差差一一个个循循环
9、环常常数数。原原点点的的封封闭闭曲曲线线。否否则则要要再再加加一一条条包包围围如如果果利利用用格格林林公公式式，还还2022-12-219.,.0),cos(5为为曲曲线线的的外外法法线线方方向向平平面面封封闭闭曲曲线线为为简简单单光光滑滑的的其其中中证证明明例例nLdlnyL 证证,),(切切向向量量为为设设 ny ),(x则则 cos),cos(),cos(xny LLLdxdlxdlny),cos(),cos(00 Dd 由由格格林林公公式式)0,1(YXxyLxy n2022-12-220可可以以得得到到则则利利用用格格林林公公式式若若令令特特别别,xYyX AdxdyxdyydxDL
10、22 的的面面积积区区域域D区区域域面面积积的的公公式式利利用用曲曲线线积积分分计计算算平平面面 LxdyydxA212022-12-221 2021abdtab 20)sin(sin21tatbAdttbta)cos(cos 23的的面面积积求求椭椭圆圆例例142222 byax解解椭椭圆圆参参数数方方程程 tbytaxsincos LxdyydxA21)20(t2022-12-222 DDdxdyyXxYYdyXdx)(格林公式格林公式jYiXv 平平面面向向量量场场kyXxYv)(rot YdyXdxldv 格林公式格林公式可以写成：可以写成：DDdxdykvl dv)rot(格林公式的
11、旋度形式格林公式的旋度形式格林公式的其他形式格林公式的其他形式2022-12-223得得到到格格林林公公式式运运用用在在区区域域对对向向量量场场,DjXiYu DDdxdykul du)rot(的的关关系系和和注注意意到到vu格林公式形式为格林公式形式为 DdxdyyYxX)(Ddlnv Ddxdyvdivv nuyxoDD nvu 格林公式的散度形式格林公式的散度形式2022-12-224向向量量处处有有两两个个方方向向相相反反的的法法在在点点量量上上每每一一点点都都有有非非零零法法向向设设曲曲面面),(,zyxMS),(),(zyxnzyxn 和和 S Sn n),(zyxM 都连续变化都
12、连续变化和和),(),(zyxnzyxn 如果在曲面上任取一点如果在曲面上任取一点,当该点在曲面上连当该点在曲面上连续运动又回到出发点时续运动又回到出发点时,其单位法线向量也回其单位法线向量也回到原先的位置到原先的位置.光滑曲面光滑曲面:双侧曲面双侧曲面:二、有向曲面二、有向曲面2022-12-225n S Sn单侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带双侧曲面双侧曲面n 2022-12-226有向曲面有向曲面:指定曲面的一侧为正，即在两个单位法向指定曲面的一侧为正，即在两个单位法向量中选定一个为正量中选定一个为正.0),(:)1(zyxFS),(),(zyxFzyxFn ),(),(),(:)2(vuzzvuyyvuxxS 222CBAkCjBiAn ),(:)3(yxfzS 22)()(1yfxfyfxfkjin 2022-12-227有向曲面的边界有向曲面的边界:.是是有有向向曲曲线线的的边边界界有有向向曲曲面面SS.组组成成右右手手系系的的单单位位法法向向量量的的方方向向与与有有向向曲曲面面nSS nSS 有向面积微元：有向面积微元：dSnSd,为为正正侧侧单单位位法法向向量量其其中中n dzzdSyx221 曲曲面面面面积积微微元元
