1、上页下页返回数学分析CAI电子教案引 言 在函数项级数中，除幂级数外，还有一类非常重要的函数项级数，它的各项皆为三角函数，我们称之为傅里叶级数。它在电学、力学、声学等学科中都有着广泛而又重要的应用；拉普拉斯变换的实质仍然是积分运算，它在电学、力学、控制论等工程技术和科学研究中有比傅里叶变换更加广泛的应用。本章先从傅里叶级数的定义出发，导出拉普拉斯交换的定义，接着简要介绍拉普拉斯变换以及它的逆变换的基本性质与简单应用。上页下页返回数学分析CAI电子教案第九章第九章 傅里叶级数与拉普拉斯变换傅里叶级数与拉普拉斯变换 9.1 傅里叶级数 9.2 拉普拉斯变换及其性质 9.3 拉普拉斯逆变换及性质 9
2、.4 数学实验：求函数的拉普拉斯变换 与拉普拉斯逆变换上页下页返回数学分析CAI电子教案9.1 傅里叶级数 9.1.1 傅里叶级数 9.1.2 函数展开成傅里叶级数 上页下页返回数学分析CAI电子教案9.1.1、傅里叶级数 1、三角函数系的正交性 cosxsin xcos2xsin2xcosnxsinnx 函数族：1，称为三角函数系。定理定理1.（三角函数系的正交性）三角函数系中任意的两 个不同函数的积在上 的积分等于0，即有,上页下页返回数学分析CAI电子教案1 cos0nxdx （n=1,2.）1 sin0nxdx （n=1,2.）cossin0mxnxdx （m,n=1,2.）sinsi
3、n0mxnxdx （m,n=1,2.且m n)coscos0mxnxdx （m,n=1,2.且m n)上页下页返回数学分析CAI电子教案2、傅里叶级数 称函数项级数 为傅里叶级数，01cossin2nnnaanxbnx0,1,2nna a bn 称为傅里叶级数的系数，简称为傅里叶系数。定理定理2（收敛定理）设函数 是以为周期 的 f x2周期函数，若在一个周期 上满足条件：,上页下页返回数学分析CAI电子教案（1）为连续函数或者仅有有限个第一类间断点；（2）仅有有限个极值点；f x f x 则 的傅里叶级数收敛，且有 f x （1）当 是 的连续点时,的傅里叶级数x f x f x收敛于 .f
4、 x（2）当 是 的间断点时,的傅里叶级数 x f x f x上页下页返回数学分析CAI电子教案收敛于这一点处的的左、右极限的算术平均值：。002f xf x上页下页返回数学分析CAI电子教案9.1.2、函数展开成傅里叶级数 f x2 01cossin2nnnaf xanxbnx 设 是以 为周期的周期函数，要将其展开成 傅里叶级数 就必须把 这些傅里叶系数求出来，0,1,2nna a bn 如何来求呢？上页下页返回数学分析CAI电子教案设 01cossin2nnnaf xanxbnx 对上式两边 从 到逐项积分：01cossin2nnnaf x dxdxanxdxbnxdx上页下页返回数学分
5、析CAI电子教案 根据三角函数的正交性，上式右边除第一项外，其余各 项均为零，所以 00()()()2af x d xd xa于是得 01()()af x d x 其次求 ，用 乘 两边，再从-到 nacoskx 逐项积分得上页下页返回数学分析CAI电子教案01()coscoscos cossin cos2nnnaf xkxdxkxdxanxkxdx bnxkxdx根据三角函数系的正交性，上式右边除n=k时 coscosnxkxdx不等于零外，其余各项均为零，所以 2coscoskkf xkxdxakxdxa于是得 1()cos0,1,2,kaf xkxdxk上页下页返回数学分析CAI电子教案
6、同理可得 1()sin1,2,kbf xkxdxk例例1 设f(x)是以 2 为周期的函数，它在 上的 ,表达式为 将 展开10()10 xf xx成傅里叶级数.()f x解解 所给函数 在点处不连续，(0,1,2)xkk 上页下页返回数学分析CAI电子教案在其它点都连续，满足收敛定理的条件。它可以展开成 傅里叶级数，其傅里叶系数为:1()cosnaf xnxdx 00111()sin1 sinsinnbf xnxdxnxdxnxdx00111cos1 cos0(1,2)nxdxnxdxn上页下页返回数学分析CAI电子教案001 1111coscos1 coscos1nxnxnnnnn4,1,
7、3,5,21(1)0,2,4,6,nnnnn 所以当 时411()sinsin3sin(21)321f xxxnxn(0,1,2,)xkk 上页下页返回数学分析CAI电子教案(0,1,2,)xkk 当 时，上式右边收敛于(0)(0)11022ff函数图形如91所示图 9-1上页下页返回数学分析CAI电子教案 应当注意，如果函数 只在 上有意义，并 f x,且满足收敛定理的条件，那么我们可以在 外,补充函数 的定义，使它拓广成以 为周期的周 f x2期的周期函数 ，按这种方式拓广函数的过程称 F x为周期延拓，这样 就是以 为周期的周期函数，F x2上页下页返回数学分析CAI电子教案而且满足收敛
8、定理的条件，我们可以将 展开成傅里叶级数，然后限定 在 内 ，此时有 F xx,F xf x，这样就得到了 的傅里叶级数展开 f x式，根据收敛定理，该傅里叶级数在区间端点 x处收敛于 1002ff上页下页返回数学分析CAI电子教案例例2 将函数 展开成傅里叶级数。,00 xxf xxx，解解 所给函数在区间 上满足收敛定理条件，把 ,它拓广成以 为周期函数。因为函数 在2 f x上连续，所以拓广后的周期函数的傅里叶级数在,上收敛于 。计算傅里叶系数如下：f x上页下页返回数学分析CAI电子教案 00111coscoscosnaf xnxdxxnxdxxnxdx022201sincos1sin
9、cos2cos1xnxnxxnxnxnnnnnn24,1,3,5,0,2,4,6,nnn上页下页返回数学分析CAI电子教案 02200001111122xxaf x dxx dxxdx 00111sinsinsinnbfxnxdxxnxdxxnxdx02201cossin1cossin01,2,3,xnxnxxnxnxnnnnn所以 22411coscos3cos5,235fxxxxx 上页下页返回数学分析CAI电子教案图92 f x2在收敛定理中，是以 为周期的函数，或者定义在 上然后作以 为周期的延拓的函数，下,2面讨论以 为周期的函数的傅里叶级数展开式。2l上页下页返回数学分析CAI电子
10、教案2l f x定理定理3 设周期为 的周期函数 满足收敛定理的条 件，则它的傅里叶级数展开式为：01cossin,(1)2nnnan xn xf xabxl lll 1()cos0,1,2,(2)1()sin1,2,3lnllnln xaf xdxnlln xbf xdxnll其中 上页下页返回数学分析CAI电子教案 f x当 为奇函数时，1sin,(3)nnn xf xbxl ll 其中 02sin1,2,3(4)lnn xbf xdxnll f x当 为偶函数时，01cos,(5)2nnan xf xaxl ll 其中 02cos0,1,2,(6)lnn xaf xdxnll上页下页返回
11、数学分析CAI电子教案例例3 设 是周期为4的周期函数，它在 上的 f x2,2表达式为:0,20,0.,02xf xkkx常数将 展开成傅里叶级数。f x解解 这时 ，按公式（2）有2l 22001cossin00222nn xkn xakdxnn上页下页返回数学分析CAI电子教案0202011022adxkdxk22001sincos222nn xkn xbkdxn 2,1,3,51 cos0,2,4,6knknnnn，将求得的 系数代入（1）式，得 ,nna b上页下页返回数学分析CAI电子教案 21315sinsinsin.223252kkxxxf x;0,2,4,xx 当 时，0,2
12、,4,x 上式右端收敛于(20)(20)22ffk 的傅里叶级数的和函数的图形如图9-3所示。f x上页下页返回数学分析CAI电子教案图9-3应当注意的是，在实际应用中，有时需要把定义在 0,0ll或上的函数展开成余弦级数或者正弦级数,为此，先把定义在 上的函数作 0,0ll或上页下页返回数学分析CAI电子教案偶式延拓或作奇式延拓到 上，然后求延拓后函数 ,l l的傅里叶级数。但是，对于定义在 上的 0,0ll或函数，将它展开成余弦级数或正弦级数时，可以不作延 拓而直接由（3）或（6）式计算傅里叶系数。例例4 把 在 内展开成：f xx(0,2)上页下页返回数学分析CAI电子教案(1)正弦级数
13、;(2)余弦级数.解解（1）为了要把 展开为正弦级数，对 作奇式周期延ff拓（图9-4）并由公式（3）有图9-4 上页下页返回数学分析CAI电子教案0,0,1,2,nan210244sincos1,1,2,.22nnn xbxdxnnnn所以当 时，由（6）及收敛定理得到0,2x 114412131sinsinsinsin.222232nnn xxxxf xxn 但当 时，右边级数收敛于0。0,2x 上页下页返回数学分析CAI电子教案图9-5（2）为了要把 展开为余弦级数，对 作偶式周期延拓（图9-5）。由公式（6）得 的傅里叶系数为：fff上页下页返回数学分析CAI电子教案0,1,2,nbn2002,axdx222220244coscos111,1,2,22nnn xaxdxnnnn212228,01,2,21kkaakk或 所以当 时，由（6）及收敛定理得到：0,2x上页下页返回数学分析CAI电子教案 2212222181cos221813151coscoscos23252kkxf xxkxxx
