1、一一 曲线的参数方程曲线的参数方程二二 圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程三三 直线的参数方程直线的参数方程四四 渐开线与摆线渐开线与摆线 1.渐形线是怎样的图形渐形线是怎样的图形?怎样建立怎样建立它的方程它的方程?2.摆线是怎样产生的摆线是怎样产生的?怎样建立摆怎样建立摆线的方程线的方程?学习要点1.渐开线渐开线 问题问题 1.把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧绕圆盘回放绳将绳子拉紧绕圆盘回放绳子子,将画出一条什么样的曲线将画出一条什么样的曲线?你能建立适当的坐标你能建立适当的坐标系写出这条曲线的方
2、程吗系写出这条曲线的方程吗?随着绳子的回放随着绳子的回放,铅笔画出的曲线如图铅笔画出的曲线如图.这条曲线我们叫这条曲线我们叫做做圆的渐开线圆的渐开线,绕绳绕绳子的那个定圆叫做渐子的那个定圆叫做渐开线的开线的基圆基圆.下面我们建立坐标系求渐开线的参数方程下面我们建立坐标系求渐开线的参数方程.BMOAxy如图如图,以基圆的圆心以基圆的圆心 O 为原为原点点,经过渐开线的起始点经过渐开线的起始点 A 的的直线为直线为 x 轴轴,建立直角坐标系建立直角坐标系.M(x,y)是渐开线上任一是渐开线上任一点点,MB 切圆切圆 O 于点于点 B.设基圆的半径为设基圆的半径为 r,取取AOB=j j(弧度弧度)
3、为参变数为参变数,j j则点则点 B 的坐标为的坐标为 B(rcosj j,rsinj j),OBBM,=BM(x-rcosj j,y-rsinj j).又又|BM|=rj j(AB弧长弧长),设设 的单位方向向量为的单位方向向量为 e,BM则则.e)(j jrBM=可取可取 e=(sinj j,-cosj j).BMOAxyj j如图如图,以基圆的圆心以基圆的圆心 O 为原为原点点,经过渐开线的起始点经过渐开线的起始点 A 的的直线为直线为 x 轴轴,建立直角坐标系建立直角坐标系.M(x,y)是渐开线上任一是渐开线上任一点点,MB 切圆切圆 O 于点于点 B.设基圆的半径为设基圆的半径为 r
4、,取取AOB=j j(弧度弧度)为参变数为参变数,则点则点 B 的坐标为的坐标为 B(rcosj j,rsinj j),OBBM,=BM(x-rcosj j,y-rsinj j).又又|BM|=rj j(AB弧长弧长),设设 的单位方向向量为的单位方向向量为 e,BM则则.e)(j jrBM=可取可取 e=(sinj j,-cosj j).)cos ,)(sin(j jj jj j-=rBM则则=(rj jsinj j,-rj jcosj j).比较得比较得x=r(cosj j+j jsinj j),y=r(sinj j-j jcosj j).(j j 为参数为参数)这就是圆的渐开线的参数方程
5、这就是圆的渐开线的参数方程.(下面请看几何画板渐开线的形成下面请看几何画板渐开线的形成)渐 开 线(请稍候请稍候)第第 1、2 题题.1.如图如图,有一标准的渐开线齿轮有一标准的渐开线齿轮,齿轮的齿廓齿轮的齿廓线的基圆直径是线的基圆直径是 225 mm,求齿廓线求齿廓线 AB 所在的渐开所在的渐开线的参数方程线的参数方程.f f 225xyABO解解:由已知得基圆的半径为由已知得基圆的半径为r=112.5 mm,齿廓线齿廓线 AB 所在的渐开线所在的渐开线的参数方程为的参数方程为x=112.5(cosj j+j jsinj j),y=112.5(sinj j-j jcosj j).(j j 为
6、参数为参数)2.当当 时时,求出渐开线求出渐开线 上的对应点上的对应点 A,B,并求出点并求出点 A,B 间的距离间的距离.23 ,2 j j=-=+=.cossin,sincosj jj jj jj jj jj jyxBAOxy解解:,2时时 j j=2sin22cos +=x.2=2cos22sin -=y=1.点点 A 的坐标为的坐标为).1 ,2(如图如图,23时时 j j=23sin2323cos +=x.23-=23cos2323sin -=y=-=-1.点点 B 的坐标为的坐标为).1 ,23(-22)11()223(|-+-=AB.122+=2.摆线摆线 问题问题2.在车轮上喷
7、一个白色的印记在车轮上喷一个白色的印记,当车轮在笔当车轮在笔直的道路上滚动时直的道路上滚动时,白色印记的轨迹是什么曲线白色印记的轨迹是什么曲线?怎怎样建立轨迹的方程样建立轨迹的方程?请看下面的模拟动画请看下面的模拟动画:OAB 问问:轮子周长等于轨迹的轮子周长等于轨迹的OA弧长还是弧长还是OA线段长线段长?怎样建坐标系求轨迹的方程怎样建坐标系求轨迹的方程?随着轮子的滚动随着轮子的滚动,我们把轮上定点的轨迹叫做我们把轮上定点的轨迹叫做平平摆线摆线,简称简称摆线摆线,又叫又叫旋轮线旋轮线.如图如图,以轮子滚动的起始位置为原点以轮子滚动的起始位置为原点,滚动时所滚动时所在的直线为在的直线为 x 轴建
8、立直角坐标系轴建立直角坐标系.ABCDxyOEM设动圆为设动圆为 B,作作 BAx 轴于轴于 A,MCBA于于 C,MDx 轴于轴于 D.其半径为其半径为 r.取取MBA=j j(弧度弧度)为参变数为参变数.j jOA=AM 弧长弧长=rj j,设点设点 M 的坐标为的坐标为(x,y),则则 x=OD=OA-DA=rj j-MC=rj j-rsinj j,y=DM=AB-CB=r-rcosj j,如图如图,以轮子滚动的起始位置为原点以轮子滚动的起始位置为原点,滚动时所滚动时所在的直线为在的直线为 x 轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系.ABCDxyOEM设动圆为设动圆为 B,作作 BAx 轴于轴
9、于 A,MCBA于于 C,MDx 轴于轴于 D.其半径为其半径为 r.取取MBA=j j(弧度弧度)为参变数为参变数.j jOA=AM 弧长弧长=rj j,设点设点 M 的坐标为的坐标为(x,y),则则 x=OD=OA-DA=rj j-MC=rj j-rsinj j,y=DM=AB-CB=r-rcosj j,点点 M 的轨迹方程为的轨迹方程为)().cos1(),sin(为为参参数数j jj jj jj j -=-=ryrx这就是摆线的参数方程这就是摆线的参数方程.第第 3、4 题题.3.有一个半径是有一个半径是 a 的轮子沿着直线轨道滚动的轮子沿着直线轨道滚动,在在轮辐上有一点轮辐上有一点
10、M,与轮子中心的距离是与轮子中心的距离是 b(ba),求求点点 M 的轨迹方程的轨迹方程.xyOEM解解:建立如图的坐建立如图的坐标系标系.ABCDj j圆心为圆心为 B,BAx 轴于轴于 A,MCBA于于 C,MDx 轴于轴于 D.取取MBA=j j(弧度弧度)为参变数为参变数.则则 OA 等于滚动等于滚动 j j 弧度的大圆弧长弧度的大圆弧长,即即 OA=aj j,设点设点 M 的坐标为的坐标为(x,y),则则 x=OD=OA-DA=aj j-MC=aj j-bsinj j,y=DM=AB-CB=a-bcosj j,则则|AB|=a,|BM|=b.3.有一个半径是有一个半径是 a 的轮子沿
11、着直线轨道滚动的轮子沿着直线轨道滚动,在在轮辐上有一点轮辐上有一点 M,与轮子中心的距离是与轮子中心的距离是 b(ba),求求点点 M 的轨迹方程的轨迹方程.xyOEM解解:建立如图的坐建立如图的坐标系标系.ABCDj j圆心为圆心为 B,BAx 轴于轴于 A,MCBA于于 C,MDx 轴于轴于 D.取取MBA=j j(弧度弧度)为参变数为参变数.则则 OA 等于滚动等于滚动 j j 弧度的大圆弧长弧度的大圆弧长,即即 OA=aj j,设点设点 M 的坐标为的坐标为(x,y),则则 x=OD=OA-DA=aj j-MC=aj j-bsinj j,y=DM=AB-CB=a-bcosj j,则则|
12、AB|=a,|BM|=b.点点 M 的轨迹方程为的轨迹方程为)(.cos,sin为为参参数数j jj jj jj j -=-=baybax 4.一个半径是一个半径是 4r 的定圆的定圆 O 和一个半径是和一个半径是 r 的动的动圆圆 C 相内切相内切.当圆当圆 C 沿圆沿圆 O 无滑动地滚动时无滑动地滚动时,探求探求圆圆 C 上定点上定点 M(开始时在点开始时在点 A)的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程.ACMOxyBDEF解解:以以 O 为原点为原点,OA 所在所在直线为直线为 x 轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系.连接连接OC并延长交并延长交 O于于B,则则 B 为两圆切点为两圆切点.作作
13、CDx 轴于轴于 D,MEx 轴轴于于 E,MFCD于于 F.j j以以AOB=j j(弧度弧度)为参变数为参变数,MB弧长弧长=AB弧长弧长,即即 rBCM=4rj j,BCM=4j j.则则j j 4)2(-=DCM.32j j-=ACMOxyBDEFj j 4.一个半径是一个半径是 4r 的定圆的定圆 O 和一个半径是和一个半径是 r 的动的动圆圆 C 相内切相内切.当圆当圆 C 沿圆沿圆 O 无滑动地滚动时无滑动地滚动时,探求探求圆圆 C 上定点上定点 M(开始时在点开始时在点 A)的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程.解解:以以 O 为原点为原点,OA 所在所在直线为直线为 x 轴建立直
14、角坐标系轴建立直角坐标系.连接连接OC并延长交并延长交 O于于B,则则 B 为两圆切点为两圆切点.作作 CDx 轴于轴于 D,MEx 轴轴于于 E,MFCD于于 F.以以AOB=j j(弧度弧度)为参变数为参变数,MB弧长弧长=AB弧长弧长,即即 rBCM=4rj j,BCM=4j j.则则j j 4)2(-=DCM.32j j-=设点设点 M 的坐标为的坐标为(x,y),则则 x=OE=OD+DE=OD+FM)32sin(cos3j j j j-+=rry=EM=DC-FC)32cos(sin3j j j j-=rr=3rcosj j+rcos3j j,=3rsinj j-rsin3j.j.
15、ACMOxyBDEFj j则则 B 为两圆切点为两圆切点.作作 CDx 轴于轴于 D,MEx 轴轴于于 E,MFCD于于 F.以以AOB=j j(弧度弧度)为参变数为参变数,MB弧长弧长=AB弧长弧长,即即 rBCM=4rj j,BCM=4j j.则则j j 4)2(-=DCM.32j j-=设点设点 M 的坐标为的坐标为(x,y),则则 x=OE=OD+DE=OD+FM)32sin(cos3j j j j-+=rry=EM=DC-FC)32cos(sin3j j j j-=rr=3rcosj j+rcos3j j,=3rsinj j-rsin3j.j.cos3j j=4cos3j-j-3co
16、sj j,sin3j j=3sinj-j-4sin3j j,M的轨迹的参数方程为的轨迹的参数方程为)(.sin4,cos433为参数为参数j jj jj j =ryrxx=3rcosj j+rcos3j j=4rcos3j j.y=3rsinj j-rsin3j j=4rsin3j j.【课时小结课时小结】1.渐开线渐开线 一条细绳绕在一个圆盘上一条细绳绕在一个圆盘上,绳外端系绳外端系上画笔上画笔,将绳拉紧绕圆盘回放将绳拉紧绕圆盘回放,画笔画出画笔画出的一条曲线就叫的一条曲线就叫渐开线渐开线.绕绳子的圆盘叫绕绳子的圆盘叫基圆基圆.【课时小结课时小结】2.渐开线的方程渐开线的方程 以基圆的圆心以
17、基圆的圆心 O 为原点为原点,经过渐开线经过渐开线的起始点的起始点 A 的直线为的直线为 x 轴轴,建立直角坐标建立直角坐标系系.(j j 为参数为参数)x=r(cosj j+j jsinj j),y=r(sinj j-j jcosj j).BMOAxyj jr其参数方程为其参数方程为【课时小结课时小结】3.摆线摆线 在一圆轮上确定一定点在一圆轮上确定一定点,当轮子滚动时当轮子滚动时,定点随着轮子的滚动所产生的轨迹叫做定点随着轮子的滚动所产生的轨迹叫做平摆平摆线线,简称简称摆线摆线,又叫又叫旋轮线旋轮线.【课时小结课时小结】4.摆线的方程摆线的方程 以轮子滚动以轮子滚动的起始位置为原的起始位置为原点点,滚动时所在滚动时所在的直线为的直线为 x 轴建轴建立直角坐标系立直角坐标系.ABCDxyOEMj jr其方程为其方程为)().cos1(),sin(为为参参数数j jj jj jj j -=-=ryrx
