1、第一章 经济中常用函数的描述目目 录录C O N T E N T S1市场需求问题及解决方案市场需求问题及解决方案Market demand problems and Solutions2 使用使用MathStudio绘制函数图像绘制函数图像Drawing function images using mathstudio3常用经济函数常用经济函数Common economic function4进一步学习的数学知识：函数进一步学习的数学知识：函数Further mathematics knowledge:function市场需求问题市场需求问题及解决方案及解决方案Market demand p
2、roblems and Solutions1一、问题引入某城市滴滴快车收费标准如下某城市滴滴快车收费标准如下(1)小赵小赵7:30坐车坐车6公里，时间公里，时间35分钟，产生的费用是多少？分钟，产生的费用是多少？(2)小赵小赵 22:00后坐车后坐车6公里，时间公里，时间20分钟，产生的费用是多少？分钟，产生的费用是多少？(3)小赵小赵22:00后坐车后坐车16公里，时间公里，时间42分钟，产生的费用又是多少？分钟，产生的费用又是多少？时间时间里程费里程费（12公里以内）公里以内）里程费里程费（12公里以外）公里以外）工时费工时费 05:0022:001.6元元/公里公里 0.30元元/分分钟
3、钟 22:00次日次日05:001.9元元/公里公里 全天全天 2.6元元/公里公里引例引例一、问题引入小赵坐车费用小赵坐车费用:里程费里程费 +工时费工时费里程长，空置率高里程长，空置率高 有了远途费有了远途费.具体：里程具体：里程 里程费；里程费；工时工时 工时费，工时费，抽象：变量抽象：变量 x 变量变量 y问题分析问题分析 比较问题比较问题(1)和问题和问题(2)：分析问题分析问题(3)22:00后交通更顺畅，总费用更低。后交通更顺畅，总费用更低。进一步思考进一步思考二、函数的概念1.1.函数的定义函数的定义设设 X 和和 Y 是两个集合，如果对于每一个是两个集合，如果对于每一个 ，按
4、照对应法则，按照对应法则 f ,都有都有唯一的唯一的 与之对应，则称与之对应，则称 X 和和 Y 之间存在一个函数关系之间存在一个函数关系 f ,一般记一般记为为()yf xxyfXxYy二、函数的概念2.2.函数关系的表示法函数关系的表示法（1）解析法）解析法 sin(,),1,1yxxy ，),0),(,2yxxy（2）表格法）表格法涵义涵义函数关系函数关系y=f(x)(GDP与年份的关系与年份的关系,单位单位:亿美元亿美元)集合集合年份年份2004200520062007200820092010XGDP19316223442680134022430264996459847Y表表1-1 中
5、国中国2004年年2010年年GDP与年份的关系与年份的关系二、函数的概念（3）图像法）图像法正切函数正切函数 的图像的图像tanyx 函数函数 图像图像ln 2yx2.2.函数关系的表示法函数关系的表示法图图1-1正切函数图像正切函数图像 图图1-2 的图像的图像xy2ln三、函数关系的建立例例1.1 某企业组装某产品每日最多某企业组装某产品每日最多100套，其中组装场地、组织设备占用费用为套，其中组装场地、组织设备占用费用为11300元，每套产品组装人员计件工资元，每套产品组装人员计件工资10元、半成品成本元、半成品成本1000元、材料费用元、材料费用10元，元，电费电费2元，试建立该企业
6、产品的日生产成本函数元，试建立该企业产品的日生产成本函数.1.推演公式法推演公式法 解解 固定成本为组装场地、组织设备占用费用固定成本为组装场地、组织设备占用费用11300元，每套产品增加的成本为元，每套产品增加的成本为10+1000+10+2=1022元元.如果每日生产的产量为如果每日生产的产量为x套，则日生产产品的总成本为套，则日生产产品的总成本为()113001022CC xx生产生产100套的成本为套的成本为113500元元,于是于是,1,2,.,100 x0113500C三、函数关系的建立车费车费 y 与里程数与里程数 x 之间可以建立函数关系式之间可以建立函数关系式如：设快车的平均
7、车速如：设快车的平均车速 v=48公里公里/小时小时时间时间里程费里程费（12公里以内）公里以内）里程费里程费（12公里以外）公里以外）工时费工时费05:0022:001.6元元/公里公里 0.30元元/分分钟钟22:00次日次日05:001.9元元/公里公里 全天全天 2.6元元/公里公里引例引例时间里程数时长22:00到次日05:00 x推演公式法是建立函数关系的主要方法推演公式法是建立函数关系的主要方法,使用推演公式法可得到使用推演公式法可得到三、函数关系的建立1.90.3 1.25,012,1.9 122.6(12)0.3 1.25,12.xxxyxxx 整理整理,得得2.275,01
8、2,2.9758.4,12.xxyxx 则车费则车费 y 与里程数与里程数 x 的分段函数模型如下的分段函数模型如下:里程费里程费工时费工时费12公里里公里里程费程费12公里外公里外的里程费的里程费工时费工时费像这种对于自变量像这种对于自变量x的的不同取值范围不同取值范围,函数函数 f(x)有不同的解析式有不同的解析式,则称则称这种函数为分段函数这种函数为分段函数.三、函数关系的建立2数据对应法例例1.2 建立函数建立函数 的数值关系的数值关系.*1()(1),nE nnNn解解 随着随着n不断增大，不断增大，E(n)将趋向于一个无理常数将趋向于一个无理常数e，称为自然对数的，称为自然对数的底
9、，如表底，如表1-2.表表1-2 自然对数底自然对数底e的推演的推演n12345101001000 10000E(n)22.250 2.370 2.441 2.488 2.594 2.705 2.717 2.718三、函数关系的建立3.趋势模拟法例例1.3 某学校某学校10年间在校学生数和教学经费如表年间在校学生数和教学经费如表1-3所示，试根据表中数所示，试根据表中数据画出在校学生数与教学经费的函数关系图像，并作出简单解释据画出在校学生数与教学经费的函数关系图像，并作出简单解释.表表1-3 1-3 在校学生数和教学经费数据表在校学生数和教学经费数据表年份1999200020012002200
10、32004200520062007在校学生(人)5000600070008000900010000110001200013000教学经费(万元)100011001200140020002600270028002850三、函数关系的建立3.3.趋势模拟法趋势模拟法解解 用描点画图法用描点画图法,如图如图1-3所示所示.图图1-3 在校学生数与教学经费的函数关系在校学生数与教学经费的函数关系三、函数关系的建立3.3.趋势模拟法趋势模拟法 分析分析:从图从图1-21-2看出，学生规模的扩大，教学经费从缓慢增加到快速增加再到缓看出，学生规模的扩大，教学经费从缓慢增加到快速增加再到缓慢增加慢增加.通过观
11、察生均教学经费表通过观察生均教学经费表(如表如表1-4)1-4)和趋势图和趋势图(如图如图1-4)1-4)，生均教学经费是，生均教学经费是由下降走向上升又走向下降的，由下降走向上升又走向下降的，80008000人左右是比较好的规模，人左右是比较好的规模，可以预计，可以预计，1300013000人之后还会出现一个相对好的规模人之后还会出现一个相对好的规模.这这就是最佳规模，产就是最佳规模，产生的效益叫规模经济生的效益叫规模经济.三、函数关系的建立表表1-4 在校学生数与生均教学经费数据表在校学生数与生均教学经费数据表年份年份1999 200020012002 200320042005200620
12、07在校学生（人）在校学生（人）5000 600070008000 900010000110001200013000生均教学经费生均教学经费(元元/人人)2000 183317141750 22222600245523332192 图图1-4 生均教学经费随规模变化趋势图生均教学经费随规模变化趋势图四、初等函数基本初等函数复合函数初等函数1.基本初等函数基本初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数axy)1,0(logaaxya)1,0(aaayx正弦函数 余弦函数 正切函数 xysinxycosxytan四、初等函数2.复合函数复合函数 是是 与与 构成的复合函数构成的复合函数()yfx ()
13、yf u()ux 指出下列复合函数的复合过程指出下列复合函数的复合过程复合函数的分解是由外到内，逐层进行。复合函数的分解是由外到内，逐层进行。例例1.43xye(1)ln(21)yx(2)函数函数 由由 和和 u=3x 复合而成复合而成.3xye uye 解解 函数函数 y=ln(2x-1)由由 y=lnu 和和 u=2x-1 复合而成复合而成.解解四、初等函数指出下列复合函数的复合过程指出下列复合函数的复合过程再看两个例题再看两个例题例例1.53sin(21)yx(1)5ln(14)yx(2)函数函数3sin(21)yx 3,sin21yuuvvx 由由和和复复合合而而成成解 函数函数解正确
14、地分解复合函数很关键，它是后续课程比如复合函数求导等的基础。正确地分解复合函数很关键，它是后续课程比如复合函数求导等的基础。5ln(14)yx5ln,14yu uvvx和和复合而成复合而成由由2.复合函数复合函数四、初等函数由基本初等函数和常数经过有限次四则运算及有限次复合而构成的并由基本初等函数和常数经过有限次四则运算及有限次复合而构成的并且只用一个解析式表示的函数称为且只用一个解析式表示的函数称为初等函数初等函数如函数如函数 是复合函数是复合函数,当然也就是初等函数；当然也就是初等函数；2sin(31)yx再比如再比如,0(),0 xxf xxx 是分段函数，但它可用一个解析式是分段函数，
15、但它可用一个解析式yx 表示，所以它是初等函数。表示，所以它是初等函数。3.初等函数初等函数四、初等函数使用使用MathStudio绘制函数图像绘制函数图像Drawing function images using mathstudio2一、MathStudio软件简介 MathStudio是一款可用于是一款可用于PC终端和移动终端的功能强大的数学计算工终端和移动终端的功能强大的数学计算工具具.软件支持常用的数学计算、解方程、求导、微分、积分、求极限、画函软件支持常用的数学计算、解方程、求导、微分、积分、求极限、画函数图像等，是数学学习的很好的辅助工具数图像等，是数学学习的很好的辅助工具.Ma
16、thStudio 界面简洁，操作简单，整个界面分为菜单区、指令区、界面简洁，操作简单，整个界面分为菜单区、指令区、功能区、功能区、键盘区，如图键盘区，如图1-5.一、一、MathStudio软件简介软件简介图图1-5 MathStudio界面界面 菜单区包含菜单区包含Main、Catalog、Opinions和和Search四个组，分别介绍如下四个组，分别介绍如下.一、一、MathStudio软件简介软件简介Main：主要操作界面，所有计算、绘图、脚本编写等操作都在这里进行；主要操作界面，所有计算、绘图、脚本编写等操作都在这里进行；Catalog：函数目录，在这里可以找到你需要的函数，如图函数
17、目录，在这里可以找到你需要的函数，如图1-6；Opinions：设置选项，可进行桌面显示和数学输出格式等设置，如图：设置选项，可进行桌面显示和数学输出格式等设置，如图1-7；Search：搜索，指令区所有指令都可在这里找到，并可设置是否显示指令搜索，指令区所有指令都可在这里找到，并可设置是否显示指令.图图1-6 Catalog函数目录函数目录 图图1-7 Opinions设置选项设置选项二、使用二、使用MathStudio绘制函数图像绘制函数图像1.使用使用Plot函数绘制直角坐标系下函数图像函数绘制直角坐标系下函数图像 在指令框输入函数表达式，然后点击功能区的在指令框输入函数表达式，然后点击
18、功能区的Plot键即可绘制函数图像键即可绘制函数图像.点击颜色设置还可以改变图形显示的颜色，点击显示类型设置可以切换图形点击颜色设置还可以改变图形显示的颜色，点击显示类型设置可以切换图形的显示方式的显示方式.例例1.6 使用使用Plot函数绘制下列函数图像函数绘制下列函数图像.(1),(2).sinyx2yx解解(1)在指令框输入在指令框输入sin(x)，然后点击功能区的，然后点击功能区的Plot键，得到函数键，得到函数y=sinx的图的图像如图像如图1-8.二、使用二、使用MathStudio绘制函数图像绘制函数图像图图1-8 绘制绘制y=sinx的图像的图像二、使用二、使用MathStud
19、io绘制函数图像绘制函数图像函数函数y=sinx图像右侧有显示类型设置和颜色设置的选项，如图图像右侧有显示类型设置和颜色设置的选项，如图1-9.图图1-9 图像类型设置和颜色设置选项图像类型设置和颜色设置选项二、使用二、使用MathStudio绘制函数图像绘制函数图像 (2)在指令框输入在指令框输入x2，然后点击功能区的，然后点击功能区的Plot 键，图像出来后再点击颜键，图像出来后再点击颜色设置，选择红色，如图色设置，选择红色，如图1-10.图图1-10 绘制绘制 的图像的图像2yx二、使用二、使用MathStudio绘制函数图像绘制函数图像2.使用绘图键盘绘制各种函数图像使用绘图键盘绘制各
20、种函数图像 将将MathStudio界面底部界面底部主键盘向下滑动即可切换至绘图键盘主键盘向下滑动即可切换至绘图键盘,点击按点击按键选择绘图类型键选择绘图类型,如图如图1-11,接下来我们介绍两种绘图类型接下来我们介绍两种绘图类型.图图1-11 绘图键盘绘图键盘二、使用二、使用MathStudio绘制函数图像绘制函数图像(1)用用Parametric函数绘制参数方程的图形，在指令框输入函数绘制参数方程的图形，在指令框输入x和和y关于参关于参数数 u 的方程，然后点击功能区的的方程，然后点击功能区的Parametric键即可键即可,如图如图1-12.图图1-12 绘制参数方程的图像绘制参数方程的
21、图像二、使用二、使用MathStudio绘制函数图像绘制函数图像(2)用用Polar函数绘制极坐标系下函数图像，在指令框输入关于变量函数绘制极坐标系下函数图像，在指令框输入关于变量r和和 的的极坐标方程，然后点击功能区的极坐标方程，然后点击功能区的Polar键即可，如图键即可，如图1-13.图图1-13 绘制极坐标系下函数图像绘制极坐标系下函数图像常用经济函数常用经济函数C o m m o n e c o n o m i c f u n c t i o n s3一、需求函数和供给函数消费者的需求关系消费者的需求关系 需求函数需求函数 q=f(p),减函数减函数生产者的供给关系生产者的供给关系
22、供给函数供给函数 q=g(p),增函数增函数q:商品数量商品数量 p:商品价格商品价格 供给函数示意图供给函数示意图 需求函数示意图需求函数示意图当市场价格高于均衡价格时，将出现供过于求的现象；当市场价格高于均衡价格时，将出现供过于求的现象；当市场价格低于均衡价格时，将出现供不应求的现象当市场价格低于均衡价格时，将出现供不应求的现象.市场均衡价格示意图市场均衡价格示意图二、成本、收入和利润函数平均成本是指单位产品所分摊的成本平均成本是指单位产品所分摊的成本01()CC qCCqq 生产某产品时为消耗的生产要素所支付的费用生产某产品时为消耗的生产要素所支付的费用.总成本 =固定成本 +可变成本
23、成本成本平均成本平均成本收入函数收入函数 R=R(q)：收入：收入 R 是销售量是销售量 q 的函数的函数总收入为总收入为也可写为也可写为其中价格函数其中价格函数 是需求函数是需求函数 的反函数的反函数1()pfq ()qf p 收 入 函 数收 入 函 数()Rp qp f p1()Rp qq fq 二、成本、收入和利润函数总收入函数总收入函数 R(q)与总成本函数与总成本函数 C(q)的差值，记作的差值，记作L(q).()()()L qR qC q当当 RC 0时时,生产者盈利；生产者盈利；当当 RC 0时时,生产者亏损；生产者亏损；当当 RC=0时时,生产者盈亏平衡生产者盈亏平衡.利 润
24、 函 数利 润 函 数二、成本、收入和利润函数例例1.7解解 生产某产品，固定成本为生产某产品，固定成本为200元，每多生产元，每多生产1件产品，成本增加件产品，成本增加10元，该产元，该产品的需求函数为品的需求函数为 ，试计算该产品的总成本、平均成本、收入和利润。，试计算该产品的总成本、平均成本、收入和利润。502qp 总成本函数总成本函数:20010Cq 收入函数收入函数:2250Rq ppp 若将收入若将收入 R 表示为关于产量表示为关于产量 q 的函数的函数,则则 2502522qqRq pqq 利润函数利润函数:,同理，若将利润同理，若将利润L表示为关于产量表示为关于产量q的函数，则
25、的函数，则22(502)(70020)270700LRCppppp 平均成本函数平均成本函数:()20010C qCqq 二、成本、收入和利润函数 某经销商以每件某经销商以每件100元的价格批发某种品牌的衬衫，如果客户一次购买元的价格批发某种品牌的衬衫，如果客户一次购买20件以上但不超过件以上但不超过50件，则超出件，则超出20件的部分以件的部分以8折优惠折优惠.如果客户一次购买超过如果客户一次购买超过50件，件，则超出则超出50件的部分以件的部分以7折优惠折优惠.试把一次成交的销售收入试把一次成交的销售收入R表示成销售量表示成销售量q的函数的函数.例例1.8解解 依题意可得，当依题意可得，当
26、 时时，；020q 100Rq 当当 时时 ，2050q 100200.8 100(20)40080Rqq 当当 时，时，50q 100200.8 100300.7 100(50)90070Rqq 于是，收入函数于是，收入函数 R(q)可表示为可表示为100,020,()40080,2050,90070,50.qqR qqqqq 二、成本、收入和利润函数进一步学习的进一步学习的数学知识数学知识:函数函数Further mathematics knowledge:function4一、函数的性态单调性奇偶性有界性周期性函数的性质包括一、函数的性态（1）单调性）单调性 f(x)在区间在区间 I 上
27、有定义，若上有定义，若 ，恒有，恒有 是增函数是增函数12xx12()()f xf x()f x f(x)在区间在区间 I 上有定义，若上有定义，若 ，恒有，恒有 是减函数是减函数12xx()f x)()(21xfxf（2）奇偶性）奇偶性一、函数的性态对于任意对于任意 ,若若 f(x)=f(x)恒成立恒成立 f(x)为偶函数；为偶函数；xD对于任意对于任意 ,若若 f(x)=f(x)恒成立恒成立 f(x)为奇函数为奇函数xD偶函数的图像关于偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称轴对称；奇函数的图像关于原点对称.一、函数的性态（3）有界性有界性若若 f(x)在在 I 上有定义，上有定
28、义，有有 成立成立则则 f(x)在在 I 上有界，否则称无界。上有界，否则称无界。0MxI ()f xM 有界函数的图像必介于两条平行于有界函数的图像必介于两条平行于x轴的直线轴的直线 y=M 与与 y=M 之间。之间。xy1一、函数的性态 周期为周期为（4）周期性）周期性函数函数 f(x)在在 D 上有定义，若存在正实数上有定义，若存在正实数 T，恒有，恒有 f(x+T)=f(x)，则称函，则称函数数 f(x)是周期函数，使得上述等式成立的最小正实数是周期函数，使得上述等式成立的最小正实数T，称为函数最小，称为函数最小正周期，简称周期正周期，简称周期xOy2一、函数的性态绘制函数绘制函数 y
29、=sinx 图像，并讨论它的性质图像，并讨论它的性质例例1.9解解 使用使用MathStudio软件软件,得到函数得到函数 y=sinx 的图像。的图像。二、反函数 由于我们习惯用由于我们习惯用x表示自变量，用表示自变量，用y表示因变量，因此表示因变量，因此,函数函数y=f(x)的的反函数一般表示为反函数一般表示为 1()yfx二、反函数对于反函数对于反函数,有以下三个结论有以下三个结论:1.函数存在反函数的充要条件是函数存在反函数的充要条件是:x与与y一一对应一一对应.2.反函数反函数 的定义域是函数的定义域是函数y=f(x)的值域的值域,反函数反函数 的的值域是函数值域是函数y=f(x)的
30、定义域的定义域.因此因此,也可以说二者互为反函数也可以说二者互为反函数3.在同一直角坐标系下，互为反函数的两个函数的图像关于直线在同一直角坐标系下，互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称对称1()yfx1()yfx例例1.10 求函数求函数 的反函数的反函数.13 xy解解 由由 可得，将可得，将x,y互换，即得所求的反函数为互换，即得所求的反函数为13 xy3log(1),(1,)yxx二、反函数例例1.11 求函数求函数y=x+1的反函数，并在同一平面直角坐标系中画出它的反函数，并在同一平面直角坐标系中画出它们的图像们的图像解解 由函数由函数y=x+1可得可得x=y-1，将互，将互x,y换换,即得所求函数的反函数为即得所求函数的反函数为y=x-1它们的图像如图它们的图像如图1-14所示所示.图图1-14本章结束
