1、第二章 增长率的计算与比较目目 录录C O N T E N T S1增长率和复合增长率问题及解决方案增长率和复合增长率问题及解决方案2使用使用ExcelExcel讨论增长率问题讨论增长率问题3进一步学习的数学知识：极限与连续进一步学习的数学知识：极限与连续Growth rate and compound growth rate problems and SolutionsUsing Excel to discuss growth rateMathematics knowledge for further study:limit and continuity增长率和复合增长率增长率和复合增长率问
2、题及解决方案问题及解决方案1Growth rate and compound growth rate problems and Solutions一、问题引入一、问题引入引例引例1是是本金的本金的233倍倍引例引例2465.85万万元1315 万元万元是原始股的是原始股的4384倍倍投资金额：投资金额：2万元万元年利率：年利率：15%投资期数：投资期数：40年年问题：可获得多少本息和？问题：可获得多少本息和？投资金额：投资金额：3000元元年均增长率：年均增长率：15%投资期数：投资期数：60年年问题：问题：100股股票市值多少？股股票市值多少？二、二、增长率问题及其解决方案本金：末期价值：投
3、资的价值增长量：投资的增长率：0000100%100%(1)100%nnnvvvvrvvv0nvvv 0vnv增长率增长率：事物增长的数量与原来数量的百分比值事物增长的数量与原来数量的百分比值例例2.1解解03000v 5247.02nv ，末期市值 依题意,基期市值所以40400100%100%vvvrvv5247.023000100%30002247.02100%74.9%3000答:该公司4年的股票市值增长率为74.9%.假如你在假如你在2015年年1月月1日用日用3000元购买了元购买了100股某公司的股票股某公司的股票,2019年年1月月1日日这这100股的市值已达到股的市值已达到5
4、247.02元元,试问该公司试问该公司4年的经济增长率为多少年的经济增长率为多少?二、二、增长率问题及其解决方案例例2.2解解2 0 0 62 0 0 52 0 0 53 6 0 0(1)1 0 0%(1)1 0 0%2 0%3 0 0 0vrv2007200620063672(1)100%(1)100%2%3600vrv2 0 0 82 0 0 72 0 0 73 9 6 5.7 6(1)1 0 0%(1)1 0 0%8%3 6 7 2vrv2 0 0 92 0 0 82 0 0 85 2 4 7.0 2(1)1 0 0%(1)1 0 0%3 2.3%3 9 6 5.7 6vrv,答:该股票
5、价值在2015-2018年每年的增长率分别是20%，2%，8%，32.3%.假如你在假如你在2015年年1月月1日投资了日投资了3000元股票，元股票，2016年年1月月1日你的股票价值增长到日你的股票价值增长到了了3600元，元，2017年年1月月1日增长到了日增长到了3672元，元，2018年年1月月1日增长到了日增长到了3965.76元，元，2019年年1月月1日增长到了日增长到了5247.02元，那么该股票价值在元，那么该股票价值在20152018年每年的增长率分别是多少？年每年的增长率分别是多少？二、二、增长率问题及其解决方案三、三、复合增长率问题及其解决方案 复合复合增长率增长率：
6、若事物从某一年的数量开始若事物从某一年的数量开始,按照某个固定指数经过若干按照某个固定指数经过若干年增长后达到预期数量，则称这个固定指数为复合增长率年增长后达到预期数量，则称这个固定指数为复合增长率.本金：年复合增长率：0vn年后的末期价值：0(1)nnvvr投资回报模型投资回报模型r本金：0vn末期价值：nv10=1nnvrv年复合增长率：年复合增长率模型年复合增长率模型投资期数：例例2.3解解第1年30003000 15%3000(1 15%)3450第2年23450(1 15%)3000(1 15%)3967.5第3年第4年33967.5(1 15%)3000(1 15%)4562.62
7、544562.625(1 15%)3000(1 15%)5247.01875（元）因此，2019年1月1日这100股股票的市值增加到5247.02元,增长率为74.9%.假如你在假如你在2015年年1月月1日用日用3000元购买了元购买了100股某公司的股票股某公司的股票,如果该公司的股如果该公司的股票市值每年以票市值每年以15%的速率增长的速率增长(即复合增长率为即复合增长率为15%),2019年年1月月1日你的这日你的这100股股票股股票的市值将会增加到什么水平的市值将会增加到什么水平?（元）（元）（元）三、三、复合增长率问题及其解决方案例例2.4解解已知0=5247.02,3000,4n
8、vvn11405247.02=1()115%3000nnvrv（）10=1.nnvrv例例2.5解解已知0=2500000,=10000,20%nvvr(1)1.202500000loglog30.3()10000nrvnv年(1)0lognrvnv2015年基期市值：年基期市值：3000元元2019年末期市值年末期市值:5247.02元元问题：问题：年复合增长率为多少年复合增长率为多少?预计售价：预计售价：250万万元元本金：本金：1万万元元复合增长率：复合增长率：20%问题：多少年后可实现购车计划？问题：多少年后可实现购车计划？三、三、复合增长率问题及其解决方案解解已知例例2.6=5000
9、0,4.21%,6nvrn065000039040.34(1)(1 4.21%)nnvvr(元)小张现在应该投资39040.34元才能保证6年后攒够所需旅游费用.0(1)nnvvr所需费用：所需费用：50000元元复合增长率：复合增长率：4.21%问题：现在投资多少元？问题：现在投资多少元？三、三、复合增长率问题及其解决方案(1)1 1 1 11,.,.2 4 8 162n即12nna 11 4 3(1)2,.,.2 3 4nnn(2)即1(1)nnnbn nana(1)01limann的常数）0(a的常数）0(a(2)lim0(|1)nnqq(3)lim(nCCC 为常数）Aan，那么n n
10、a的项na无限接近于一个确定的常数AA就称作数列 na的极限或称数列如果当无限增大时，数列na收敛于A.记为limnnaA或者naA四、四、数列的极限例例2.7123211.1nnnnSaaaaAA rA rA rrAr (1)limlim11nnnnArASrr从而501 0.75200S（万元）=（万元）初始获得投资本金：初始获得投资本金：50万元万元贷款额占抵押品价值的百分比贷款额占抵押品价值的百分比：75%问题：最多可获得投资多少万元？问题：最多可获得投资多少万元？解解设企业所获投资本金为A，贷款额占抵押品价值的百分比为第n次投资额为na,次投资与再投资的资金总和记为nnS,最多可获投
11、资记为S于是：第1次投资1aA第2次投资2aA r第3次投资23aA r(01),rr n次投资总和为 四、四、数列的极限使用使用Excel讨论讨论增长率问题增长率问题2Using Excel to discuss growth rate一、使用Excel讨论经济增长率问题比较比较2008年相对于年相对于1990、2000年经济增长率和复合增长率。比较年经济增长率和复合增长率。比较2005年年国国 家家1990年年2000年年2005年年2006年年2007年年2008年年中中 国国1866899215183218211924257306300670美美 国国58031995151263841
12、33989140777144414印印 度度54914207591345855396628455380525253韩韩 国国1866909603236086524099087438975013010239377到到2008年的年度增长率。年的年度增长率。案例案例1一、使用Excel讨论经济增长率问题解决方案解决方案1.9国国18年、年、8年的增长率计算与比较年的增长率计算与比较 第一步第一步:在在H5栏输入公式栏输入公式“=(G5/B5-1)*100%”,得出中国得出中国2008年相对于年相对于1990年年的的GDP增长率为增长率为1510.6%。一、使用Excel讨论经济增长率问题第二步：第
13、二步：将鼠标置于H5栏右下角,按住“+”型符号往下拖(即使用Excel的句柄填充功能),直至H13栏,出现美国、日本、俄罗斯、英国、法国、德国、印度、韩国2008年相对于1990年的经济增长率。一、使用Excel讨论经济增长率问题第三步：第三步：类似于18年GDP增长率计算方法,可求各国2008年相对于2000年的GDP增长率。一、使用Excel讨论经济增长率问题第四步：第四步：选定各国8年和18年GDP增长率(包括9国国名),双击图表窗口出现图表导向,选择柱形图,顺序点击至“完成”,做适当修饰后(使图更清晰),即完成9国8年和18年GDP增长率的比较柱形图,如图2-4所示.可以看出,中国18
14、年GDP增长率最高,俄罗斯8年GDP增长率最高,印度和韩国排在中、俄之后和西方发达国家之前。0.0%200.0%400.0%600.0%800.0%1000.0%1200.0%1400.0%1600.0%中国美国日本俄罗斯英国法国德国印度韩国18年增长率8年增长率一、使用Excel讨论经济增长率问题2.20052008年的年度增长率计算与比较年的年度增长率计算与比较第一步：第一步：在J5栏输入公式“=(E5/D5-1)*100%”,选定J5栏,按住“+”型符号,然后利用Excel的句柄填充功能,先从J5拖至L5,然后选定J5至L5栏,按住“+”型符号再拖至L13,得到各国2006-2008年每
15、年相对于上一年的GDP增长率。一、使用Excel讨论经济增长率问题第二步：第二步：选定中国、美国、日本、俄罗斯、英国、法国、德国、印度、韩国9国2006-2008年每年GDP增长率(包括9国国名),双击图表窗口出现图表导向,选择柱形图,顺序点击至“完成”,即完成9国2006-2008年每年GDP增长率的比较柱形图,如图2-6所示.可以看出,这三年俄罗斯每年GDP增长率最高,中国第二,印度第三。-5.0%0.0%5.0%10.0%15.0%20.0%25.0%30.0%中国美国日本俄罗斯英国法国德国印度韩国2006年度增长率2007年度增长率2008年度增长率一、使用Excel讨论经济增长率问题
16、3.各国各国18年、年、8年的年的GDP复合增长率计算与比较复合增长率计算与比较第一步：第一步：建立计算公式建立计算公式1200818181990()1vrv年12 0 0 8882 0 0 0()1vrv年一、使用Excel讨论经济增长率问题第二步：第二步：计算各国18年GDP复合增长率.在M5栏输入公式“=POWER(G5/B5，1/18)-1”,计算出中国2008年相对于1990年18年的GDP复合增长率为16.7%,选定M5栏拖至M13栏,得到美国、日本、俄罗斯、英国、法国、德国、印度、韩国的1990-2008年的GDP复合增长率。一、使用Excel讨论经济增长率问题第三步：第三步：仿
17、第二步，计算8年GDP复合增长率。一、使用Excel讨论经济增长率问题第四步：第四步：作图比较9国1990-2008年和2000-2008年的GDP复合增长率.如图2-9所示,从图上比较可以看出,1990年以来,中国经济增长最快,印度紧追其后;2000年以来,俄罗斯经济增长最快,中国紧追其后.但2000年以来,除法国、俄罗斯GDP增长加快之外,其他国家均有所放慢。0.0%5.0%10.0%15.0%20.0%25.0%30.0%中国美国日本俄罗斯英国法国德国印度韩国18年复合增长率8年复合增长率二、高技术产业销售收入增长分析高技术产业销售收入增长分析高技术产业销售收入增长分析试通过年度增长率和
18、复合增长率分析比较各产业的增长情况。试通过年度增长率和复合增长率分析比较各产业的增长情况。行业行业20022003200420052006医药制造业医药制造业2279.982750.7330334019.834718.82航空航天器制造航空航天器制造业业499.9547.2498.4781.37798.88电子及通信设备电子及通信设备制造业制造业7658.679927.1413819.116646.2521068.86电子计算机电子计算机.办公办公设备制造业设备制造业3441.676305.979192.710722.1512634.18医疗设备及仪器医疗设备及仪器仪表制造业仪表制造业734.
19、04880.4813031752.182363.82案例案例2二、高技术产业销售收入增长分析解决方案解决方案借助Excel软件，求得年度增长率和复合增长率如下表。产业产业年度增长率年度增长率复合增长率复合增长率2003年年2004年年2005年年2006年年医药制造业医药制造业0.206 50.102 60.325 40.173 90.199 4 航空航天器制造业航空航天器制造业0.094 6-0.089 20.567 80.022 40.124 3 电子及通信设备制造业电子及通信设备制造业0.296 20.392 10.204 60.265 70.287 9 电子计算机及办公设备制造业电子计
20、算机及办公设备制造业0.832 20.457 80.166 40.178 30.384 2 医疗设备及仪器仪表制造业医疗设备及仪器仪表制造业0.199 50.479 90.344 70.349 10.339 6 二、高技术产业销售收入增长分析进一步作出增长率趋势比较图如下图。-0.200.20.40.60.812003年2004年2005年2006年医药制造业航空航天器制造业电子及通信设备制造业电子计算机及办公设备制造业医疗设备及仪器仪表制造业三、中美两国GDP差距发展趋势分析中美两国中美两国GDP差距发展趋势分析差距发展趋势分析试分析两国之间GDP差距发展趋势，并采用2010年相对1978年
21、的年均增长率讨论未来差距发展趋势。年份年份美国美国中国中国年份年份美国美国中国中国19781978年年229472164.6081995年年739777279.81119791979年年256332612.6051996年年781698561.05419931993年年665746132.2282010年年146241.859847.0719941994年年707225592.052案例案例3三、中美两国GDP差距发展趋势分析解决方案解决方案第一步：第一步：借助Excel软件，计算中国和美国在1978-2010期间的GDP复合增长率分别为11.1%、6%，以及1979-2010年GDP的年度增
22、长率。第二步第二步:求得中国和美国1978年2010年GDP差距，如下表。年份年份美国美国中国中国差距差距年份年份美国美国中国中国差距差距1978年年229472164.6120782.41995年年739777279.8166697.21979年年256332612.6023020.41996年年781698561.0569608.01993年年665746132.2360441.82010年年14624259847.186394.71994年年707225592.0565130.0三、中美两国GDP差距发展趋势分析趋势图趋势图02000040000600008000010000012000
23、01400001600001978年1979年1980年1981年1982年1983年1984年1985年1986年1987年1988年1989年1990年1991年1992年1993年1994年1995年1996年1997年1998年1999年2000年2001年2002年2003年2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年美国中国差距三、中美两国GDP差距发展趋势分析第三步第三步:根据中国和美国在1978-2010期间的GDP复合增长率，计算中国和美国2010年以后GDP及其差距走势预测趋势图。-500000500001000001500002000002500
24、00300000123456789101112131415中国美国差距进一步学习的数学知识：进一步学习的数学知识：极限与连续极限与连续3l i m i t a n d c o n t i n u i t y一、函数的极限 xxx若的绝对值无限增大，函数()f x的值无限接近于一个确定的常数A，那么A就称为函数()f x当x时的极限，记为lim()xf xA()().f xA x 1.当x 时，函数()f x的极限lim()xf xAlim()xf xA同样可定义，或者)(lim)(limxfxfxx和则)(limxfx存在，且与它们相等。都存在且相等，若一、函数的极限例例2.8讨论极限及解解观
25、察函数1yx的图像，可得111lim0,lim,lim0 xxxxxx=0111limlimlimxxxxxx且一、函数的极限 xx()f x时(在的常数A,那么A就称为函数()f x当时的极限，记为2.当时，函数()f x的极限或0 x若当0 xx0 x处可以无定义)，函数()f xA，0 xx0lim()xxf xA0()().f xA xx0 xx右极限：0lim()xxf xA0lim()xxf xA或者0(0).f xA左极限：0lim()xxf xA或者0(0).f xA 如果00lim()lim(),xxxxfxfxA0lim();xxf xA那么无限接近于一个确定一、函数的极限
26、例例2.9讨论函数)(xf,1,0,1xx0,0,0.xxx=解解观察函数的图像，可得()f x1)1(lim)(lim00 xxfxx1)1(lim)(lim00 xxfxx)(lim)(lim00 xfxfxx因为)(lim0 xfx 所以不存在一、函数的极限 3.极限的四则运算法则极限的四则运算法则lim(),lim()f xAg xB设，则lim()()lim()lim()f xg xf xg xAB（1）（2）lim()lim()C f xCf xC A（3）（4）lim()()lim()lim()f x g xf xg xA B()lim()lim(0)()lim()f xf xA
27、Bg xg xB(C为常数)一、函数的极限例例2.10求解解运用四则运算法则,可得22lim(35)xxx222222lim(35)3 limlimlim5 15xxxxxxxx 例例2.11求233lim9xxx解解所给函数的分子分母的极限都为零，可约去公因子3x,故23333311limlimlim9(3)(3)36xxxxxxxxx一、函数的极限例例2.12 求解解所给函数分子分母的极限都为零，可先对分子有理化，于是得01 1limxxx 00001 1(1 1)(1 1)limlim(1 1)lim(1 1)11=lim.21 1xxxxxxxxx xxx xx 一、函数的极限例例2.
28、13 求解解分子分母同时除以232321lim25xxxxx3x，然后取极限，得223323321321limlim015252xxxxxxxxxxx例例2.14求解解分子分母同时除以332321lim25xxxxx3x，然后取极限，得3233232133213limlim152522xxxxxxxxxx一、函数的极限4.两个重要极限两个重要极限0sinlim1xxx（1）sin()xf xx函数图像该极限中的换成函数x()f x仍成立，即有0sin()lim1()xf xf xsin()xfxx函数的定义域为|0 x x R x且0 x 时，函数sin()xfxx的值无限接近于1一、函数的极
29、限例例2.15 求解解例例2.16 求解解0s in 3limxxx000sin 33sin 3sin 3limlim3 lim31333xxxxxxxxx0tanlimxxx0000tansin1sin1limlimlimlim1 11coscosxxxxxxxxxxxx例例2.17解解201coslimxxx22222000022sinsinsin1cos1111222limlimlimlim1222222xxxxxxxxxxxx求一、函数的极限（2）1lim(1)xxex函数1()(1)xf xxR的定义域为x当时，函数1()(1)xf xx的值无限接近于无理数(2.71828)e 如果
30、令1tx,显然,当x时，0t,于是有101lim(1)lim(1)xtxttex函数函数函数函数1()(1)xf xx图像图像一、函数的极限例例2.18 求解解例例2.19求解解例例2.20解解求3lim(1)xxx 333331lim(1)lim1xxxxxex10lim(12)xxx2112200lim(12)lim1(2)xxxxxxe212lim()1xxxx 212(1)121lim()lim(1)11xxxxxxx 2112211lim(1)lim(1)111xxxeexx 二、函数的连续性 xx设函数设函数1函数在点函数在点0 x处的连续性处的连续性在点0 x及其近旁有定义，若当
31、0 xx时，0lim()xxf x0()f x则称函数()y f x()y f x在点0 x处连续。2.函数在区间上的连续性函数在区间上的连续性()f x()f x在区间,a b内有定义，若左极限lim()()xbf xf b，则称函数在b点左连续；若右极限()f xlim()()xaf xf a，则称函数()f x在a点右连续。二、函数的连续性 x3连续函数的运算连续函数的运算()f x ()f x设设函数函数和和()g x在点在点0 x处连续，则它们的和、差、积、商（分母不处连续，则它们的和、差、积、商（分母不等于零）在点等于零）在点0 x处也连续处也连续。设设函数函数()ux在点在点0
32、x处连续，且处连续，且00()xu，而函数，而函数()yf u在点在点0u连续，则复合函数连续，则复合函数()yfx在点在点0 x处连续处连续。基本初等函数在其定义区间内都是连续的基本初等函数在其定义区间内都是连续的。初等函数在其定义区间内是连续的初等函数在其定义区间内是连续的。二、函数的连续性例例2.21 求解解例例2.22 求解法一解法一20lim1xx初等函数2()1f xx在点00 x 是有定义的,所以220lim 1101xx2lim ln(sin)xx解法二解法二()ln(sin)f xx初等函数在点02x是有定义的，所以2limln(sin)ln(sin)ln102xx22lim
33、ln(sin)ln(limsin)lnsinln1 02xxxx二、函数的连续性 x4闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质最值定理：设函数()f x在闭区间,a b上连续，则函数()f x在,a b上必有最大值和最小值.C(,)a b()fC 介值定理：设函数()f x在闭区间,a b上连续，M和m分别是()f x在,a b上的最大值和最小值，则对于满足m C M 的任何实数C，在开区间(,)a b内至少存在一点，使得()fC.二、函数的连续性 x零点定理：设函数()f x在闭区间,a b上连续，且，则在开区间内至少存在一点C(,)a b()fC()()0f af b()()0f a f b(,)a b，使得()0f介值定理的几何意义零点定理的几何意义.本章结束
