1、1第四节第四节 函数单调性与曲线的函数单调性与曲线的凹凸性凹凸性一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点三、小结三、小结2一、单调性的判别法一、单调性的判别法f (x)0aby=f(x)xoy y=f(x)xoyabf (x)0,那么函数那么函数 y=f(x)在在 a,b上上单调增加单调增加;(2)如果在如果在(a,b)内内 f (x)1 时时,.132xx 证证则则设设,132)(xxxf .111)(22xxxxxxf f(x)在在1,+)上连续上连续,在在(1,+)内内 f (x)0,因此在因此在1,+)上单调增加上单调增加,从而当从而当
2、x1时时,)1()(fxf,0 即即.132xx 12例例.证明20 x时,成立不等式.2sinxx证证:令,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(内单调递减在因此xf从而2,0(,2sinxxx0)2()(fxf,2)(处左连续在又xf因此且13*证明0tanxx令,tan)(xxx则xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上递减在x从而0)0()(x即),0(,0tan2xxx14二、曲线凹凸的定义二、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究
3、曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC15定义定义(描述定义描述定义)1.如果在区间如果在区间(a,b)内，曲线内，曲线y=f(x)在其上任意一点在其上任意一点的切线的上方，则称曲线的切线的上方，则称曲线y=f(x)在区间在区间(a,b)内是内是凹的凹的(或下凸的或下凸的)；2.如果在区间如果在区间(a,b)内，曲线内，曲线y=f(x)在其上任意一点在其上任意一点的切线的下方，则称曲线的切线的下方，则称曲线y=f(x)在区间在区间(a
4、,b)内是内是凸的凸的(或下凹的或下凹的)；xyo)(xfy abABxyo)(xfy abBA（1）凹）凹（2）凸）凸16定义定义的（或凸弧）的（或凸弧）上的图形是（向上）凸上的图形是（向上）凸在在那末称那末称如果恒有如果恒有的（或凹弧）的（或凹弧）上的图形是（向上）凹上的图形是（向上）凹在在那末称那末称恒有恒有点点上任意两上任意两如果对如果对上连续上连续在区间在区间设设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121 ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的
5、图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf17曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递递增增)(xf abBA0 y递递减减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上上的的图图形形是是凸凸的的在在则则上上的的图图形形是是凹凹的的在在则则内内若若在在一一阶阶和和二二阶阶导导数数内内具具有有在在上上连连续续在在如如果果baxfxfbaxfxfbababaxf 18证证:任取1212,x xa b xx记利用拉格朗日中值定理,120()()2()f xf xf x2001()()()
6、()f xf xf xf x220101()()()()fxxfxx11022xxx2001()()xxxx2120()()()ffxx2120()()()fxx 12,0)(时当 xf120()()2()f xf xf x说明(1)成立;(2)证毕120.2xxx19判别函数的凹凸性的一般步骤判别函数的凹凸性的一般步骤 1)确定函数的定义域.2)在定义域求出函数二阶导数为零或不存在的点,用这些点把定义域分成若干个部分区间.(同时求出函数二阶导数大于零或小于零的区间)3)在各部分区间内根据函数二阶导数的符号来判判别凹凸性.注意注意:若函数在某一点两边二阶导数符号同号,则应考虑合并区间.特别地,
7、若函数在这一点的一阶导数连续,则应合并.20例例.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0,(时，时，当当0 x,0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线),0.)0,0(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点注意到注意到,21定义定义.若函数)(xfy 在区间 I 上连续,0 x不是 I 的端点,如果曲线)(xfy 在经过点00(,()xf x时,曲线的凹凸性发生了改变,称这样的点为此曲线的拐点拐点.简单地说,拐点拐点就是连续曲线上凹凸的分界点.根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线)(xf
8、y,0连续在点x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 两侧异号异号,0 x则点)(,(00 xfx是曲线)(xfy 的一个拐点.拐点的简易判别法拐点的简易判别法:若0)(0 xf,而 0()0.fx22注意注意:1.拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.在拐点处在拐点处()0()fxfx 或不存在。yox连续曲线上凹凸的分界点称为拐点拐点.23例例.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹
9、的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32(24.)()(,(,)(000的的拐拐点点是是连连续续曲曲线线也也可可能能点点不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意:例例.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9235 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx ,0,)0,(y内内但但在在;0,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在,0,),0(y内内在在.),0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0,0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 25附加内容附加内容:曲线的渐近线曲线的渐近线 定义：定义：.)(,)(一一条条渐渐近近线线的的就
10、就称称为为曲曲线线那那么么直直线线趋趋向向于于零零的的距距离离到到某某定定直直线线如如果果点点移移向向无无穷穷时时沿沿着着曲曲线线上上的的一一动动点点当当曲曲线线xfyLLPPxfy 261.1.水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条:.2,2 yy27例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条:.3,2 xx2.2.铅直渐近线铅直渐近线)(轴轴的的渐渐近近线
11、线垂垂直直于于 x.)()(lim)(lim000的的一一条条铅铅直直渐渐近近线线就就是是那那么么或或如如果果xfyxxxfxfxxxx 283.3.斜渐近线斜渐近线.)(),(0)()(lim0)()(lim的的一一条条斜斜渐渐近近线线就就是是那那么么为为常常数数或或如如果果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜渐近线求法斜渐近线求法:,)(limxxfax .)(limaxxfbx .)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy 29注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx,)(lim,)(lim)2(不不存存在在但但存存在在axxfaxx
12、fxx .)(不不存存在在斜斜渐渐近近线线可可以以断断定定xfy 例例.1)3)(2(2)(的的渐渐近近线线求求 xxxxf解解).,1()1,(:D30 )(lim1xfx,)(lim1xfx,.1是是曲曲线线的的铅铅直直渐渐近近线线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx,2 2)1()3)(2(2limxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx,4.42是是曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线 xy31例例 求曲线求曲线 的渐近线的渐近线21xyx解解2(1)11xxyx 因为是曲线的间断点，2211lim,lim,11xxxxxx 且211xxy
13、x 故是曲线=的铅垂渐近线。()limlim1,1xxf xxaxx(2)由2lim()limlim1,11xxxxxbf xaxxxx1yx所以是曲线的斜渐近线。32内容小结内容小结1.可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf,0)(+上向上凸在曲线Ixfy)(拐点 连续曲线上的凹凸分界点33思考与练习思考与练习 1,0上,0)(xf则,)1(,)0(ff)0()1(ff或)1()0(ff的大小顺序是()0()1()0()1()(ffffA)0()0()1()1()(ffffB)0()1()0()1()(ffffC)0()1()0()1()(ffffD提示提示:利用)(xf 单调增加,)10()()0()1(fff及B1.设在34 .),(21)1,(2121e2.曲线21xey的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:)21(222xeyx),(2121),(21及及yox)1,(2121e)1,(2121e作业作业P152 3(5);5;6；9(6);10 ;14;15 ;谢谢
