1、第三章 线性空间Linear Space目的要求目的要求 掌握掌握数域数域的定义的定义,正确判断数域和数环正确判断数域和数环 熟练掌握熟练掌握线性空间线性空间的概念、基本性质；的概念、基本性质；正确判断一个集合对于给定的运算是否构正确判断一个集合对于给定的运算是否构成一个线性空间成一个线性空间|;|ABa aAaBABa aAaB 或或且且:AB ABBA 且且:ABaAaB 必必有有Q,2)2Q(babammnnbbbaaa .1010.0,00,Q,mjnibbajji ，不全为不全为Z,2)2Z(babaQ,3)3Q(babaQ,2)2Q(33 babaQ2W3 aa(3)0V,0;(7
2、)(),K;ababa b;(5)1;数乘与加法的协调数乘与加法的协调0向量存在性向量存在性负向量存在性负向量存在性()();(4),V,0;(6)(),K;aaaa (8)()(),Ka baba b 线性空间必须对所定义的加法和数乘封闭线性空间必须对所定义的加法和数乘封闭 满足以上八条规则的加法及数乘运算称为满足以上八条规则的加法及数乘运算称为线性线性运算运算 线性空间中元素又称线性空间中元素又称向量向量，线性空间也称为，线性空间也称为向向量空间量空间 同一集合同一集合V上定义了不同的加法和数乘运算，其上定义了不同的加法和数乘运算，其相应的零向量（元素）和每个向量对应的负向相应的零向量（元
3、素）和每个向量对应的负向量可能不同。甚至对有的定义可以构成线性空量可能不同。甚至对有的定义可以构成线性空间，而对其他定义无法构成线性空间间，而对其他定义无法构成线性空间255 0 0 31 174 225126 166 90173 61 195 R G B 112K(,)|K,1,2,.,nnia aaain n 112K(,)|K,1,2,.,nia aaain 01K|K,0,1,2,nnixaa xa xai 01K|K,0,1,2,nnnixaa xa xain 01|0,K,0,1,2,nnniaa xa xaain K()|K,1,1m nij m nijAaaimjm 12(,)
4、naaa12naaa 1212(,),(,)nna aab bb12K,(,)nka aa 1122(,).nnab abab12(,).nkka kaka (3)0,0;(7)(),K;ababa b;(5)1;数乘与加法的协调数乘与加法的协调0向量存在性向量存在性负向量存在性负向量存在性()();(4),0;(6)(),K;aaaa(8)()().a bab K()|K,1,2,.,1,2,.,m nij m nijAaaim jn C1|,Rab a b,(1),;(2)00;(3)00;(4)(1);(5)0,00.任意的有任意的有由可推出即加法消去律成立由可推出即加法消去律成立若那么
5、或若那么或aaa 目的要求目的要求 熟练掌握熟练掌握线性相关线性相关、线性无关线性无关的定义的定义 熟练掌握熟练掌握判定向量组的判定向量组的线性关系线性关系的方法的方法12,.,Vm 1122.0mmaaa12,.,m 12,.,Vm 1122.0mmaaa12,.,m 1122.0mmaaa12,m 12,V,m 12,ma aa1122,mmaaa12,m 是的是的 可可123(1,0,1),(1,2,2),(1,2,4)12320123,12,.,ne ee112,.,Knm (2,3,0),(1,4,0),(0,0,2)12,.,m 1122.mmaaa有解.有解.12,.,m 112
6、2.mmaaa=0有非零解.=0有非零解.12,.,m 1122.mmaaa=0只有零解.=0只有零解.2121,2共线共线,所以所以 线性相关线性相关1,2,与与 不共线不共线,所以所以 线性无关线性无关2在在XOY平面上平面上yx平面中任意向量平面中任意向量 (a,b)均可用均可用(1,0),(0,1)线性组合表示线性组合表示在二维平面上，任在二维平面上，任意三个意三个(及三个以上及三个以上)向量必定线性相关向量必定线性相关(a,b)ab11yxz 共面共面,故线性相关故线性相关,123 12在三维空间上在三维空间上3yxz1必线性相关必线性相关1,2,3,4 在三维空间中在三维空间中,任
7、意任意四四(或以上或以上)个向量个向量必线性相关必线性相关23412,m 12,m 12m,12m,12m,12121212(,)1,2,(,)(),tiiiiniijijijrraaairnaaat tn 设设是是一一组组 维维向向量量 向向量量是是的的维维缩缩短短向向量量 如如果果线线性性无无关关 则则也也线线性性无无关关.1212,rr 若若向向量量可可由由线线性性表表示示，则则表表示示唯唯一一的的充充要要条条件件是是线线性性无无关关.,3,n 是是个个维维 向向 量量 若若线线 性性 无无 关关线线 性性 无无 关关线线 性性 无无 关关 但但不不 一一 定定 线线 性性 无无 关关.
8、1212SSSS,相关,则相关相关,则相关SS相关,则 中至少有一向量可由其余向量相关,则 中至少有一向量可由其余向量线性表示线性表示121212,.rrr 若线性无关,但若线性无关,但线性相关,则 必可由线性表示线性相关,则 必可由线性表示1212,rr 若向量可由线性表示，则表示若向量可由线性表示，则表示唯一的充要条件是线性无关.唯一的充要条件是线性无关.目的要求目的要求 正确理解正确理解和和掌握掌握基基的概念的概念,基与基与极大无关组极大无关组的联系和区别的联系和区别 掌握掌握坐标坐标与基的关系与基的关系255 0 0 31 174 225126 166 90173 61 195 R G
9、 B 12VS(),S,:r 设设线线性性空空间间 中中一一组组向向量量有有限限或或无无限限个个向向量量如如果果 中中存存在在一一组组向向量量适适合合如如下下条条件件极大线性无关组极大线性无关组，简称简称极大无关组极大无关组。12,r 那么称是这组向量的一个那么称是这组向量的一个12(2)S,r ，必线性相关，必线性相关12(1),;r 线线性性无无关关(2)可替换为可替换为:S中任意向量都可用中任意向量都可用 线性表示线性表示.12,r S,S.本本身身是是一一个个线线性性无无关关的的向向量量组组 则则 就就是是极极大大线线性性无无关关组组12212112121121S:step1S;ste
10、p2,;,S.step3,iS,S;ii),step3.mmmmmm 为为线线性性相相关关向向量量组组从从 中中选选出出一一个个非非零零向向量量从从其其余余向向量量中中选选出出使使得得与与线线性性无无关关若若选选不不到到则则向向量量就就是是 的的一一个个极极大大线线性性无无关关组组设设已已选选出出个个线线性性无无关关的的向向量量组组）若若 中中其其余余任任一一向向量量加加入入后后就就线线性性相相关关则则就就是是 的的一一个个极极大大线线性性无无关关组组否否则则又又可可找找到到使使线线性性无无关关返返回回1212SSS,SS.设与都是向量组 的极大线性无关组 假定设与都是向量组 的极大线性无关组
11、 假定它们是有限集 则与所含向量个数必定相同它们是有限集 则与所含向量个数必定相同1212VK,V,V,V,V.nnnn 设设是是数数域域上上的的线线性性空空间间 如如果果在在中中存存在在 个个线线性性无无关关的的向向量量使使中中任任一一向向量量均均可可表表示示为为这这组组向向量量的的线线性性组组合合 则则称称为为的的一一组组线线性性空空间间称称为为线线性性空空间间yx(a ,b)XOY平面上任意向量可用两过零点不共线向量线性表示平面上任意向量可用两过零点不共线向量线性表示;即任意两过零点不共线向量都可以作为即任意两过零点不共线向量都可以作为XOY平面的一组基平面的一组基.从而从而XOY平面的
12、维数为平面的维数为2.12,V,dim(V)nn 设设12,n 12,n 12,n 12,n 12,n 12,n 12,n 12121212V,V(),V,V.rnnrnr rnnr 设 是 维线性空间是 中个线性无关设 是 维线性空间是 中个线性无关的向量 又是 的基 则必可在中的向量 又是 的基 则必可在中选出个向量 使其和一起凑成 的一组基选出个向量 使其和一起凑成 的一组基3112,2012 12112211221122,V,.nnnnnnnnaaabbbab abab 设是 维线性空间 的一组基 且设是 维线性空间 的一组基 且则则 1212,.,.nnaaa 121212V,VK(
13、,),nnnia aaai 取定 中一组基 固定基向量的次序为取定 中一组基 固定基向量的次序为则 中向量唯一地对应 中的一组有序数则 中向量唯一地对应 中的一组有序数称这组有序数为 在基称这组有序数为 在基下的 其中 称为第 个坐标分量,常记为下的 其中 称为第 个坐标分量,常记为12211231,201,;01,.1eeee 0 0在基=下的坐标;在基=下的坐标;1 10 0 在=下的坐标在=下的坐标1 11 1 在=下的坐标在=下的坐标0 0目的要求目的要求 正确理解正确理解映射映射、单射单射、满射满射、一一映射一一映射的的概念概念 掌握掌握线性空间的线性空间的同构同构与集合的一一映射的
14、与集合的一一映射的联系和区别联系和区别V :()(V)U.V)()|VU （12()()1212,V,原像像定义域值域12()()12.U,V,().2(1):RR,xx 2(2):R0,+),xx 3(3):0,10,+),xx 3(4):0,1)0,1),xx(5):KK,|n nAA V:VV,id是一一映射,称为恒等映射.是一一映射,称为恒等映射.1 21 2(6):KK,0aba 3(4):0,1)0,1),xx(5):KK,|n nAA 0:VW,0 是映射,称为零映射.是映射,称为零映射.2(1):RR,xx+2(2):RR,xx+2(3):RR,xx:VW,WV:UW,.,.s
15、 tidid 1 :VU,:UW,定义与 的合成定义与 的合成:VW,():VW,:VW,若若V,()(),.则称=则称=,:VW,:WU()()():VU,V V,Ka ()()aa :VU VU V:VV,VVid是 到 的同构映射.是 到 的同构映射.2 11 22 11 2:KK,KKaabb 是到是到:VV,2VV是 到 的同构映射.是 到 的同构映射.2 12 1(3):KK,0aab 3(1):0,1)0,1),xx(2):KK,|n nAA 2 11 2KK.的同构映射.从而的同构映射.从而1dimV=VKnn.0)0(,则则(i)VV;(ii)VUUV;(iii)VU,UWV
16、W目的与要求目的与要求 掌握掌握过渡矩阵过渡矩阵的概念及有关性质的概念及有关性质 掌握掌握同一向量在不同基下的同一向量在不同基下的坐标坐标的关系的关系 1212,.,.nnaaa 121212V,VK(,),nnnia aaai 取定 中一组基则 中任意向量取定 中一组基则 中任意向量唯一地对应 中的一组有序数称唯一地对应 中的一组有序数称这组有序数为 在基下的 ,其这组有序数为 在基下的 ,其中 称为第 个坐标分量.形式的记为中 称为第 个坐标分量.形式的记为若若的两组基的两组基为为和和设设.V,2121nn 111112212211222212121122,(,)(,),nnnnnnnnn
17、nnnaaaaaaAaaa 即即1121112222121212,nnnnnnnnaaaaaaAaaa 是是基基到到基基.称形式记号形式记号121211221212(,)(,)(,)(,)nnnnnnAababab 若若，12,n X 12,n YXAY 1122nnababAab 则则yxcossinsincosA 从从e1,e2到到1,2的的过渡矩阵过渡矩阵是是1e2e21121210,;01cossin,sincosee yx2e1e11cossincossincossinrrA x ,1212在在sinrcosrsin()rcos()r21下坐标下坐标 x10cossin,01sinc
18、osee 1 12 21 12 2到到的过渡矩阵是的过渡矩阵是cossinsincosA cossinrxr ,e e 1212在在下坐标下坐标 ycos()sin()ryr cossincossincossinrr n ,.,21n ,.,21 ,.,.,.,.,21212121ABnnnn n ,.,21nn ,.,.,2121和和 ,.,.,.,.,21212121BAnnnn .1 AB .,.,.,2121ABnn n ,.,21n ,.,21 .,.,.,2121Ann n ,.,21n ,.,21n ,.,21n ,.,21n ,.,21n ,.,21 121,011,110;1
19、11,112,101321321 321,321,321,321,0001 1-1-100011,1312,10114321 ，4321,4321,目的与要求目的与要求 掌握掌握子空间子空间的的交交、和和运算的概念运算的概念 掌握掌握生成子空间生成子空间的元素表示方法的元素表示方法 了解由子集了解由子集S生成的子空间生成的子空间L(S)是包含是包含S的子空间的子空间的最小子空间的最小子空间 熟练掌握熟练掌握子空间的和是子空间的和是直和直和的等价刻画的等价刻画 熟练掌握熟练掌握证明子空间的方法的证明子空间的方法的坐标坐标的关系、证明的关系、证明空间做直和分解的方法空间做直和分解的方法 理解理解维
20、数公式维数公式证明中证明中扩基扩基的方法的方法 了解子空间的并不是运算的原因了解子空间的并不是运算的原因 了解有限个真子空间不能覆盖整个空间了解有限个真子空间不能覆盖整个空间非平凡子空间非平凡子空间任意过原点任意过原点的直线和平的直线和平面都是三维面都是三维空间的非平空间的非平凡子空间凡子空间yxz非平凡子空间非平凡子空间VV|VV2121 且且V,V|VV2121 1V2VV1+V2=R31V1V2=yx2V 2V1V1V 12VV 子空间的并未必是子空间子空间的并未必是子空间!1S,K|(S).,S221121mikk.kkLiimmm m .,21).,(21mL n .,21).,(V
21、21nL 则则的的非非空空子子集集是是线线性性空空间间设设,VS.),(S),S,S(S)2(2121rrLLL 则则性无关组性无关组的极大线的极大线是是且若且若向量的个数向量的个数中极大无关向量组所含中极大无关向量组所含的维数等于的维数等于;VS(S)1(的的最最小小子子空空间间的的是是包包含含L例例7 设设V1,V2是是V的子空间的子空间,则则L(V1V2)=V1+V2.VVV21s 2 1 不共线的不共线的 所张所张空间的和空间的和 是直和是直和12,12()()LL 共线的共线的 所张所张空间的和空间的和 不是直和不是直和 1,1()()LL 1()L 2()L()L yxzL1U2U
22、 L与与U1的和是直和的和是直和 与与 的和不是的和不是直和直和1U2U是直和是直和2)记记则则0向量的分解唯一向量的分解唯一3)记记,则任一向量的分解唯一则任一向量的分解唯一 4)5)dim()=dim()+dim(，存在唯一，存在唯一0V 是直和是直和2)记记,则则12V1,2,.,iisis，使得，使得3)4)dim()=dim()+dim()+dim()则则的子空间，且的子空间，且为为设设,VVVVV,V2121 ).VVdim(VdimVdimdimV 2121 U.VK nn,UUU,WUV21 .WUUV21 目的与要求目的与要求 掌握掌握矩阵的矩阵的秩秩的定义及基本性质的定义及
23、基本性质 了解了解用子式判别矩阵秩的方法用子式判别矩阵秩的方法 熟练掌握熟练掌握用相抵标准型、用行用相抵标准型、用行(列列)向量组的向量组的线性关系和用分块初等变换来证明秩的命线性关系和用分块初等变换来证明秩的命题的方法题的方法 熟悉熟悉在同构意义下在同构意义下,将向量组的秩的问题化将向量组的秩的问题化为坐标组的秩的问题的方法为坐标组的秩的问题的方法s ,.,21t ,.,21),.,(),.,(2121tsrr 0()().0Arr Ar BB 1232,1,3,0,4,1,2,3,1,0,3,1,0,1,4.000rI12,.,n 12,.,m 12,.,mXXX1212(,.,)(,.,
24、)mmrr XXX 241()234,fxxxx233423()123,()34fxxxxfxxxx 目的与要求目的与要求 理解并理解并掌握掌握非齐次线性方程组非齐次线性方程组解的存在性、解的存在性、唯一性和解的形式的判别方法唯一性和解的形式的判别方法;掌握掌握齐次线性方程组齐次线性方程组的解空间以及非齐次的解空间以及非齐次线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构;掌握掌握用齐次线性方程组的解空间刻画矩阵用齐次线性方程组的解空间刻画矩阵的秩以及应用于证明一些关于矩阵的秩的的秩以及应用于证明一些关于矩阵的秩的命题命题.,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxab
25、xaxaxabxaxaxa(1)()(),;r Ar An 若若则则方方程程组组有有且且只只有有一一组组解解)(bAA ;,)()()2(则则方方程程组组有有无无穷穷多多组组解解若若nArAr .,)()()3(则方程组无解则方程组无解若若ArAr ,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa ,0,0,0221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa02211 nnxxx niaaamiiii 1,),.,(21.0 K,的的解解也也是是 Axkxk;0的的解解是是 Axyx则则的的解解是
26、是和和,0 Axyx11112211,11121122222,1121122,111212(),1,0,0,0,1,0,rrrrnnrrrrnnmmmrrm rrmnnrrnrrnr Arna xa xaxaxa xa xa xaxaxaxaxaxaxaxaxxxxxxx 设则齐次线性方程组可化为形如设则齐次线性方程组可化为形如依次取依次取120,0,1,rrnxxx .,100,010,001:12,2,121,1,11解解系系是是该该方方程程组组的的一一个个基基础础个个解解则则得得到到 rnnrnrrrrrrccccccrn .,:,0,21221121可可取取任任意意数数其其中中的的所所
27、有有解解可可表表为为则则的的一一个个解解为为的的一一个个基基础础解解系系为为rnrnrnrnaaaaaabAxbAxAx nArArbAbAxnm )()(,0,K,设设113212236426131214消去同列除第消去同列除第1个元素外所有元素个元素外所有元素初等初等 变换变换131212012003001002变换成变换成 类似类似 的形式的形式 rIA113212010002042006消去同列除第消去同列除第2个元素外所有元素个元素外所有元素消去同列除第消去同列除第3个元素外所有元素个元素外所有元素1 05 2170 120030 02002行行100213010001001002105217010001001002使之变换成使之变换成 形式形式 即可即可rIA
