1、2022-12-21 第十九讲 定积分的应用（一）二、几何应用一、微元分析法2022-12-22.,)1(baxA的的某某个个区区间间自自变变量量依依赖赖于于不不均均匀匀变变化化的的整整体体量量 niiAA1,.)2(即即具具有有可可加加性性iiiixfAA )()3(求求得得近近似似值值可可“以以不不变变代代变变”部部分分量量可以应用定积分计算的量有如下特点:一、微元分析法2022-12-23x)(xAxx A xyab)(xfy o xadttfxA)()(dxxfAd)()()(xfxA ,)(baCxf dxxfAdA)()0()()(xxodxxfA 关键是部分量的近似)()(bAd
2、ttfba 2022-12-24局局部部量量的的近近似似值值写写出出“不不变变代代变变”的的小小区区间间取取具具有有代代表表性性第第一一步步：分分割割区区间间,xxxba xxfA )(得得定定积积分分就就是是整整体体量量无无限限积积累累上上微微元元在在区区间间第第二二步步：令令,0bax badxxfA)(微分近似)()(xxxfA 要要求求：微元分析法2022-12-25二、几何应用（一）平面图形的面积1.直角坐标系下平面图形面积的计算Axfyxbxax所所围围曲曲边边梯梯形形的的面面积积曲曲线线轴轴和和连连续续及及由由直直线线)(,)1(根据定积分的定义和几何意义知 badxxfA)(2
3、022-12-26,)()(,baxxfxg 先先看看Abxaxxgyxfy所所围围成成的的面面积积和和直直线线由由曲曲线线 ,)(),()2(badxxgxfA)()(面积微元xdxx dxxgxfdA)()(badxxgxfA)()(xabyo)(xfy)(xgy 2022-12-27xyxy 1 xy2 xo21)1,1(.2,11Axxyxy所所围围成成的的面面积积及及直直线线求求由由曲曲线线例例 xyyx1解解方方程程组组 1121xx解 21)1(dxxxA2ln23)ln2(|212 xx2022-12-28满满足足设设连连续续函函数数)(),(yy ,)()(0dcyyy Ad
4、ycyyxyx所所围围成成的的面面积积和和直直线线求求由由曲曲线线 ,),(),(面面积积公公式式：dcdyyyA)()(x)(yx cd)(yx yoydyy 2022-12-29.1,5222Ayxyx的的面面积积所所围围成成求求由由曲曲线线例例 2215yxyx 212121yy解解方方程程组组解oxy21yx 25yx 210221)51(22dyyyAA32)34(2|2103 yy211A 2102)41(2dyy2022-12-210面面积积微微元元：小小圆圆扇扇形形 ddA)(212 d面积微元 )(o2.极坐标系下平面图形面积的计算.,)(所所围围成成的的面面积积及及射射线线
5、求求曲曲线线 dA)(2122022-12-211.)cos1(3Aa的的面面积积所所围围成成求求心心脏脏线线例例 利利用用对对称称性性12AA 0422cos4dao 2042cos8 tdta解 02)cos1(da223a 02)(212d2022-12-212所所围围面面积积。求求星星形形线线：例例2,0sincos433 ttaytaxa3.参数方程下求图形面积2022-12-213解利利用用对对称称性性14AA aydx04dtttata)sin(cos3sin42023 20242)sin1(sin12 dxtta)221436522143(122 a283a 2022-12-2
6、14体体积积 badxxAV)(xbaxdxx A(x)（二）空间立体的体积1.已知平行截面面积立体的体积2022-12-215xab babadxxfdxyV)(22 xdxx 2.旋转体的体积2)(yxA o)(xfy y2022-12-216xo)(yx cd2)(xyA dcdcdyydyxV)(22 yyy+dy2022-12-217.152222Vxbyax旋旋转转体体的的体体积积轴轴旋旋转转所所成成绕绕求求椭椭圆圆例例 xa上上半半椭椭圆圆方方程程为为22xaaby )(axa o得得到到利利用用对对称称性性,adxyVV02122 adxxaab02222)(2|03222)3
7、(2axxaab 解234ab y2022-12-218旋旋转转体体的的体体积积？轴轴旋旋转转所所成成绕绕轴轴所所围围图图形形和和直直线线怎怎样样求求由由曲曲线线例例yxxxy,2,6 2o2,0.的的变变化化区区间间分分即即为为积积分分变变量量取取yy 202222dyxV 20424dyy 251625424 解法一y+dyy2022-12-2192,0.的的变变化化区区间间分分即即为为积积分分变变量量取取xx体体积积微微元元是是什什麽麽？xdxx 2o薄薄壁壁圆圆桶桶dxyxdV 2 202dxxxV 为为积积分分变变量量？何何时时选选择择为为积积分分变变量量？何何时时选选择择思思考考：
8、yx解法二 2516522|2025 x2022-12-220 niiiMM11iiniMM11max 0lim lABxyoiixx ix（三）平面曲线的弧长何谓曲线的长？内接折线长的极限1M1 iMiM0M nM 2022-12-221设设曲曲线线段段方方程程为为)1()()(bxaxfy 上上连连续续在在即即曲曲线线是是光光滑滑的的,)(,baxf ),2,1()()(221niyxMMiiii 中中值值定定理理得得到到由由Lagrangeiiiiixfxfxfy )()()(1)(1iiixx ),2,1()(121nixfMMiiii niiiniiixfMM1211)(1 2022
9、-12-222iiniMM11max 记记 inix 1max iiiMMx1从从而而得得到到有有时时当当故故.0,0,baniiiniiidxxfxfMMl2120110)(1)(1limlim 弧弧长长：babadxydxxfl221)(12022-12-223出出设设曲曲线线段段由由参参数数方方程程给给)2()()(tyytxx)(t且且不不同同时时为为零零,)(),(Ctytx 0,0,;,dldtBtAt有有时时当当即即对对应应终终点点对对应应起起点点 dttytxl)()(22弧弧长长公公式式：2022-12-224给给出出设设曲曲线线段段由由极极坐坐标标方方程程)3()()(上上
10、连连续续在在,)(作作为为参参数数选选)(sin)(cos)(yx弧弧长长公公式式：dl)()(222022-12-2252022-12-226则则有有的的弧弧长长为为对对应应于于变变动动区区间间设设光光滑滑曲曲线线),(,),()(xlxabxaxfy xadxdxdyxl2)(1)(存存在在定定理理得得到到由由原原函函数数上上连连续续在在因因为为,)(baxf 2)(1)(dxdydxxdl 2022-12-227dxxydl2)(1 弧弧微微分分公公式式：从从而而有有时时当当,0,0 dxdldxdxdydl2)(1 即即dttytxdl22)()(ddl22)()(2022-12-22
11、8yxyBNTdxMAdxx xadyb2022-12-229求求悬悬链链线线例例 7xyoaa)0()(2 aaxacheeayaxaxlaxax一一段段的的弧弧长长到到从从 aadxaxshdxyl0202)(1212)(1222100|eeaashaxashdxaxchaa解2022-12-230求求旋旋轮轮线线例例 8)0()cos1()sin(atayttaxl第第一一拱拱的的弧弧长长a 2ot解)cos1()(tatx tatysin)(dttadttadttytxdl2sin2)cos1(2)()(22 adttadttal82sin22sin22020 2022-12-231（
12、四）曲率与曲率半径曲率问题就是研究曲线的弯曲程度问题0MM 0TTlMM 之间的弧长为之间的弧长为设设,0之之间间的的为为MMl,0 处的曲率处的曲率为曲线在为曲线在则称则称存在存在定义：若定义：若000lim,limMlklll 平均曲率2022-12-232lkl 0lim dld y tany arctan dxyyd 211 dxydl21 而232)1(yyk 曲率公式二阶可导二阶可导设曲线设曲线)(xfy 的曲率半径的曲率半径处处在在称为曲线称为曲线0)(Mxfy kR1 2022-12-233xdxx MTxabyo)(xfy （五）旋转体的侧面积用切线MT绕x轴旋转所得圆台的侧
13、面积近似2022-12-234dldyydldldyyy 2)(圆圆台台侧侧面面积积得得侧侧面面积积微微元元：略略去去！时时当当),(,0dxodldydx dxyyydldS2122 badxyyS212 侧侧面面积积2022-12-235)0(.)()()(9222baSxabyx 面积面积表表的的环体环体旋转体旋转体轴旋转所得轴旋转所得绕绕求圆求圆例例xya aob上上半半圆圆方方程程221xaby 下下半半圆圆方方程程222xaby 22222221xaxyyy 2221xaay 解2022-12-236故故侧侧面面积积之之和和轴轴旋旋转转的的绕绕所所求求面面积积为为上上、下下半半圆圆,x aadxyydxyySS02220211114142 dxxaaxabxaba)()(42202222 axadxab0228 abaxaba204arcsin8|
