1、求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数xyx 0lim微微 分分xydy 关关 系系)(xodyydxydyydxdy 高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分一、主要内容1 1、导数的定义、导数的定义即即或或记为记为处的导数处的导数在点在点并称这个极限为函数并称这个极限为函数处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果取得增量取得增量相应地函数相应地函数时时内内仍在该邻域仍在该邻域点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义在点在点设函数设函数,)(,)(,)(,0);()(,)(,)(0000000000 xxx
2、xxxdxxdfdxdyyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 定义定义.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.2 2、基本导数公式、基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(log
3、ln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx （常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx arc3 3、求导法则、求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1）vuvu )(,（2）uccu )(c是常数是常数),（3）vuvuuv )(,（4）)0()(2 vvvuvuvu.(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)
4、反函数的求导法则反函数的求导法则.)(1)(),()(xxfxfyyx 则有则有的反函数为的反函数为如果函数如果函数(3)复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的导数为的导数为则复合函数则复合函数而而设设(4)对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围:.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu(5)(5)隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法
5、则直接对方程两边求导.,)()(间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd (6)(6)参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则4 4、高阶导数、高阶导数,)()(lim)(0 xxfxxfxfx 二阶导数二阶导数记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),(
6、)()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数)5、微分的定义微分的定义定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记作记作的微分的微分于自变量增量于自变量增量相应相应在点在点为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立如果如果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分
7、ydy(微分的实质微分的实质)6 6、导数与微分的关系、导数与微分的关系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点可微的充要条件是函数可微的充要条件是函数在点在点函数函数定理定理7 7、微分的求法微分的求法dxxfdy)(求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxd
8、dxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(arc 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 8 8、微分的基本法则微分的基本法则 微分形式的不变性微分形式的不变性的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx dxxfdy)(二、典型例题例例1 1).0(),100()2)(1()(fxxxxxf 求求设设
9、解解0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 例例2 2.,1111ln411arctan21222yxxxy 求求设设解解,12xu 设设,11ln41arctan21 uuuy则则)1111(41)1(212 uuuyu411u ,2142xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx 例例3 3.,45202 tdxdyt ttyttx求求设设解解分析分析:,0不存在不存在时时当当tt ,0不存在不存在时时当当dtdydtdxt 不能用公式求导不能用公式求导.tttttxytx 24)(5limlim200)sgn(2)sgn
10、(45lim0tttt .0.00 tdxdy故故.,)0,0()(22dxydyxxyxfyyx求求所确定所确定由方程由方程设函数设函数 例例4 4解解两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx,lnlnxxyy 即即,1ln)ln1(xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy).(,)2()(xfxxxxf 求求设设例例5 5解解先去掉绝对值先去掉绝对值,2),2(20),2(0),2()(222 xxxxxxxxxxf,0时时当当 x,0)0()0(ff;0)0(f,20时时当当 x;43)(2xx
11、xf ,02时时或或当当 xx;43)(2xxxf ,2时时当当 x2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx.4 2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx.4),2()2(ff.2)(处不可导处不可导在在 xxf ,20,43,0,00,2,43)(22xxxxxxxxxf或或.,)(sincosyxxyx 求求设设例例6 6解解)(ln yyy)sinlncos(ln xxxy)sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxx .,114)(22nyxxy求求设设 例例7 7解解13441142222 xxxxy)11
12、11(234 xx,)1(!)1()11(1)(nnnxnx,)1(!)1()11(1)(nnnxnx.)1(1)1(1!)1(2311)(nnnnxxny一、一、选择题：选择题：1 1、函数、函数)(xf在点在点0 x的导数的导数)(0 xf 定义为定义为（）（A A）xxfxxf )()(00；（B B）xxfxxfxx )()(lim000；（C C）xxfxfxx )()(lim00；（D D）00)()(lim0 xxxfxfxx ；2 2、若函数、若函数)(xfy 在点在点0 x处的导数处的导数0)(0 xf，则，则 曲线曲线)(xfy 在点在点()(,00 xfx)处的法线处的法
13、线（）（A A）与）与x轴相平行；轴相平行；（B B）与）与x轴垂直；轴垂直；（C C）与）与y轴相垂直；轴相垂直；（D D）与）与x轴即不平行也不垂直：轴即不平行也不垂直：测测 验验 题题 3 3、若若函函数数)(xf在在点点0 x不不连连续续，则则)(xf在在0 x ()（A A）必必不不可可导导；（B B）必必定定可可导导；（C C）不不一一定定可可导导；（D D）必必无无定定义义.4 4、如如果果)(xf=（），那那么么0)(xf.(A A)xxarccos2arcsin；(B B)xx22tansec；(C C)1(cossin22xx ；(D D)xarctanarcxcot.5
14、5、如如果果 0),1(0,)(2xxbxexfax处处处处可可导导，那那末末（）（A A）1 ba；（B B）1,2 ba；（C C）0,1 ba；（D D）1,0 ba.6 6、已知函数、已知函数)(xf具有任意阶导数，且具有任意阶导数，且 2)()(xfxf ,则当则当n为大于为大于 2 2 的正整数时，的正整数时，)(xf的的 n n 阶导数阶导数)()(xfn是是（）（A A）1)(!nxfn；（B B）1)(nxfn；（C C）nxf2)(；（D D）nxfn2)(!.7 7、若函数、若函数)(txx ,)(tyy 对对t可导且可导且0)(tx,又又 )(txx 的反函数存在且可导
15、，则的反函数存在且可导，则dxdy=（）（A A）)()(txty；（B B）)()(txty ；（C C）)()(txty ；（D D）)()(txty.8 8、若函数、若函数)(xf为可微函数，则为可微函数，则dy（）（A A）与）与x 无关；无关；（B B）为）为x 的线性函数；的线性函数；（C C）当）当0 x时为时为x 的高阶无穷小；的高阶无穷小；（D D）与）与x 为等价无穷小为等价无穷小.9 9、设函数、设函数)(xfy 在点在点0 x处可导，当自变量处可导，当自变量x由由0 x增增加到加到xx 0时，记时，记y 为为)(xf的增量，的增量，dy为为)(xf的的微分，微分，xdy
16、yx 0lim等于等于（）（A A）-1-1；（B B）0 0；（C C）1 1；（D D）.1010、设函数、设函数)(xfy 在点在点0 x处可导，且处可导，且0)(0 xf，则则 xdyyx 0lim等于等于（）.（A A）0 0；（B B）-1-1；（C C）1 1；（D D）.二、求下列函数的导数：二、求下列函数的导数：1 1、2lnsinxxy ；2 2、xaycosh （0 a）；）；3 3、xxysec2)1(；4 4、)310lncos(2xy ；5 5、设、设y为为x的函数是由方程的函数是由方程xyyxarctanln22 确确 定的；定的；6 6、设、设yyx 2，232
17、)(xxu ，求，求dudy.三、证明三、证明textsin，teytcos 满足方程满足方程 )(2)(222ydxdyxdxydyx .四、已知四、已知 0,0,cos)()(xaxxxxgxf其中其中)(xg有二阶连有二阶连 续导数，且续导数，且1)0(g，1 1、确定、确定a的值，使的值，使)(xf在在0 x点连续；点连续；2 2、求、求)(xf 五、设五、设,ln xxy 求求)1()(nf.六、计算六、计算302.9的近似值的近似值 .七七、一一人人走走过过一一桥桥之之速速率率为为 4 4 公公里里/小小时时，同同时时一一船船在在此此人人底底下下以以 8 8 公公里里/小小时时之之
18、速速率率划划过过，此此桥桥比比船船高高2 20 00 0 米米，问问 3 3 分分钟钟后后人人与与船船相相离离之之速速率率为为多多少少？一、一、1 1、D D；2 2、B B；3 3、A A；4 4、D D；5 5、D D；6 6、A A；7 7、C C；8 8、B B；9 9、B B；10 10、A A；二、二、1 1、xxxxsin2lncos2；2 2、xxaacoshsinhln；3 3、xxxxxxxsec12)1ln(tan)1(22sec2 ；4 4、)310tan(62xx；5 5、yxyx ；6 6、xxxy 2)12)(12(31.测验题答案测验题答案四、四、1 1、)0(ga ；2 2、0),1)0(210,cos)(sin)()(2xgxxxxgxxgxxf.五、五、)!2()1()1(2)(nfnn.六、六、2.09.2.09.七、七、16.8620(公里公里/小时小时).).
