1、特征向量在实际问题中的应用特征向量在实际问题中的应用性质性质 1:设设 l l1,l l2 是二阶矩阵是二阶矩阵 A 的两个不同特征值的两个不同特征值,x x1,x x2 是矩是矩阵阵 A 的分别属于特征值的分别属于特征值 l l1,l l2 的特征向量的特征向量,对于任意的非零对于任意的非零平面向量平面向量 a a,设设 a=a=t1x x1+t2x x2(其中其中 t1,t2 为实数为实数),则对任意正则对任意正整数整数 n,有有 Ana=a=t1l l1nx x1+t2l l2nx x21.用数学归纳法证明用数学归纳法证明:(1)当当 n=1 时时,Aa=a=A(t1x x1+t2x x
2、2)=t1Ax x1+t2Ax x2=t1l l11x x1+t2l l21x x2,即即 n=1 时时,性质性质 1 成立成立。(2)假设假设 n=k 时时,Aka=a=t1l l1kx x1+t2l l2kx x2 成立成立,那么当那么当 n=k+1 时时,Ak+1a=a=AAka a=A(t1l l1kx x1+t2l l2kx x2)=t1l l1kAx x1+t2l l2kAx x2=t1l l1kl l1x x1+t2l l2kl l2x x2=t1l l1k+1x x1+t2l l2k+1x x2,即得即得 n=k+1 时时,等式也成立等式也成立。由由(1)(2)知知,对于任意正
3、整数对于任意正整数 n,性质性质 1 都成立都成立.2.设矩阵设矩阵 P=,其中其中 p,q 均为常数均为常数,且满足且满足 0p,q1,试证明试证明:(1)矩阵矩阵 P 的特征值为的特征值为 l l1=1,l l2=1-p-q;(2)向量向量 x x1=,x x2=分别为矩阵分别为矩阵 P 的属于特的属于特征值征值 l l1,l l2 的一个特征向量的一个特征向量。1-p q p 1-qqp 1-1证明证明:(1)P 的特征多项式为的特征多项式为f(l)=(l)=l l-(1-p)-q-p l l-(1-q)=l l2-(2-p-q)l l+1-p-q,解特征方程解特征方程 f(l l)=0
4、 得得l l1=1,l l2=1-p-q.2.设矩阵设矩阵 P=,其中其中 p,q 均为常数均为常数,且满足且满足 0p,q1,试证明试证明:(1)矩阵矩阵 P 的特征值为的特征值为 l l1=1,l l2=1-p-q;(2)向量向量 x x1=,x x2=分别为矩阵分别为矩阵 P 的属于特的属于特征值征值 l l1,l l2 的一个特征向量的一个特征向量。1-p q p 1-qqp 1-1证明证明:(2)将将 l l1=1 代入方程组代入方程组 =+-+-=-+-0)1(,0)1(yqPxqyxpl ll l得同一个方程得同一个方程 px=qy.令令 x=q,则则 y=p.属于特征值属于特征
5、值 l l1 的特征向量为的特征向量为 x x1=.qp将将 l l1=1-p-q 代入方程组代入方程组3.特征向量在实际问题中的应用特征向量在实际问题中的应用下面我们用下面我们用 Ana a 解决一类实际问题解决一类实际问题。某国家连续几年对城镇与农村之间的人口流动情某国家连续几年对城镇与农村之间的人口流动情况作调查况作调查,发现有如下稳定的流动趋势发现有如下稳定的流动趋势:(1)每年每年,约有约有 5%的农村居民移居城镇的农村居民移居城镇;(2)每年每年,约有约有 1%的城镇居民移居农村的城镇居民移居农村。现在全国总人口现在全国总人口(城镇与农村人口的总和城镇与农村人口的总和)中中 70%
6、住在城镇住在城镇。假定全国总人口一直保持不变假定全国总人口一直保持不变,并且这种并且这种人口流动的趋势继续下去人口流动的趋势继续下去。那么那么,1 年以后住在城镇年以后住在城镇的人口占总人口的比例是多少的人口占总人口的比例是多少?2 年以后呢年以后呢?10 年以年以后呢后呢?最终的情况如何最终的情况如何?农村农村城镇城镇 5%,城镇城镇农村农村 1%，现城镇占现城镇占70%。解：解：设设 t0,c0 分别表示城镇、农村居民占总人口的比分别表示城镇、农村居民占总人口的比例数例数,tn,cn 分别表示分别表示 n 年后城镇、农村居民占总人年后城镇、农村居民占总人口的比例数口的比例数。N为总人口数为
7、总人口数。t2c2t1c1=Pt0=0.7,c0=0.3.t1c1t0c0=P0.99 0.050.01 0.95=0.70.30.7080.292=.0.99 0.050.01 0.95=0.7080.2920.7160.284 .如此如此,10年后的运算量就太大了年后的运算量就太大了。t10c10t0c0=P10形如形如 Ana a 的形式的形式,则可用则可用 P 的的特征值与特征向量表示特征值与特征向量表示。0.99 0.050.01 0.95P=,P 的特征多项式为的特征多项式为f(l l)=l l-0.99 -0.05-0.01 l l-0.95=l l2-1.94l l+0.94,
8、解特征方程解特征方程 f(l l)=0 得得l l1=1,l l2=0.94.于是求得对应的特征向量为于是求得对应的特征向量为x x1=,0.050.01x x2=.1-11-p q p 1-q若若 P=,0p,q1,则则 l l1=1,l l2=1-p-q;qpx x1=,1-1x x2=.0.99 0.050.01 0.95P=,P 的特征多项式为的特征多项式为f(l l)=l l-0.99 -0.05-0.01 l l-0.95=l l2-1.94l l+0.94,解特征方程解特征方程 f(l l)=0 得得l l1=1,l l2=0.94.于是求得对应的特征向量为于是求得对应的特征向量
9、为x x1=,0.050.01x x2=.1-1设设 =t1x x1+t2x x2，t0c0=t1 +t2 ,0.050.01 1-1即即0.70.3解得解得.152 ,35021-=tt则则tncnt0c0=Pn=t1l l1nx x1+t2l l2nx x2 -=11 94.015201.005.01350nn.94.01526194.015265 +-=nn于是可求于是可求 n 等于任意正整数时的等于任意正整数时的 .tncn如果如果 n 趋向无穷大时趋向无穷大时tncn.6165 =这就是人口最终比例这就是人口最终比例。例例1.在扩散理论中的应用在扩散理论中的应用设某物质能以液态和气态
10、的混合状态存在设某物质能以液态和气态的混合状态存在,又假定在又假定在任意一段很短的时间内任意一段很短的时间内 (1)液体的液体的 5%蒸发成气态蒸发成气态;(2)气体的气体的 1%凝结成液态凝结成液态。求经过求经过 n 次这样的变化后次这样的变化后,这物质的混合状态中这物质的混合状态中,气气态和液态各占的比例是多少态和液态各占的比例是多少?最终结果怎样最终结果怎样?(此例与前面的问题类似此例与前面的问题类似,请同学们先做做请同学们先做做)例例1.在扩散理论中的应用在扩散理论中的应用设某物质能以液态和气态的混合状态存在设某物质能以液态和气态的混合状态存在,又假定在又假定在任意一段很短的时间内任意
11、一段很短的时间内 (1)液体的液体的 5%蒸发成气态蒸发成气态;(2)气体的气体的 1%凝结成液态凝结成液态。求经过求经过 n 次这样的变化后次这样的变化后,这物质的混合状态中这物质的混合状态中,气气态和液态各占的比例是多少态和液态各占的比例是多少?最终结果怎样最终结果怎样?设设 t0,c0 分别表示混合状态最初的气体、液体分别表示混合状态最初的气体、液体的比例数的比例数,tn,cn 分别表示分别表示 n 次变化后气体、液体在次变化后气体、液体在混合状态中的比例数混合状态中的比例数。1 次变化后次变化后,+=+=.95.001.0,05.099.0001001ctcctt0.99 0.050.
12、01 0.95设设 P=,解解:用矩阵表示用矩阵表示 1 次变化后和次变化后和 n 次变化后的表达式次变化后的表达式t1c1t0c0=P ,tncnt0c0=Pn .由由“习题习题4.2”中第中第 2 题的结果题的结果:则则 l l1=1,l l2=1-p-q;1-p q p 1-q若若 P=,0p,q1,qpx x1=,1-1x x2=.得此题矩阵得此题矩阵 P 的特征值的特征值 l l1=1,l l2=0.94;0.99 0.050.01 0.95P=.x x1=,0.050.01x x2=.1-1对应的特征向量对应的特征向量则则tncnt0c0=Pn=t1l l1nx x1+t2l l2
13、nx x2 -+=11 94.001.005.0121nntt0.05t1+0.94nt20.01t1-0.94nt2=.当当 n 趋向无穷大时取极限得趋向无穷大时取极限得,tn=0.05t1,cn=0.01t1,tn:cn=5:1,即气态占该物质的即气态占该物质的 ,液态占该物质的液态占该物质的65.61且有如下关系：发展水平的环境污染水平与经济分别为改地区若干年后平水境污染水平与经济发展分别为改地区目前的环：设例,21100yxyx+=+=001001223yxyyxx令=111000,yxyxaa=2213A则上述关系的矩阵形式为.01aaA=此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水平
14、和经济发展水平之间的关系。如=11000yxa则由上式得 001411444112213aaa=A 由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平。模型为的增长则经济发展与环境污染水平与经济发展水平，年后的环境污染分别为该地区一般地，若令tyxtt,),2,1(2231111ktyxyyxxtttttt=+=+=-令=tttyxa则上述关系的矩阵形式为 ktAtt,2,1,1=-aa由此，有.)(,010323021201aaaaaaaaaaatttAAAAAAA=-应应 用用 由此可预测该地区t年后的环境污染水平和经济发展水平。下面作进一步地讨论：由矩阵A 的特征多项式)1)(4(22
15、13|-=-=-lllllAE得A 的特征值为1,421=ll得特征向量，解方程组对0)4(41=-=XAEl=111 应应 用用-=212.,21线性无关显然，下面分三种情况分析：Case 1=1110a由(*)及特征值与特征向量的性质知，=1141110tttttAAlaa得特征向量，解方程组对0)(11=-=XAEl即=114tttyx或tttyx4=此式表明：在当前的环境污染水平和经济发展水平 的前提下，t 年后，当经济发展水平达到较高程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势.的特征向量的属于特征值也是则的特征向量，的属于特征值是矩阵一个性质：若kkAAlala-=21220aCase.,
16、020不讨论此种情况-=y=7130aCase.0不能类似分析不是特征值，a21021023aa-=唯一线性表出为，可以由但是由（*）及特征值与特征向量的性质,221121210443243211211432323)23(+-=-=-=-=-=tttttttttttAAAAllaa即,443243+-=ttttyx,243-=ttx443+=tty 由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展水平。【课时小结课时小结】两种状态随时间相互转化的比例问题两种状态随时间相互转化的比例问题基本解题步骤基本解题步骤:(1)由题设写出初始时两种状态的比例向由题设写出初始时两种状态的比例向量量 a=a=(t0,c0).(2)由题设所给变化比例写出一次变化后的由题设所给变化比例写出一次变化后的变化线性方程组变化线性方程组 +=+=.,001001dcctcbcatt(3)写出系数矩阵写出系数矩阵a bc dP=.(4)则则 n 次变化后两种状态比例为次变化后两种状态比例为 Pna a.
