1、 一般地一般地,在线性变换下在线性变换下,是否仍然是否仍然由平面上的直线变成直线由平面上的直线变成直线,三角形变三角形变成三角形呢成三角形呢?教学目标教学目标了解矩阵的概念了解矩阵的概念掌握五类特殊的线性变换及其二阶矩阵掌握五类特殊的线性变换及其二阶矩阵知识与能力知识与能力过程与方法过程与方法情感态度和价值观情感态度和价值观 用代数方法表示几何变换用代数方法表示几何变换,进而就可以进而就可以从代数的角度研究几何变换从代数的角度研究几何变换 体验在直角坐标系中线性变换与二阶体验在直角坐标系中线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系矩阵之间的一一对应关系 1.二阶矩阵的概念二阶矩阵的概念2.2.线性变
2、换及其对应的二阶矩阵线性变换及其对应的二阶矩阵教学重难点教学重难点重点重点线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系 难点难点 旋转变换旋转变换 反射变换反射变换 伸缩变换伸缩变换 投影变换投影变换 切变变换切变变换（一）几种特殊线性变换及其二阶矩阵（一）几种特殊线性变换及其二阶矩阵 1.旋转变换旋转变换探究探究 将直角坐标系所有点绕原将直角坐标系所有点绕原点沿逆时针方向旋转一个角度点沿逆时针方向旋转一个角度.设平面内点设平面内点P(x,y)经过旋转后变经过旋转后变成点成点 ()y,xP 那么如何用那么如何用P的坐标的坐标(x,y)表示表示 的坐标的坐标?P()y
3、,x得到：得到：x=x,y=y.称为旋转角为称为旋转角为180的旋转变换的表达式的旋转变换的表达式P是是P在这个旋转变换的像。在这个旋转变换的像。O180PPyx 如图如图,在直角坐标系在直角坐标系xo oy内内,点点P(x,y)绕原点绕原点O按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转180,变成点变成点,Px y。例例1 1 在直角坐标系在直角坐标系xoyxoy内内,将每个点绕原点将每个点绕原点O O按逆按逆时针方向旋转时针方向旋转3030的变换称为旋转角是的变换称为旋转角是3030的旋的旋转变换。转变换。(1)(1)求点求点A A（1 1，0 0）在这个旋转变换下的像）在这个旋转变换下的像A A;(
4、2)(2)写出这个旋转变化的表达式。写出这个旋转变化的表达式。A(1,0)O30Ayx图图1图图2Oyx(x,y)P30().y,xP的的横横坐坐标标和和纵纵坐坐标标为为点点解解：如如图图A,123=231=30=cosOAx30=sinOAy21=211=)21,23(1,0)AA为为在这个旋转变换下的像在这个旋转变换下的像点点=rsinyrcosx(2)如图如图2,分别连接分别连接OP,OP,设设OP=OP=r,.OP,x为为终终边边的的角角以以轴轴的的正正半半轴轴为为始始边边是是以以记记()()30+=30+=sinrycosrx即即:yxyyxx23+21=2123=23212123即
5、得到正方形数表即得到正方形数表:由两角和的三角函数公式得由两角和的三角函数公式得:,cosysinxy,sinycosxx30+30=3030=其中系数其中系数a,b,c,d均为常数，则称的均为常数，则称的几何变换为几何变换为线性变换线性变换。式叫做这个线式叫做这个线性变换的性变换的坐标变换公式坐标变换公式。dycxybyaxx+=+=线线性性变变换换与与abcd一一一一对对应应 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中,很多平面变很多平面变换（平面内有点构成的集合）到它自身的换（平面内有点构成的集合）到它自身的映射都具有下列形式映射都具有下列形式定义定义由由4个数个数a,b,c,d排成的正
6、方形排成的正方形数表数表 称为称为二阶矩阵二阶矩阵dcba数数a,b,c,d称为矩阵的元素。称为矩阵的元素。零矩阵零矩阵:0000记为记为:单位矩阵单位矩阵:1001记为记为:0E2.反射变换反射变换 平面上的任意一点平面上的任意一点P变成它关于直线变成它关于直线l的对的对称点称点P的线性变换叫做关于直线的线性变换叫做关于直线l的的反射反射。例例:在直角坐标系在直角坐标系xOy内内,任意点任意点P(x,y)关于关于直线直线y=x的对称点为的对称点为P(x,y).则相应则相应的坐标变换公式是的坐标变换公式是:x=y,y=x。对应的二阶矩阵是对应的二阶矩阵是01103.伸缩变换伸缩变换 在直角坐标
7、系在直角坐标系xOy内内,将每个点的将每个点的横坐标变为原来的横坐标变为原来的k1倍倍,纵坐标变为原纵坐标变为原来的来的k2,其中其中k1,k2均为非零常数均为非零常数,称这称这样的几何变换为样的几何变换为伸缩变换伸缩变换。定义定义伸缩变换的坐标变换公式为伸缩变换的坐标变换公式为:x=k1x,y=k2y。对应的二阶矩阵对应的二阶矩阵:kk21004.投影变换投影变换 设设l是一条给定的直线。对平面内是一条给定的直线。对平面内任意一点任意一点P作直线作直线l的垂线的垂线,垂足为垂足为P,称称点点P为点为点P在直线在直线l上的上的投影投影。lPP 平面上每一点平面上每一点P变成它在直变成它在直线线
8、l上的投影上的投影P,这个变换称为关这个变换称为关与直线与直线l的的投影变换投影变换。定义定义 在直角坐标系在直角坐标系xOy内内,任意点任意点P关于关于x轴轴的投影变换的坐标变换公式为的投影变换的坐标变换公式为:x=x,y=0.对应的二阶矩阵对应的二阶矩阵:00015.切变变换切变变换 如图如图,在直角坐标系在直角坐标系xOy内内,将每一点将每一点P(x,y)沿沿与与x轴平行的方向平移轴平行的方向平移ky各单位变成各单位变成P,其中其中k为常为常数数,称这类变换为平行于称这类变换为平行于x轴的轴的切变变换切变变换。OyxP(x,y)P(x+ky,y)定义定义平行与平行与x轴的切变变换的坐标变
9、换公式为轴的切变变换的坐标变换公式为:x=x+ky,y=y。对应的二阶矩阵对应的二阶矩阵:101k平行于平行于y轴的切变变换的坐标公式轴的切变变换的坐标公式?x=x,y=kx+y.对应的二阶矩阵对应的二阶矩阵:101k（二）变换、矩阵的相等（二）变换、矩阵的相等23+23=2323=cosysinxysinycosxxx=x,y=x.旋转角为旋转角为 的旋转变换的坐标变换公式的旋转变换的坐标变换公式23即即:23232323cossinsincos0110对应的二阶矩阵对应的二阶矩阵:即即:x=x,y=x.）（）（）（）（2+2=22=cosysinxysinycosxx旋转角为旋转角为 的旋
10、转变换的坐标变换公式的旋转变换的坐标变换公式2即即:）（）（）（）（2222cossinsincos0110即即:对应的二阶矩阵对应的二阶矩阵:观察观察1.旋转变换的坐标变换公式旋转变换的坐标变换公式2.对应的二阶矩阵对应的二阶矩阵1.旋转角度旋转角度 设设,是同一直角坐标平面内的两个线是同一直角坐标平面内的两个线性变换性变换.若对平面内任意点若对平面内任意点P,都有都有（P）=(P),则这两个则这两个线性变换相等线性变换相等,记为记为=。定义定义 设设,所对应的二阶矩阵分别为所对应的二阶矩阵分别为A=,B=.若若=,则则a1=a2,b1=b2,c1=c2,d1=d2.这时我们称这时我们称二阶
11、二阶矩阵矩阵A与二阶矩阵与二阶矩阵B相等。相等。dcba2222dcba1111定义定义课堂练习课堂练习.y,x,q,pBA,qppqB,xyxA，求求且且例例：设设=2+=23+3=解解:由矩阵定义由矩阵定义:.x,qpy,p,qx2=+=23=+3.q,p,yx1=3=2=2=，课堂小结课堂小结1.几种特殊的线性变换几种特殊的线性变换:旋转变换旋转变换、反射变反射变换换、伸缩变换伸缩变换、投影变换投影变换、切变变换切变变换(要求：理解并掌握各变换所对应的坐标要求：理解并掌握各变换所对应的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵。变换公式及其对应的二阶矩阵。)2.变换和矩阵的相等变换和矩阵的相等（1）变换相等）变换相等:对应坐标变换公式和二阶矩阵相等对应坐标变换公式和二阶矩阵相等（2）矩阵相等）矩阵相等:对应系数相等对应系数相等注注:两个线性变换相等当且仅当对应的两个线性变换相等当且仅当对应的 二阶矩阵相等二阶矩阵相等
