1、模块模块6 多元函数微积分多元函数微积分61 空间曲面及其方程、多元函数空间曲面及其方程、多元函数62 偏导数与全微积分偏导数与全微积分63 复合函数与隐函数的偏导数复合函数与隐函数的偏导数64 二元函数的极值二元函数的极值65 二重定积分二重定积分66 二重积分的应用二重积分的应用案例研究案例研究果汁(一)果汁(二)61 空间曲面及其方程、多元函数空间曲面及其方程、多元函数案例案例6.1 果汁的价格果汁的价格：一个小乡村里的惟一商店有 两种牌子的果汁，当地牌子的进价每瓶3元，外地牌子 的进价每瓶4元.店主估计，若当地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出当地牌子的果汁 754x
2、y瓶，外地牌子的果汁 867xy瓶.问：店 主每天以什么价格卖两种牌子的果汁时，才可获得最大 收益？分析分析 每天的收益为(3)(754)(4)(867).Rxxyyxy上式中，x和y是自变量，R是因变量，因此R是x 和 y 的 函 数，这 样 一类函数称为二元函数，记作(,).Rf x y于是，问题成为研究函数(,)Rf x y的 最大值.自然提出下面的问题：（1）二元函数的定义域怎样表达？图像是什么？（2）二元函数的极限怎样求？连续性怎样判定？（3）二元函数的导数怎样求？是否仍然可用导数来判定其最大值？抽象归纳抽象归纳zyxo空间直角坐标系的定义：空间直角坐标系的定义：八个卦限：八个卦限：
3、yxzoIIIIIIIVVVIVIIVIII空间中点的坐标空间中点的坐标：M(x,y,z).oxzyMPQR空间两点的距离公式空间两点的距离公式21221221221zzyyxxMMM(x,y,z)、O(0，0，0)之间的距离为222zyxOMz1M2z2y1M1x1x2xQPzy2y空间曲面与方程空间曲面与方程若曲面S上任意一点的坐标(x,y,z)都满足方程 F(x,y,z)=0,而不在曲面S上的点的坐标都不满足方 程F(x,y,z)=0,则称 F(x,y,z)=0 为 曲面 S的方程方程，而曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图形图形.例例1 求与两定点M(-1，0，2)，N(3，1，1)
4、距离相 等的点的轨迹方程.解解 设动点坐标为P(x,y,z),则有.PNPM 由两 点间距离公式，得22222211321zyxzyx化简得轨迹方程为4x+y-z-3=0.问：问：在例1中，所求的轨迹是的几何形象是什么？归纳归纳：空间平面的方程：,DCzByAx0其 中A、B、C、D都是常数，且A、B、C不全为0.讨论：讨论：空间平面方程与平面直线方程有何异同？例例2 作z=d（d为常数）的图形.解解 这是A=0，B=0,C=1，Dd 时的平面方程，不论x、y取何值，z的值恒为d，所以，dz 的图形 是平行于xOy面的平面，如图所示.yzxod例例3 求球心为点,z,y,xM)(0000半径为
5、R的球 面方程.解解 设球面上任一点为),(z,y,xP则,RPM 0得,Rzzyyxx202020.Rzzyyxx2202020特别地，当球心为原点时，球面方程为.Rzyx2222例例4 作 222Ryx的图形.问：问：你能否给它取一个名字？yzxoR222Ryx例例5 作 22yxz的图形.yxz22yxzo多元函数的概念多元函数的概念定义定义 设在某一个变化过程中有三个变量x,y和z，若对于变量x,y在其变化范围内所取的每一对数值，变 量 z 按照某个对应法则 f，都有惟一确定的数值与之对 应，则称 z 为x、y的二元函数二元函数，记作),(y,xfz 其中 x、y称为自变量，z 称为因
6、变量.自变量的取值范围叫 做函数的定义域定义域.类似地，可以定义三元函数,z,y,xfu)(以及三 元以上的函数.二元及二元以上的函数统称为多元函数多元函数.二元函数的定义域二元函数的定义域 二元函)(y,xfz 的定义域 是一个平面区域.区域区域：闭区域：闭区域：开区域：开区域：有界区域：有界区域：无界区域：无界区域：例例6 求下列函数的定义域并画出相应图形.（1）.xylnz)(（2）221yxz解解（1）(,)|0Dx yxy(,)|0,0(,)|0,0.x yxyx yxy（2）要使z有意义，必须,yx0122,yx122所以，定义域是D=(x,y)|x2+y21.(,)|0,0(,)
7、|0,0 x yxyx yxyxyoD=(x,y)|x2+y21.xyo二元函数的图像二元函数的图像 (,)|(,),(,)Gx y zzf x yx yD二元函数的图像是一张曲面：例例7 作二元函数 22)1(1yxz的图像.解解 由 22)1(1yxz两边平方，得.yxz222)1(1整理后，得.zyx1)1(222yxzo122211)y(xz二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续二元函数的极限定义二元函数的极限定义 设函数)(y,xfz 在点 P0(x0,y0)的周围邻近有定义(点P0可以除外)，若当点 P(x,y)()(00y,xy,x沿任意路径趋于点P0时，)(y,xf都趋于一个
8、 确 定 的 常 数 A，则 称 A 是 函 数)(y,xf当)()(000y,xPy,xP时的极限极限，记作 lim00yyxx,Ay,xf)(或,Ay,xf)(.yy,xx00讨论讨论 点)(y,xP沿任意路径趋向于点)(000y,xP的 含义是什么？它与一元函数的极限有何区别？P0Pxoy例例8 求极限.yxyyx)sin(lim01解解 10sin()limxyxxyxy10sin()limxyxyy1100sin()1lim limxxyyxyxxy二元函数的连续性二元函数的连续性 设函数)(y,xfz 在点P0(x0,y0)的 周 围 邻 近 有 定 义，若 函 数在点P0的极限存在，且 0000(,)(,),limxxyyf x yf xy则称函数)(y,xf在点P0处连续连续.若)(y,xf在区域D的每一点连续，则称它在区域区域D内连续内连续.函数)(y,xf的不连续点称为间断点间断点.讨论讨论：二元函数的连续性、间断点、最大值最小值 定理等与一元函数相似吗？小结：小结：1空间直角坐标系；2空间两点的距离公式；3空间曲面与方程；4多元函数的概念；5二元函数的极限；6二元函数的连续性.
