1、第五节第五节 平面及其方程平面及其方程一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角xyzo0MM 如果一非零向量垂直于一平面，这向量如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的就叫做该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量(,),nA B C 已已知知平平面面的的0000(,),Mxyz点点设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程n.n 常常记记为为0000(,)M Mxx yy zz 0)
2、()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足方程平面上的点都满足方程,不在平面上不在平面上的点都不满足方程的点都不满足方程.该方程称为该方程称为平面的平面的方程方程，平面称为方程的，平面称为方程的图形图形其中法向量其中法向量(,),nA B C 已知点已知点).,(000zyx00 nMMxyzo解解(3,4,6),AB (2,3,1)AC 取取ACABn (14,9,1),所求平面方程为所求平面方程为,0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得.015914 zyxABCn132643 kji例例11(1,1,1),n 2(3,2,12)n 取法
3、向量取法向量21nnn (10,15,5),0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得.0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解二平面的法向量分别为二平面的法向量分别为例例2由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量(,).nA B C 二、平面的一般方程二、平面的一般方程（三元一次方程）（三元一次方程）平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：,0)1(D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；0 DCzByAx0AxByCz xyz
4、o,0)2(A ,0,0DD平面通过平面通过x轴；轴；平面平行于平面平行于x轴；轴；0,B 类似地可讨论类似地可讨论),0(CBn Ox垂垂直直于于轴轴，0ByCzD 0,C 0 DCzByAx0,AxCzD0,AxByD平面平行于平面平行于y轴轴平面平行于平面平行于z轴轴xyzo,0)3(BA平面平行于平面平行于xOy坐标面；坐标面；类似地可讨论：类似地可讨论：0,ACDzC 即即xyzo0,BC平面平行于平面平行于yOz坐标面；坐标面；平面平行于平面平行于zOx坐标面；坐标面；（常数常数）,DyB 即即DxA 即即设平面为设平面为,0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知,0 D02
5、36 CBA,2,1,4 n024 CBA,32CBA .0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解(6,3,2)因因平平面面过过点点，故故有有例例3设平面为设平面为,0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 ,0,0,0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解例例4,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程作图方法：作图方法：xyzoabc先在坐标轴上标出截距点，先在坐标轴上标出截距点，再用直线连接再用直线连接.1 1n2 2n 定义定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面法向量之间的夹角称为两平面
6、的夹角两平面的夹角.（通常取锐角）（通常取锐角）,0:11111 DzCyBxA,0:22222 DzCyBxA1111(,),nA B C 2222(,),nA B C 三、两平面的夹角三、两平面的夹角 按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1(;0212121 CCBBAA21)2(/.212121CCBBAA 1111(,),nA B C 2222(,),nA B C 例例5210 xyz求求两两平平面面解解2222231)1(2)1(
7、|311201|cos 160 故夹角故夹角.601arccos 310.yz 和和的的夹夹角角)1,3,0(),1,2,1(21 nn两平面的法向量为两平面的法向量为例例6 一平面通过两点一平面通过两点M1(1,1,1)和和M2(0,1,1)，且垂直于平面且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程，求它的方程.:(,)nA B C 其其法法线线向向量量为为，解解 设所求平面为：设所求平面为：A(x1)+B(y1)+C(z1)=01 nn1212(1,0,2),M MM Mn 在在平平面面上上 有有10,(1,1,1)xyzn 又又因因，已已知知平平面面其其，,由由已已知知两两平平面面垂垂直直，则
8、则其其法法线线向向量量亦亦垂垂直直 20AC2,AC BC 解解得得 20 xyz化化简简得得为为所所求求平平面面.1 nn 又又由由，0,ABC即即20 0ACABC (1)(1)(1)0:A xB yC z代代入入解解之之得得2(1)(1)(1)0 xyz12,20M MnAC 由由有有例例6 6 一平面通过两点一平面通过两点M1(1,1,1)和和M2(0,1,1),且垂直于平面且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程，求它的方程.设平面为设平面为,1 czbyaxxyzo,1 V1 11,3 2a b c由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向量平行的
9、充要条件）（向量平行的充要条件）解解例例7,61161cba 化简得化简得令令tcba 611611,6at1,bt 1,6ct 111116 66ttt 代入体积式代入体积式11,66tt 1,6,1,abc 666.xyz 所求平面方程为所求平面方程为 ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P 00101PrnPPPPjn 1 0010101(,)PPxx yy zz 解解 abbabjPr 例例8 2222222220,CBACCBABCBAAn00101PrnPPPPjn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(22211
10、1000CBACzByAxCzByAx 1 0010101(,),PPxx yy zz ),(CBAn 0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx 000222|.AxByCzDdABC 点到平面距离公式点到平面距离公式000111222(),AxByCzAxByCzABC 01PrPPjnD 1.平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程熟记平面的几种特殊位置的方程）2.两平面的夹角两平面的夹角.3.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程.（注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）小小 结结思考题思考题,212142 21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.221042220 xyzxyz 1 11 1.问问平平面面：与与平平面面：的的位位置置关关系系？解解思考题思考题解解2222221 2(3)2 1cos,41(2)2(3)1kk 231,2514kk .270 k作作 业业p.329 习题习题7-52；5；6；8.
