1、开始开始 学点一学点一学点二学点二学点四学点四学点三学点三1.如果直线如果直线l与平面与平面内的内的 直线都垂直，直线都垂直，我们就说直线我们就说直线l与平面与平面互相垂直，记作互相垂直，记作 .直线直线l叫做叫做 ，平面，平面叫做叫做 .直线与直线与平面垂直时，它们唯一的公共点平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做叫做 .2.一条直线与一个平面内的一条直线与一个平面内的 都垂直，都垂直，则该直线与此平面垂直则该直线与此平面垂直.这个定理叫做直线与平面垂这个定理叫做直线与平面垂直的直的 ，用符号表示为：，用符号表示为：a b ab=O l.la lb任意一条任意一条l平面平面的垂线的垂线直线直线l
2、的垂面的垂面垂足垂足两条相交直线两条相交直线判定定理判定定理返回返回 3.一个平面过另一个平面的一个平面过另一个平面的 ，则这两，则这两个平面垂直个平面垂直.这个定理叫做两个平面互相垂直的这个定理叫做两个平面互相垂直的 ，用符号表示为：，用符号表示为：l l.判定定理判定定理垂线垂线返回返回 返回返回 学点一学点一 线面垂直的判定线面垂直的判定如图如图2-4-2所示，三棱锥所示，三棱锥SABC中，中，SB=AB，SC=AC，作，作ADBC于于D，SHAD于于H，求证：求证：SH平面平面ABC.图图2-4-2【分析【分析】考查线面垂直的判定定理考查线面垂直的判定定理.【证明【证明】取取SA的中点
3、的中点E，连接连接EC，EB.SB=AB,SC=AC,SABE,SACE.又又CEBE=E,SA平面平面BCE.BC平面平面BCE，返回返回 SABC.又又ADBC,ADAS=A,BC平面平面SAD.SH平面平面SAD，SHBC.又又SHAD,ADBC=D,SH平面平面ABC.【点评】证明线面垂直，需先有线线垂直，抓住条件中【点评】证明线面垂直，需先有线线垂直，抓住条件中两个等腰三角形共用一条边，抓住公共边的中点，通过两个等腰三角形共用一条边，抓住公共边的中点，通过作辅助平面，找到所需要的另一条直线作辅助平面，找到所需要的另一条直线.返回返回 如图所示，如图所示，AB是圆是圆O的直径，的直径，
4、PA垂直于垂直于O所在的平所在的平面，面，M是圆周上任意一点，是圆周上任意一点，ANPM，点，点N为垂足为垂足.求证：求证：AN平面平面PBM.证明证明:因为因为AB是圆是圆O的直径，的直径，所以所以AMBM.因为因为PA平面平面ABM，所以，所以PABM.因为因为PAAM=A，所以所以BM平面平面PAM，又又AN平面平面PAM，所以所以BMAN.又又ANPM，且，且BMPM=M,所以所以AN平面平面PBM.返回返回 学点二学点二 直线与平面所成的角直线与平面所成的角在正四面体在正四面体ABCD中，中，E为为AD的中点，求的中点，求CE与底面与底面BCD所成角的正弦值所成角的正弦值.【分析【分
5、析】如图如图2-4-3所示，要求所示，要求CE与底面与底面BCD所成角的正弦值，首所成角的正弦值，首先要作出该角，其次应将其放在先要作出该角，其次应将其放在直角三角形内求解，所以应过直角三角形内求解，所以应过E作作底面的垂线底面的垂线.此时垂足所在位置特此时垂足所在位置特别关键别关键.由由ABCD为正四面体，为正四面体，那么那么E在底面在底面BCD的垂足必在的垂足必在BDC的角平分线上，连接的角平分线上，连接CF，根据条件找出边长即可根据条件找出边长即可.图图2-4-3返回返回【解析【解析】如图如图2-4-4所示，作所示，作AO面面BCD，O为垂足，连接为垂足，连接DO并延长和并延长和BC交于
6、交于G，则，则G为为BC的中点的中点.DGBC.又又AOBC，BC面面ADG.作作EFDG,F为垂足，则为垂足，则BCEF,EF面面BCD.连接连接FC，则，则ECF是斜线是斜线CE与与平面平面BCD所成的角所成的角.图图2-4-4返回返回 设正四面体的棱长为设正四面体的棱长为a，则则AO=.故故EF=AO=.又又CE=,sinECF=.即即CE与底面与底面BCD所成角的正弦值为所成角的正弦值为 .【点评】求平面的斜线与平面所成的角的一般方法是：【点评】求平面的斜线与平面所成的角的一般方法是：在斜线上找一具有特殊性的点，过该点向平面作垂线，在斜线上找一具有特殊性的点，过该点向平面作垂线，连接垂
7、足和斜足，即为斜线在平面上的射影，进而作出连接垂足和斜足，即为斜线在平面上的射影，进而作出斜线与平面所成的角，再解直角三角形求出线面角的大斜线与平面所成的角，再解直角三角形求出线面角的大小，同时要注意其取值范围小，同时要注意其取值范围.a36a)33(a2221a66a233232返回返回 在三棱锥在三棱锥OABC中，三条棱中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂两两互相垂直，且直，且OA=OB=OC，M是是AB边的中点，则边的中点，则OM与平面与平面ABC所成角的正切值是所成角的正切值是 .解解:（如图，连接（如图，连接MC，则，则OMC为所求为所求.在在RtOMC中，中，OM=OA，则则tan
8、OMC=.）222OMOC2返回返回 学点三学点三 面面垂直的判定面面垂直的判定如图所示，已知四棱锥如图所示，已知四棱锥P-ABCD，底面，底面ABCD是菱形，是菱形，DAB=60,PD平面平面ABCD，PD=AD，点，点E为为AB的中的中点点.求证：平面求证：平面PED平面平面PAB.【分析【分析】欲证面面垂直，需证线欲证面面垂直，需证线面垂直，故找出垂线是关键面垂直，故找出垂线是关键.返回返回【解析【解析】连结连结BD.AB=AD，DAB=60,ADB为等边三角形为等边三角形.E是是AB的中点，的中点，ABDE.PD面面ABCD,AB面面ABCD,ABPD.DE面面PED,PD面面PED,
9、DEPD=D,AB面面PED.又又AB面面PAB,平面平面PED平面平面PAB.【点评】证明面面垂直有两个途径【点评】证明面面垂直有两个途径:一是定义一是定义,二是证明线二是证明线面垂直面垂直.两者都是通过线线垂直来完成两者都是通过线线垂直来完成.返回返回 如图如图1-10-31-10-3所示，过点所示，过点S S引三条不引三条不共面的直线，使共面的直线，使BSC=90BSC=90，ASB=ASC=60ASB=ASC=60，若截取，若截取SA=SB=SC.SA=SB=SC.求证：平面求证：平面ABCABC平面平面BSC.BSC.返回返回【证明【证明】证法一：如图证法一：如图1-10-41-10
10、-4所示所示,取取BCBC的中点的中点D D，连，连接接ADAD，SD.SD.由题意知由题意知ASBASB与与ASCASC是等边三角形，则是等边三角形，则AB=ACAB=AC，ADBC,SDBC.ADBC,SDBC.令令SA=a,SA=a,在在SBCSBC中，中，SD=a,SD=a,又又AD=a,AD=a,ADAD2 2+SD+SD2 2=SA=SA2 2,即即ADSD.ADSD.又又ADBCADBC，ADAD平面平面SBC.SBC.ADAD平面平面ABCABC，平面平面ABCABC平面平面SBC.SBC.2222CD-AC22返回返回 证法二证法二：SA=SB=SC=a,SA=SB=SC=a
11、,又又ASB=ASC=60ASB=ASC=60,ASB,ASB,ASCASC都是等边三角形都是等边三角形.AB=AC=a.AB=AC=a.作作ADAD平面平面BSCBSC于点于点D D，AB=AC=AS,AB=AC=AS,DD为为BSCBSC的外心的外心.又又BSCBSC是以是以BCBC为斜边的直角三角形，为斜边的直角三角形，DD为为BCBC的中点，的中点，故故ADAD平面平面ABC.ABC.平面平面ABCABC平面平面SBC.SBC.返回返回 学点四学点四 二面角大小的求法二面角大小的求法如图如图2-4-8所示，在长方体所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB=2，BC=BB1=1
12、，E为为D1C1的中点，求二面角的中点，求二面角EBDC的正切值的正切值.【分析【分析】求二面角大小，关键作求二面角大小，关键作出二面角的平面角出二面角的平面角.由于由于E在平面在平面DCC1D1内且平面内且平面DCC1D1平面平面BCD，因此易作出平面角，因此易作出平面角.图图2-4-8返回返回【解析【解析】如图如图2-4-9所示，所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，是长方体，图图2-4-9过过E作作EFCD于于F，则，则EF面面BCD，且，且F为为CD中点，中点，过过F作作FGBD于于G，连接，连接EG，则，则EGBD.于是于是EGF为二面为二面角角EBDC的平面角的平面角.BC=1，
13、CD=2，GF=,而而EF=1，在，在EFG中，中，tanEGF=.所求二面角的正切值为所求二面角的正切值为5.515221BDCDBC215511GFEF返回返回【点评】二面角的【点评】二面角的“作、证、求作、证、求”是解决二面角的是解决二面角的必由之路，二面角的平面角的作法是解决问题的关必由之路，二面角的平面角的作法是解决问题的关键，二面角的平面角的作法通常有：键，二面角的平面角的作法通常有：（1）定义法：在棱上任取一适宜点，分别在二面角）定义法：在棱上任取一适宜点，分别在二面角两半平面内作棱的垂线两半平面内作棱的垂线.（2）垂面法：过一点作棱的垂面，交线所成角即为）垂面法：过一点作棱的垂
14、面，交线所成角即为平面角平面角.（3）投影法：利用）投影法：利用S投影面投影面=S被投影面被投影面cos.（4）对无棱二面角一般通过在两个面内寻找共面直）对无棱二面角一般通过在两个面内寻找共面直线，作出棱线，作出棱.返回返回 已知正四棱锥的体积为已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面对角线的长为26，则，则侧面与底面所成的二面角等于侧面与底面所成的二面角等于 .（设（设O为底面为底面ABCD的中心，的中心，E为为BC边边的中点，则的中点，则PEO即为侧面与底面所成即为侧面与底面所成二面角的平面角，二面角的平面角，底面对角线的长为底面对角线的长为2 ，底面边长为底面边长为2 .又又V=
15、Sh=12.OE=,高高OP=3，tanPEO=3.PEO=.即侧面与底面所成的二面角为即侧面与底面所成的二面角为 ）36333133OEOP返回返回 怎样理解线面垂直的判定定理？怎样理解线面垂直的判定定理？直线和平面垂直的判定定理，应抓住直线和平面垂直的判定定理，应抓住“两条两条”和和“相相交交”这两个关键词语这两个关键词语.要判断一条已知直线和一个平面要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这平面内能否找出两条相交直线是否垂直，取决于在这平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，是无关紧要的线有公
16、共点，是无关紧要的.返回返回 1.1.直线与直线垂直直线与直线垂直两直线垂直是指它们的交角或平移后的交角为直角，两条两直线垂直是指它们的交角或平移后的交角为直角，两条直线不一定相交直线不一定相交.在平面几何中，两直线垂直时，它们一定相交在平面几何中，两直线垂直时，它们一定相交.2.2.直线和平面垂直直线和平面垂直（1 1）直线和平面垂直的定义可以用来判定线线垂直，即）直线和平面垂直的定义可以用来判定线线垂直，即当直线和平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何当直线和平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线，可以把它作为线线垂直的判定定理直线，可以把它作为线线垂直的判定定理.（2 2）要
17、判定一条直线是否和一个平面垂直，取决于在这）要判定一条直线是否和一个平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.返回返回（3 3）教材中例）教材中例1 1可以作为结论使用：可以作为结论使用：过一点和已知平面垂直的直线只有一条过一点和已知平面垂直的直线只有一条.（4 4）如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直）如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，可作为两直线平行的一种判定方法线平行，可作为两直线平行的一种判定方法.
18、3.3.（1 1）线面垂直的定义中的）线面垂直的定义中的“任何一条直线任何一条直线”这一这一词语，它与词语，它与“所有直线所有直线”是同义词，即直线和平面内是同义词，即直线和平面内的所有直线垂直的所有直线垂直.（2 2）线面垂直的判定定理的条件中，）线面垂直的判定定理的条件中，“平面内的两平面内的两条相交直线条相交直线”是关键性词语，证明时一定要明确指出，是关键性词语，证明时一定要明确指出，弄清定理的条件是掌握好定理的关键弄清定理的条件是掌握好定理的关键.（3 3）转化思想在本学案中的应用）转化思想在本学案中的应用:线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直.在转化时要弄清相互转化的条件，根据具体问题
19、灵活在转化时要弄清相互转化的条件，根据具体问题灵活选取恰当的证明方法选取恰当的证明方法.返回返回 4.证面面垂直的方法：证面面垂直的方法：（）证明两平面构成的二面角的平面角为（）证明两平面构成的二面角的平面角为90.（）证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，将（）证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，将证明证明“面面垂直面面垂直”的问题转化为证明线面垂直的问题的问题转化为证明线面垂直的问题.(3)证明一个平面垂直于另一个平面内的一条直线，将证明一个平面垂直于另一个平面内的一条直线，将证明证明“面面垂直面面垂直”的问题转化为证明的问题转化为证明“线面垂直线面垂直”的的问题问题.5.空间中角的概念
20、及计算是立体几何的重要内容，求空间中角的概念及计算是立体几何的重要内容，求角的步骤是：角的步骤是：（1）找出或作出有关的图形；）找出或作出有关的图形；（2）证明它符合定义；）证明它符合定义；（3）计算）计算.即即“一作、二证、三计算一作、二证、三计算”.返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 5.如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E为为BB1的的中点，中点，F为为CD的中点，的中点，G为为AB的中点的中点.求证：平面求证：平面ADE平面平面A1FG.5.G，F分别为分别为AB，CD的中点，的中点，GF A1D1,又又AA1B1C1D1为正方体，为正方体，A1D1平面平面ABB1A1，A1D1AE.返回返回 E为为BB1的中点，的中点，在在RtABE与与RtA1AG中中,AB=A1A，BE=AG，ABE A1AG,AEB=A1GA,又又AEB+EAB=90,设设AEA1G=M,AGM+MAG=90,AMG=90,AEA1G.由由AEA1G，AEA1D1且且A1D1A1G=A1,A1D1,A1G平面平面A1GFD1，AE平面平面A1GF.又又AE平面平面ADE，平面平面ADE平面平面A1FG.返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回
