1、5 5 简单的幂函数简单的幂函数问题引入：问题引入：我们先看下面几个具体问题：我们先看下面几个具体问题：(1)(1)如果张红买了每千克如果张红买了每千克1 1元的蔬菜元的蔬菜W W千克千克,那么她需要那么她需要支付支付_元元.(2)(2)如果正方形的边长为如果正方形的边长为 a,a,那么正方形的面积那么正方形的面积_._.(3)(3)如果立方体的边长为如果立方体的边长为a,a,那么立方体的体积那么立方体的体积_._.(4)(4)如果正方形的面积为如果正方形的面积为S S，那么正方形的边长，那么正方形的边长_._.pwp p是是w w的函数的函数2aS S S 是是a a的函数的函数3aV V
2、V是是a a的函数的函数21Sa a a是是S S的函数的函数(5)(5)如果某人如果某人 t st s内骑车行进内骑车行进1 km,1 km,那么他骑车的那么他骑车的平均速度平均速度_._.skmtv/1v v是是t t的函数的函数y=12xy=1x-y=x3y=xy=x2思考：思考：以上问题中的函数有什么异同？以上问题中的函数有什么异同？底数是自变量底数是自变量,只是指数不同只是指数不同.1.1.了解简单幂函数的概念了解简单幂函数的概念,会利用定义证明简单函数会利用定义证明简单函数的奇偶性的奇偶性.（重点）（重点）2.2.了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法了解利用奇偶性画函数图像和研
3、究函数的方法.(难点）难点）3.3.培养学生从特殊归纳出一般的意识培养学生从特殊归纳出一般的意识.探究点探究点1.1.幂函数的定义：幂函数的定义：判一判判一判判断下列函数是否为幂函数判断下列函数是否为幂函数.2(2).yxx3.nyx（）仅仅(3)(3)是幂函数是幂函数5(4)(2).yx(1)y=ax(1)y=axm m(a1).(a1).试一试试一试画出幂函数画出幂函数y=xy=x3 3的图像的图像,并讨论其图像特征（单调性、并讨论其图像特征（单调性、对称性等）对称性等）.x x-2-2-1-10 01 12 2 y y-8-8 -1-1 0 0 1 81 8xyo特征特征:1.单调性单调
4、性:2.2.对称性对称性:在在R R上是增加的上是增加的.关于原点对称关于原点对称.解：解：先列出先列出x x，y y的对应值表，再用描点法画出图像的对应值表，再用描点法画出图像1 11 1-1-1-1-1y=xy=x3 312121818探究点探究点2.2.奇函数奇函数 一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数数.具有的特点具有的特点.探究点探究点3.3.偶函数偶函数 一般地，图像关于一般地，图像关于y y轴对称的函数叫作偶函数轴对称的函数叫作偶函数.具有的特点具有的特点当函数是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性当函数是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性
5、.例如：例如：1xyo1-1-1y=xy=x2 2xyoby=-xy=-x2 2y=by=bxyo1 1-1-1-1-1对奇、偶函数定义域的认识：对奇、偶函数定义域的认识：具有奇偶性的函数具有奇偶性的函数,其定义域一定关于原点对称其定义域一定关于原点对称,即由奇函数定义知即由奇函数定义知f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),故变量故变量x,-x x,-x 均在均在定义域中定义域中,同理由同理由f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)可知可知-x,x-x,x也均在定义也均在定义域中域中.【提升总结提升总结】练一练练一练画出下列函数的图像画出下列函数的图像,判断其奇偶性判断其奇偶性.22
6、3(1)y.(2)yx3.x(3)y2(x1)1.xy0-1xyO1(2)(2)偶函数偶函数(1)(1)奇函数奇函数(3)(3)非奇非偶函数非奇非偶函数xy0-3已知奇函数已知奇函数3()f xx,则则(2)f=,(2)f=.已知偶函数已知偶函数2()f xx,则则(2)f=,(2)f=.-8-88 84 44 4思考：思考：例例1 1 判断判断f(x)=-2xf(x)=-2x5 5和和g(x)=xg(x)=x4 4+2+2的奇偶性的奇偶性.解解:因为在因为在R R上上f(x)=-2xf(x)=-2x5 5，f(-x)=-2(-x)f(-x)=-2(-x)5 5=2x=2x5 5，所以，所以f
7、(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)，于是于是f(x)f(x)是奇函数是奇函数.而而g(x)=xg(x)=x4 4+2,g(-x)=(-x)+2,g(-x)=(-x)4 4+2=x+2=x4 4+2+2，所以所以g(-x)=g(x).g(-x)=g(x).于是于是g(x)g(x)是偶函数是偶函数.补全下面四个函数的图像补全下面四个函数的图像xyoy=xy=x-1-1xyoy=-xy=-x3 3xyo1y=xy=x2 2+1+1xyoy=-xy=-x4 4（1 1）函数）函数f(x)=xf(x)=x2 2,x,x-1,1)-1,1)为偶函数为偶函数.().()（2 2）函数）函数y=f(x
8、)y=f(x)在定义域在定义域R R上是奇函数上是奇函数,且在且在(-(-,0,0上是增加的上是增加的,则则f(x)f(x)在在0,+0,+)上也是增加的上也是增加的.().()（3 3）函数）函数y=f(x)y=f(x)在定义域在定义域R R上是偶函数上是偶函数,且在且在(-(-,0,0上是减少的上是减少的,则则f(x)f(x)在在0,+0,+)上也是减少上也是减少的的.().()1.1.判断题判断题2.2.函数函数y=y=的图像是的图像是()()13x解析：解析：函数函数y=y=是幂函数是幂函数,幂函数在第一象限幂函数在第一象限内的图像恒过定点内的图像恒过定点(1,1),(1,1),排除排
9、除A,D.A,D.当当x1x1时时,x ,x ，故幂函数故幂函数y=y=的图像在直线的图像在直线y=xy=x的下方的下方,排除排除C.C.B B13x13x13xB B4.4.二次函数二次函数f(x)=(m-1)xf(x)=(m-1)x2 2+2mx+3+2mx+3是偶函数是偶函数,则则f(x)f(x)在在(-(-,0,0上上是是()()A.A.增加的增加的 B.B.减少的减少的 C.C.先增加后减少的先增加后减少的 D.D.先减少后增加的先减少后增加的A A5.5.填空填空(1)(1)函数函数y=2xy=2x是是 函数函数.(.(填奇或偶或非奇非偶填奇或偶或非奇非偶)(2)(2)函数函数y=
10、2xy=2x2 2+1+1是是 函数函数.(.(填奇或偶或非奇非偶填奇或偶或非奇非偶)(3)(3)函数函数y=2xy=2x2 2+4x+1+4x+1是是 函数函数.(.(填奇或偶或填奇或偶或非奇非偶非奇非偶)奇奇偶偶非奇非偶非奇非偶6.6.已知已知f(x)f(x)是奇函数，在是奇函数，在(0,+)(0,+)上是减少的，求上是减少的，求证证:f(x):f(x)在在(-,0)(-,0)上是减少的上是减少的.【证明证明】设任意设任意x x1 1,x,x2 2(-,0),(-,0),且且x x1 1x x2 20,0,则则-x-x1 1-x-x2 20.0.因为因为f(x)f(x)在在(0,+)(0,
11、+)上是减少的，上是减少的，所以所以f(-xf(-x1 1)f(-xf(-x2 2).).又又f(x)f(x)是奇函数是奇函数,所以所以-f(x-f(x1 1)-f(x-f(x2 2)，即，即f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)，所以所以f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上是减少的上是减少的.1.1.几种简单幂函数的图像及性质几种简单幂函数的图像及性质.2.2.判断函数奇偶性的方法判断函数奇偶性的方法:(2)(2)解析法解析法f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)y=f(x)y=f(x)为奇函数为奇函数f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)y=f(x)y=f(x)为偶函数为偶函数(1)(1)图像法图像法 图像关于原点对称图像关于原点对称 f(x)f(x)是奇函数是奇函数.图像关于图像关于y y轴对称轴对称 f(x)f(x)是偶函数是偶函数.忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。
