1、 3.2.23.2.2一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用题型一：分式不等式题型一：分式不等式()1.0()f xg x()()0f x g x()0()0()0()0f xf xg xg x或()()()00()0()2.0()0()0()f xf xf xg xg xgf x g xx或()3.0()f xg x()()0()0f x g xg x()0()0()0()0f xf xg xg x或()()0()()0()0()4.0()0()0()0f xf xf xg xg xgf x g xxxg或注意：注意：求解分式不等式时每一步的变换必须是求解分式不等式时每一步的变换必须是！例
2、题演练例题演练11.0_2xx例 不等式的解集为(1)(2)0 xx解：原不等式等价于21x解得：|21xx 原不等式的解集为|21xx 22.0_3xx例 不等式的解集是(2)(3)030 xxx解：原不等式等价于(2)(3)03xxx即23x解得：|23xx 原不等式的解集为|23xx 13.1_23xx例不等式的解集是111102323xxxx解：4023xx(4)(23)0230 xxx等价于4023xx即342xx解得：或3|42x xx原不等式的解集为或3|42x xx或题型二：一元高次不等式题型二：一元高次不等式1.(1)(2)(3)0_xxx例 不等式的解集是123(1)(2)
3、(3)01,2,3xxxxxx解：方程的根分别为 321123|123xxx由图可知：原不等式的解集为或|123xxx或数轴标根法数轴标根法数轴标根法的步骤：数轴标根法的步骤：1.1.将一元高次不等式中将一元高次不等式中最高次项的系数化为正数最高次项的系数化为正数；2.2.将一元高次不等式分解为若干个将一元高次不等式分解为若干个一次因式或二次不一次因式或二次不 可分解因式的积可分解因式的积，求出对应方程的根；，求出对应方程的根；3.3.将根依次标在数轴上，从将根依次标在数轴上，从“右上方右上方”依次通过每一依次通过每一个点画曲线（奇次方根穿过，偶次方根不穿过）简记个点画曲线（奇次方根穿过，偶次
4、方根不穿过）简记为为“奇穿偶不穿奇穿偶不穿”；4.4.根据画出的曲线，写出不等式的解集。根据画出的曲线，写出不等式的解集。22.(1)(2)(3)0 xxx例 求不等式的解集。2123(1)(2)(3)01,2,3xxxxxx解：方程的根分别为321|1123x xxx由图可知：原不等式的解集为或或-1123+-22323.023xxxx例 解不等式2232(1)(2)0023(1)(3)xxxxxxxx解：原不等式等价于(1)(2)(1)(3)0 xxxx即12341,2,1,3xxxx 对应方程的根为：|1123xxx 由图可知：原不等式的解集为或oooo题型三：含参数的一元二次不等式题型
5、三：含参数的一元二次不等式21.(1)10 xaxax 例 解关于 的不等式：010,1axx 解：当时，110()(1)0()(1)0aa xxxxaa当时，原不等式化为即11xxa解得：或110()(1)0()(1)0aa xxxxaa当时，原不等式化为即121,1xxa对应方程的根为1111()(1)0axxaa当即时，不等式无解；111011;axaa当即时，解得：11111;axaa当即时，解得：题型三：含参数的一元二次不等式题型三：含参数的一元二次不等式21.(1)10 xaxax 例 解关于 的不等式：0|1;10|1;1;101|1;11|1.ax xax xxaaaxxaax
6、xa综上所述：当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为或当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为解含参数的一元二次不等式的一般步骤：解含参数的一元二次不等式的一般步骤：1.1.先看先看二次项系数二次项系数是否含参，是否含参，若含参若含参，则讨论，则讨论二次项系二次项系数数0,0,0,=0,然后将不等式转化为然后将不等式转化为二次项系数为正的形二次项系数为正的形式；式；2.2.根据根据判别式判别式判断对应方程判断对应方程根的个数根的个数；3.3.若若无根无根，则直接写出解集为，则直接写出解集为空集空集；若有；若有两个不相等的两个不相等的实根实根，则，则讨论两根的大小关系讨论两
7、根的大小关系，再根据，再根据“大于取两边，大于取两边，小于取中间小于取中间”写出解集；若有写出解集；若有两个相等的实根两个相等的实根，则根据，则根据题及函数图像题及函数图像，写出解集。，写出解集。注意：重点是注意：重点是“分类讨论的层次分类讨论的层次”（1）二次项系数的符号；（）二次项系数的符号；（2）判别式的符号；）判别式的符号；（3）若有两根，两根的大小关系。）若有两根，两根的大小关系。222.12()xaxaaR例 求不等式的解集。222212120 xaxaxaxa解：(4)(3)0 xaxa即12(4)(3)0,43aaxaxaxx 的 根 为200043aaaxx当即时，原不等式化
8、为04343aaaaaxx 当即时，解得:或04334aaaaaxx 当即时，解得:或0|0;0|;430|;34axxaaaxxxaaaxxx 综上所述：当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为或当时，不等式的解集为或21.(1)1xax练习 解关于 的不等式：222(1)120(2)0axa xaxax ax解：由得即0a 当时，00,原不等式无解；2220(2)0()0()0aax axa x xx xaa当时，由得即20 xa解得：2220(2)0()0()0aax axa x xx xaa当时，由得即20 xa解得：020|0;20|0.aaxxaaxxa综上所述：当时，不等式的解集
9、为；当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为题型四：求参数的取值范围（一元二次不等题型四：求参数的取值范围（一元二次不等式的逆向应用）式的逆向应用）22111.20|,2023axbxxxxbxa例 已知不等式的解集为求的解集。221120|231 10202 3axbxxxaaxbx 解：的解集为，是方程的两实根1112361121236baa由韦达定理得：122ab 222202212060 xbxaxxxx 可化为即(3)(2)023xxx 220|23xbxaxx 的解集为规律方法：规律方法：（1 1）若给出了一元二次不等式的解集，）若给出了一元二次不等式的解集，则可知则可知二次项系数
10、的符号二次项系数的符号和对应一元二和对应一元二次次方程的两个根方程的两个根；（2 2）再由）再由韦达定理韦达定理（根与系数关系）可（根与系数关系）可知知a,b,ca,b,c之间的关系；之间的关系；（3 3）最后根据题意求解。）最后根据题意求解。212.20|2,()4.28.26.28.26axbxxxabABCD 例 若不等式的解集为则C1241224baa 由韦达定理得：47ab解得：28ab22120|24102,204axbxxxaaxbx 解：的解集为是方程的两根221.0|12,10 xxaxbxxxbxax 练习 已知关于 的不等式的解集为求关于 的不等式的解集。220|121,
11、20 xaxbxxxaxb解：不等式的解集是是方程的两个实根121 2ab 由韦达定理得：32ab 解得：2202310bxaxxx 等价于22310(21)(1)0 xxxx 方程即1211,2xx212310|12xxx xx 的解集为或2112.20(,)(,),23().24.24.14.14xaxbxabABCD 练习 关于 的不等式的解集是则B221120(,)(,)231 10,202 3axbxaaxbx 解：的解集是是方程的两根112311223baa 由韦达定理得：122ab解得：24ab题型五：不等式恒成立问题题型五：不等式恒成立问题（1 1）在）在R R上恒成立上恒成立
12、21.20 xxaxaRa例 已知关于 的不等式在 上恒成立，则实数 的取值范围是_220 xaxaR解：在 上恒成立0在，上恒成立10m 1m(,1)m (,1)22.02220_xxaxaa例 若当时，恒成立，则实数 的取值范围是2min()22()00 2()00 2f xxaxaf xf x解：令由题意知在，上恒成立即在，上恒成立()f xxa的对称轴为(1)0()0 2af x当时，在，上是增函数min()(0)202f xfaa 20a 2min(2)2()()2012af xf aaaa 当0时，02a(3)2()0 2af x当时，在，上是减函数min()(2)6302f xf
13、aa2a2,2a 综上所述：2,2规律方法：规律方法：minmax(1)()()(2)()()f xaxDf xaxDf xaxDf xaxD在上恒成立在上恒成立;在上恒成立在上恒成立;21.40,1_xxxmm练习 若关于 的不等式，在上恒成立，则 的取值范围是2240,1()4xxmf xxx解：在上恒成立令()0,1mf x在上恒成立min()0,1mf x即在上恒成立2()4201f xxxx的对称轴为在，上是减函数min()(1)3f xf 3(3mm 即(3课堂总结：课堂总结：1.1.分式不等式的解法；（转化为整式不等式求解）分式不等式的解法；（转化为整式不等式求解）2.2.一元高
14、次不等式的解法；（数轴标根法）一元高次不等式的解法；（数轴标根法）3.3.含参数的一元二次不等式的解法；（分类讨论法）含参数的一元二次不等式的解法；（分类讨论法）4.4.求参数的取值范围（一元二次不等式的逆向应用）求参数的取值范围（一元二次不等式的逆向应用）5.5.一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题（1 1）在）在R R上恒成立；（利用判别式及二次函数图像求解）上恒成立；（利用判别式及二次函数图像求解）利用直线型函数图像的保号性求解利用直线型函数图像的保号性求解（2 2）在某区间）在某区间D D上恒成立；上恒成立；转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解
