1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学 本试卷共本试卷共 4 页，页，22 小题，满分小题，满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟. 注意事项：注意事项： 1.答卷前答卷前，考生务必将自己的姓名考生务必将自己的姓名 考生号考生号 考场号和座位号填写在答题卡上考场号和座位号填写在答题卡上.用用 2B 铅笔将试卷铅笔将试卷 类型类型(A)填涂在答题卡相应位置上填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处条形码粘贴处”. 2.作答选择题时作答选择题时， 选出每小题答案后选出每小题答案后， 用用 2
2、B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑： 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以不按以 上要求作答无效上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的
3、整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一一 选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1. 设集合24Axx ， 2,3,4,5B ，则AB （） A. 2B.2,3C.3,4D.2,3,4 2. 已知 2 iz ，则 iz z （） A.62iB.42iC.62iD.42i 3. 已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A.2B.2 2C.4
4、D.4 2 4. 下列区间中，函数 7sin 6 fxx 单调递增的区间是（） A. 0, 2 B. , 2 C. 3 , 2 D. 3 ,2 2 5. 已知 1 F， 2 F是椭圆C： 22 1 94 xy 的两个焦点，点M在C上，则 12 MFMF的最大值为（） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 6. 若tan 2 ，则 sin1 sin2 sincos （） A. 6 5 B. 2 5 C. 2 5 D. 6 5 7. 若过点, a b可以作曲线exy 的两条切线，则（） A.ebaB.eab C.0ebaD.0eab 8. 有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5
5、，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表示 事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的 数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则（） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 二二 选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0
6、 分分. 9. 有一组样本数据 1 x， 2 x， n x，由这组数据得到新样本数据 1 y， 2 y， n y，其中 ii yxc(1,2, ),in c为非零常数，则（） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样数据的样本极差相同 10. 已知O为坐标原点， 点 1 cos ,sinP， 2 cos, sinP， 3 cos,sinP，()1,0A， 则（） A. 12 OPOP B. 12 APAP C. 3 12 OA OPOP OP D. 123 OA OPOP OP 11. 已知点P在圆 22 5516
7、xy上，点4,0A、0,2B，则（） A. 点P到直线AB的距离小于10 B. 点P到直线AB的距离大于2 C. 当PBA最小时， 3 2PB D. 当PBA最大时， 3 2PB 12. 在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 1ABAA，点P满足 1 BPBCBB ，其中0,1， 0,1，则（） A. 当1时， 1 AB P的周长为定值 B. 当1时，三棱锥 1 PABC的体积为定值 C. 当 1 2 时，有且仅有一个点P，使得 1 APBP D. 当 1 2 时，有且仅有一个点P，使得 1 AB 平面 1 AB P 三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分
8、，共分，共 20 分分. 13. 已知函数 3 22 xx xaf x 是偶函数，则a _. 14. 已知O为坐标原点，抛物线C： 2 2ypx(0p )的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q 为x轴上一点，且PQOP，若6FQ ，则C的准线方程为_. 15. 函数 212lnf xxx 的最小值为_. 16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时， 发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折， 规格为20dm 12dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到10dm 12dm，20dm 6dm两种规格的图形，它们的面积之和 2 1 240dmS ，对折 2 次共可以得到5dm 12dm，10dm 6
9、dm，20dm 3dm三种规格的图形，它们的 面积之和 2 2 180dmS ，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折n次， 那么 1 n k k S _ 2 dm. 四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17. 已知数列 n a满足 1 1a ， 1 1, 2,. n n n an a an 为奇数 为偶数 （1）记 2nn ba，写出 1 b， 2 b，并求数列 n b的通项公式； （2）求 n a的前 20 项和. 18. 某学校组织“一带一路”知识竞
10、赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并 从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一 个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分： B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正 确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答 A 类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
11、 19. 记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2 bac ，点D在边AC上， sinsinBDABCaC. （1）证明：BDb； （2）若2ADDC，求cosABC. 20. 如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD 平面BCD，AB AD，O为BD的中点. （1）证明：OACD； （2）若OCD是边长为 1的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA，且二面角EBCD的大小为 45，求三棱锥ABCD的体积. 21. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 1 17,0F 、 212 17,02FMFMF，点M的轨迹为C. （1）求C的方程； （2） 设点T在直线 1 2 x 上， 过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点， 且TA TBTP TQ， 求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 22. 已知函数 1 lnf xxx. （1）讨论 fx的单调性； （2）设a，b为两个不相等的正数，且lnlnbaabab，证明： 11 2e ab .
