1、第二课时复数三角形式的乘除法课标要求素养要求1.掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算.2.掌握复数的代数形式与三角形式的运算特点.从向量的角度理解复数的三角形式的乘、除、乘方运算及几何意义，培养学生的逻辑推理素养，提升数学运算素养.教材知识探究复数代数形式可进行加、减、乘、除四则运算.问题三角形式表示的两个复数的乘积，可否由代数形式的乘法法则得出？提示三角形式下两个复数的乘积仍可按代数形式进行计算，但过程繁杂，运用三角形式下两复数的乘法法则可使运算简便.1.复数三角形式的设复数z1r1(cos 1isin 1)，z2r2(cos 2isin 2)，则z1z2r1(cos 1isin 1)r2(
2、cos 2isin 2)_，即由两个复数z1，z2的三角形式可得z1z2的三角形式：z1的模乘以z2的模等于_，_ 是z1z2的辐角.简记为：模数相乘，辐角相加乘法r1r2cos(12)isin(12)z1z2的模z1的辐角与z2的辐角之和2r2简记为：模数乘方，幅角n倍2.r(cos isin)n_，nN，即复数n次幂的模等于_，辐角等于_.模的n次方复数的乘方rncos(n)isin(n)复数辐角的n倍3.复数三角形式的简记为：模数相除，辐角相减除法cos(12)isin(12)除以减去教材拓展补遗微判断微训练1.把复数abi(a，bR)在复平面内对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90后所
3、得向量对应的复数为()A.abi B.abi C.bai D.bai解析按顺时针旋转90，即将复数与i相乘，所求复数为(abi)(i)bai.答案C微思考1.三角形式下两个复数相乘，积的辐角等于这两个复数的辐角的和，能将其中“辐角”换为“辐角主值”吗，即arg(z1z2)与argz1，argz2有怎样的关系？提示积的辐角等于原来两个复数的辐角集合中各任取一个，求和角，所有和角组成的集合，即为积的辐角的集合，而积的辐角主值不一定等于这两个复数的辐角主值和.arg(z1z2)argz1argz22k，其中整数k使argz1argz22k0，2).2.由三角形式的乘法法则，结合向量知识，如何理解复数
4、乘法的几何意义？提示复数的乘法实质上就是向量的旋转和伸缩，旋转方向与角度取决于从另一复数的辐角集合中取出来的值，伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小.题型一复数三角形式的乘法(2)原式3210cos(205080)isin(205080)规律方法两个复数三角形式相乘，把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角.若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数形式或三角形式，然后再进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘.【训练1】已知z18(cos 240isin 240)，z22(cos 150isin 150)，求z1z2的代数形式.解z22(cos 150isin 1
5、50)2cos(150)isin(150)，z1z282cos(240150)isin(240150)16(cos 90isin 90)16i.题型二复数三角形式的除法2cos(270120)isin(270120)规律方法两个三角形式的复数相除(除数不为0)，则商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，它的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.出现复数的代数形式先转化为复数的三角形式再计算.【训练2】计算：题型三复数乘法、除法的几何意义OZ1Z2为有一角为60的直角三角形.规律方法复数相乘、相除实质上就是复数所对应的向量的旋转和伸缩，旋转的角度与方向，取决于另一复数的辐
6、角的正、负与大小.一、素养落地1.从向量的角度理解复数三角形式的乘、除、乘方等运算的几何意义，培养学生的逻辑推理素养，提升数学运算素养.2.两个三角形式的复数乘法法则：模数相乘，辐角相加；乘方法则：模数乘方，辐角n倍；除法法则：模数相除，辐角相减.3.做复数的乘法运算时，三角形式的代数形式可以交替使用，但结果一般保留代数形式，复数的乘、除法可以理解为对应向量的旋转与伸缩.二、素养训练A.1 B.3 C.5 D.7答案C2.复数z(sin 25icos 25)3的三角形式是()A.cos 195isin 195 B.sin 75icos 75C.cos 15isin 15 D.cos 75isin 75解析z(sin 25 icos 25)3(cos 65isin 65)3cos 195isin 195.答案A答案B6(cos 98isin 98).答案6(cos 98isin 98)
