1、3.1 复变函数积分的概念1.复变函数积分的定义 设平面上光滑或分段光滑曲线C的两个端点为A和B.C可能有两个方向：从点A到点B和从点B到点A.若规定其中一个方向(例如从点A到点B的方向)为正方向，则称C为 有向曲线.此时称点A为曲线C的起点，点B为曲线C的终点.若正方向指从起点到终点的方向，那么从终点B到起点A的方向则称为曲线C的负方向，记作C.定义3.1 设C为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中A为起点，B为终点.函数f(z)在曲线C上有定义.现沿着C按从点A到点B的方向在C上依次任取分点：A=z0,z1,zn-1,zn=B,将曲线C划分成 n个小弧段.在每个小弧段 (k=1,2,n)上任
2、取一点k,并作和式1kkzz1().nnkkkSfz其中 .记为n个小弧段长度中的最大值.当趋向于零时，若不论对曲线C的分法及点k的取法如何，Sn极限存在，则称函数f(z)沿曲线C可积，并称这个极限值为函数f(z)沿曲线C的积分.记作 1kkkzzz01()dlim(),nkkkCf zzfzf(z)称为被积函数，f(z)dz称为被积表达式.若C为闭曲线，C的正方向指的是，当点沿着曲线C按所选定取积分的方向运动时，C所围区域始终在它的左侧，这时函数f(z)沿曲线C的积分记作()dCf zz 2.复变函数积分的性质性质3.1（方向性）若函数f(z)沿曲线C可积，则()d()d.CCf zzf z
3、z 性质3.2（线性性）若函数f(z)和g(z)沿曲线C可积，则()()d()d()d,CCCf zg zzf zzg zz其中,为任意常数.性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f(z)沿曲线C可积，曲线C由曲线段,依次首尾相接而成，则 12()d()d()d()d.nCCCCf zzf zzf zzf zz性质3.4（积分不等式）若函数f(z)沿曲线C可积，且对 ,满足 ,曲线C的长度为L,则 zC()f zM()d()d,CCf zzf zs ML其中 ,为曲线C的弧微分.22ddddszxy记sk为zk-1与zk之间的弧长 111()()().nnnkkkkkkkkkfzfzfs0两端
4、取极限()d()d.CCf zzf zs11(),nnkkkkkfsMsML()d()d.CCf zzf zsML3.复变函数积分的基本计算方法定理3.1 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续，则f(z)沿C可积，且()dddidd.CCCf zzu xv yv xu y证明：11i,i,kkkkkkkkkkkkzxyxxxyyy11111(i)(i)()i()+i.kkkkkkkkkkkkkzzzxyxyxxyyxy 1111()(,)(,)(i)(,)(,)i(,)(,).nnkkkkkkkkkknkkkkkkknkkkkkkkfzuivxyuxvyvxuy 111()
5、(,)(,)i(,)(,).nnkkkkkkkkkknkkkkkkkfzuxvyvxuy 已知f(z)沿C连续，所以必有u、v都沿C连续，于是这两个第二类曲线积分都存在.因此积分存在，且()dddidd.CCCf zzu xv yv xu y参数方程法 设C为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为()()i()(),zz tx ty tatb 参数t=a时对应曲线C的起点，t=b时对应曲线C的终点.设f(z)沿曲线C连续，则()(),()i(),()()i().f z tu x ty tv x ty tu tv t()dddidd()()()()di()()()()d,CCCbbaaf zzu
6、xv yv xu yu t x tv t y ttu t y tv t x ttRe()()()()()(),Im()()()()()().f z tz tu t x tv t y tf z tz tu t y tv t x t()d()()d.baCf zzf z tz tt例3.1 分别沿下列路径计算积分 和 2dCzzIm()dCzz(1)C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段；(2)C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段.解：(1)C的参数方程为：z=(1+i)t,t从0到1.112220033310d(1 i)d(1)(1 i)(1 i)d(1 i)(1 i).33
7、Czzti tttt(2)把从原点（0，0）到（1，0）和从（1，0）到（1，1）这两直线段分别记为C1和C2,C1的参数方程为：y=0,x 从0到1;C2的参数方程为：x=1,y 从0到1.112220033121003dd(1 i)d(1 i)ii331i2i 2(1 i)i1.3333Czzxxyyxyyy 1100iIm()d0dd(1+i).2Cz zxyy例3.2 计算积分 ,其中C为图3.2所示半圆环区域的正向边界.dCzzz 解：积分路径可分为四段：C1:z=t(-2 t -1);C2:z=从到0;C3:z=t(1 t 2);C4:z=从0到.ie,i2e,1234102iii
8、iii210ddddde2edie dd2ie de2e24411.333CCCCCzzzzzzzzzzzzzzztttttt 例3.3 计算积分 ,其中C为以z0为中心，r为半径的正向圆周，n为整数.101d()nCzzz 解：曲线C的方程为：i0e(02)zzr2i11 i(1)0022ii00di e()eiided.ennnCnnnnzrIzzrrr当n=0时 20id2iI当n0时，20i(cosisin)d0nInnr0102i,0;d0,0.()nz zrnznzz 3.2 柯西-古萨定理及其推广1.柯西-古萨(Cauchy-Goursat)定理 假设函数f(z)=u+iv在单连
9、通域D内处处解析，f(z)在D内连续,u,v对x,y的偏导数在D内连续.设z=x+iy，C为D内任一条简单闭曲线.()ddddd.CCCf zzu xv yi v xu y记G为C所围区域，由格林(Green)公式有ddd d,GCvuu xv yx yxy由于f(z)=u+iv在D内解析，所以u,v在D内处处都满足柯西-黎曼方程,即,.uvvuxyxy 因此dddd0.CCu xv yv xu y从而()d0.Cf zz 定理3.2（柯西-古萨定理）若函数f(z)是单连通域D内的解析函数，则f(z)沿D内任一条闭曲线C的积分为零，即()d0.Cf zz 任意一条闭曲线都可以看成是由有限多条简
10、单闭曲线衔接而成的。推论3.1 设C为z平面上的一条闭曲线，它围成单连通域D,若函数f(z)在 上解析，则 DDC()d0.Cf zz 推论3.2 设函数f(z)在单连通域D解析,则f(z)在D内积分与路径无关.即积分 不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线C,而只与z0、z1的位置有关.()dCf zz证明：设C1和C2为D内连接z0 与z1的任意两条曲线.1C2C显然C1和 连接成D内一条闭曲线C.2C由柯西-古萨定理 12()d()d()d0.CCCf zzf zzf zz12()d()d.CCf zzf zz2.原函数 函数f(z)沿曲线C1和C2的积分又可以表示为 1212()d()d
11、()d.zzCCf zzf zzf zz固定下限z0，让上限z1在区域D内变动，并令z1=z,则确定了一个关于上限z的单值函数 0()()d.zzF zf并称F(z)为定义在区域D内的积分上限函数或变上限函数.定理3.3 若函数f(z)在单连通域D内解析，则函数F(z)必在D内解析，且有F(z)=f(z).*证明：若D内任取一点z,以z为中心作一个含于D内的小圆B，在B内取点(0)zzz 00()()()d()d.zzzzzF zzF zff()()()d.zzzF zzF zf积分与路径无关()d()d().zzzzzzf zf zf zzf(z)是与积分变量无关的值()()1()()d()
12、1()()d.zzzzzzF zzF zf zff zzzff zz又f(z)在D内解析，显然f(z)在D内连续.所以对于任给的 ,必存在 ,使得当 (且落在圆B内)，即当 时，总有 00zz()()0,必存在0,当时 ,有 .令 ,则 在D内除去点z外处处解析.现以z为中心，r为半径作圆周 ,使圆B的内部及边界全含于C的内部.z()()ff z()()fFz()F:Brz根据复合闭路定理有()()dd.CBffzz令 ，只需证明 0r()d2i()Bff zz 1d2iBz,而f(z)与无关.()()()()()d2i()ddd()()d2idBBBBBBfff zff zf zzzzzff
13、 zsrz若函数f(z)在曲线C上恒为常数K,z0为C内部任一点，则根据柯西积分公式 001()1()dd2i.2i2i2iCCfKKf zKzz即f(z)在曲线C的内部也恒为常数K.若C为圆周:,即 ,则 ,从而 0zRi0Rez(02)idiRe d2ii00i002i00(Re)iRe1()1()dd2i2iRe1(Re)d.2Cf zff zzf z解析函数在圆心z0处的值等于它在圆周上的平均值，这就是解析函数的平均值定理.若f(z)在简单闭曲线C所围成的区域内解析，且在C上连续，则柯西积分公式仍然成立.柯西积分公式可以改写成()d2i()Cff zz 例3.7 计算积分 的值.221
14、dzzzz 解：因为z2+1在|z|=2内解析 22021d22.(1)zzzziizz 例3.8 计算积分 的值，其中C为:2sin6d1Czzz 33(1)1;(2)1;(3)3.22zzz 解：(1)被积函数 在 的内部解析 sin61zz 312z21sinsin11sin66dd22.6111421CCzzzzizziizzzz(2)被积函数 在 的内部解析 sin61zz 312z21sinsin11sin66dd22.6111421CCzzzzizziizzzz(3)被积函数在|z|=3的内部有两个奇点.在C的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C1和C2，其中C1的内部只包含奇
15、点z=1，C2的内部只包含奇点z=-1.12222sinsinsin666ddd.11122CCCzzziizzzizzz2.高阶导数公式 定理3.7 定义在区域D的解析函数f(z)有各阶导数，且有其中C为区域D内围绕z的任何一条简单闭曲线，积分沿曲线C的正向.()1!()()d(1,2,),2i()nnCnffznz定理3.8 若f(z)为定义在区域D内的解析函数，则在D内其各阶导数都存在并且解析.换句话说，解析函数的导数也是解析函数.定理3.9 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是(1)在D内连续；(2)在D内满足柯西-黎曼方程.,xyxyu uv v(,)
16、,(,)u x y v x y例3.9 求积分 的值,其中C为:.2ed()2zCziz 226xyy解：被积函数在C的内部有一个奇点 2iz /22/2ed2 e22.2(e)2zizziCzii iiiz 例3.10 求积分 的值，其中C为:|z|=2.32cosd(1)Czzzz 解：被积函数在C的内部有两个奇点z=0和z=1,作两条互不相交且互不包含的闭曲线C1和C2，分别包围奇点z=0和z=1，且两曲线所围区域全含于C的内部.12123232322332230022coscoscosddd(1)(1)(1)cos1cos1dd(1)(1)2coscos22 32!(1)(6)6(12
17、).CCCCCzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzizziizziii3.4 解析函数与调和函数的关系定义3.3 在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的二元实函数(x,y)称为在D内的调和函数.22220 xy定理3.10 任何在区域D内解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，它的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是D内的调和函数.证明 由柯西-黎曼方程有,.vuvxyxy 222222,.uvuvxy xyx y u(x,y)与v(x,y)具有任意阶连续偏导，所以 22.vvy xx y 22220.uvxy同理可证 22220.vvxy即u(x,y)与v(x
18、,y)都是调和函数.使u(x,y)+iv(x,y)在区域D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数.或者说，在区域D内满足柯西-黎曼方程ux=vy,vx=-uy的两个调和函数u和v中，v称为u的共轭调和函数.1.偏积分法利用柯西-黎曼方程先求得v对y的偏导vy=ux,此式关于y积分得 d()uvyg xx然后两边对x求偏导,由vx=-uy,于是有 d().yuuyg xxx从而-d()d.uuyg xxCyxxddd.uuuyvyxCyxxx例3.11 已知u(x,y)=2(x-1)y,f(2)=-i,求其共轭调和函数，并写出f(z)的形式.解 由柯西-黎曼方程，有v
19、y=ux=2y,此式两边关于y积分：2d()().uvyg xyg xx(),xvg x2(1),xyvux 2()2(1)d2,g xxxxxC222.vyxxC22()2(1)(2).f zxyi yxxC由条件 f(2)=-i,得C=-1 22222()2(1)(21)(22()1)(1).f zxyi yxxi xyixyxiyi z 2.线积分法利用柯西-黎曼方程有 dddddxyyxvvxvyuxuy 00(,)(,)dd.x yyxxyvux uyC该积分与积分路径无关，因此可选取简单路径(如折线)进行计算.其中(x0,y0)为区域D中的点.用例3.11说明：ux=2y,uy=2x-2.取(x0,y0)=(0,0),路径为从(0,0)到(x,0)的直线段再从(x,0)到(x,y)的直线段.(,)(0,0)0022(22)d2 d(22)d2 d2.x yyxvxxy yCxxy xCxxyC3.不定积分法根据柯西-黎曼方程及解析函数的导数公式有().xxxyfzuivuiu将 表示成z的函数h(z),于是 xyuiu()()d.f zh zzC()2(22)2(1)2(1).fzyixi xiyi z 还是用例3.1说明：ux=2y,uy=2x-2.2()2(1)d2.f zi zzCizizC 由条件 f(2)=-i,得C=-i,故 2()(1).f zi z
