1、一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的解法用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程问题问题1:什么叫做平方根？什么叫做平方根？如果如果 ，那么，那么x叫做叫做a的平方根的平方根.)0(2aax问题问题2:什么叫做开平方运算？什么叫做开平方运算？求一个数平方根的运算叫做开平方运算求一个数平方根的运算叫做开平方运算.问题问题3:根据平方根的意义你能解方程根据平方根的意义你能解方程 吗？吗？252x像这种用直接开平方求一元二次方程像这种用直接开平方求一元二次方程解的方法叫做解的方法叫做直接开平方法直接开平方法.能利用直接开平方法解的一元二次方程应能利用直接开平方法解
2、的一元二次方程应满足的形式为满足的形式为_)0(2ppx例：解方程：例：解方程：一元二次方程如果有解，则解的个数一定为一元二次方程如果有解，则解的个数一定为_ 2个个016)1(2x03)2(2x方程方程 解为解为方程方程 无解无解02x021 xx32x思考：对照上面解方程的过程，你认为应思考：对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程怎样解方程5)12(2x例：解方程：例：解方程：用直接开平方法还可以解形如用直接开平方法还可以解形如_方方程程06)1(2)1(2x0)213)(2(2x)0()(2ppnmx从从 实质上实质上pnmxpnmx变形2)(两个一元一次方程一元二次方程转化由以上解方
3、程的经验你能解方程由以上解方程的经验你能解方程 吗？吗？2962 xx归纳：直接开平方法归纳：直接开平方法22()(0).xpmxnp pxpmxnp 如果方程能化成或的形式，那么可得或222270(2)3(1)240(3)10251xxxx例题：(1)30148)4(2 yy配方法的步骤：配方法的步骤：1、看方程的二次项系数是否为、看方程的二次项系数是否为1？2、移项移项：将常数项移到方程的另一边；将常数项移到方程的另一边；3、配方：配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；方程两边都加上一次项系数一半的平方；4、左边写成完全平方的形式；、左边写成完全平方的形式；5、开平方：开平方：将方程化
4、为一元一次方程；（降次）将方程化为一元一次方程；（降次）6、解一元一次方程、解一元一次方程.配成完全平方的形式来解方程的方法叫做配方法配成完全平方的形式来解方程的方法叫做配方法.练习：练习：1.解下列方程：解下列方程：（）；（）；（）；（）xx.yx.222211620 810314404 94解解：（）因因为为 是是的的平平方方根根，所所以以xxx.2116164（）由由得得：因因为为 是是的的平平方方根根，所所以以x.x.x.x.2220 8100 810 810 9（）由由得得：因因为为 是是的的平平方方根根，所所以以yyyy.223144014414412（）由由得得：因因为为 是是
5、的的平平方方根根，所所以以xxxx.224944949232.解下列方程：解下列方程：（）；（）；（）；（）xxxx.22221142233425042350 解解：（）因因为为是是 的的平平方方根根，所所以以=，即即xxx,x.121141213 （）因因为为是是 的的平平方方根根，所所以以=，即即xxx,x.12223232323 （）由由得得=因因为为是是的的平平方方根根，所所以以=，即即xxxxx,x.2212342504254254519 （）由由得得=因因为为是是 的的平平方方根根，所所以以=，即即xxxxx,x.221242350235235235535322一元二次方程的解法一
6、元二次方程的解法用公式法解一元二次方程用公式法解一元二次方程用配方法解一般形式的一元二次方程用配方法解一般形式的一元二次方程20axbxc 把方程两边都除以把方程两边都除以 20bcxxaa 解解:a移项，得移项，得2bcxxaa 配方，得配方，得22222bbcbxxaaaa 即即222424bbacxaa (a0)2422bbacxaa 即即即即222424bbacxaa 因为因为a0，所以，所以4 0a2式子式子的值有以下三种情况：acb42044,04)1(222aacbacb这时此时，方程有两个不等的实数根此时，方程有两个不等的实数根.aacbaacbbxbx242422212422
7、bbacxaa 即即即即222424bbacxaa 因为因为a0，所以，所以4 0a2式子式子的值有以下三种情况：acb42044,04)2(222aacbacb这时此时，方程有两个相等的实数根此时，方程有两个相等的实数根.122baxx=0即即222424bbacxaa 因为因为a0，所以，所以4 0a2式子式子的值有以下三种情况：acb42044,04)3(222aacbacb这时而而x取任何实数都不可能使取任何实数都不可能使 ，因此方程无实数根因此方程无实数根.0)2(2abx一般地，式子 叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示它acb4220axbxcacb4220axbxc 242b
8、bacxa 一元二次方程的一元二次方程的求根公式求根公式(a0)当当0时，方程时，方程的实根可写为的实根可写为用求根公式解一元二次方程的方法用求根公式解一元二次方程的方法叫做叫做公式法公式法.例例 解方程：解方程：27180 xx解：解：即即：1292xx 242bbacxa 1718abc 22474 118121bac （）（）0方程有两个不等的实数根方程有两个不等的实数根242bbacxa 211712121)7(用公式法解一元二次方程的一般步骤：用公式法解一元二次方程的一般步骤：242bbacxa 3、代入求根公式、代入求根公式:2、求出、求出 的值，的值，24bac 1、把方程化成一
9、般形式，并写出、把方程化成一般形式，并写出 的值的值.a b、c c4、写出方程的解：、写出方程的解：12xx、特别注意特别注意:当当 时无解时无解240bac242bbacxa 例例 解方程：解方程：232 3xx化简为一般式：化简为一般式：22 330 xx这里这里1a 、b=-2 3、b=-2 3、c=3c=3解：解：2242 34 1 30032 12bacx （）（-2 3）-2 3）2 32 3即即：123xx解：去括号，化简为一般式：解：去括号，化简为一般式：242bbacxa 例例 解方程：解方程：2136xx23780 xx这里这里3a 、b=-7、b=-7、c=8c=822
10、474 3 84996470bac -（）方程没有实数解方程没有实数解.练习：练习：用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：（）；（）；（）；（）（）；（）.xxxxxxxx.x xx x222213402 2103234 20815666 411 解解：（），ab,cbac,x.x,x.22121134434 14250325352 1214 （），ab,cbac,x.x,x.22122211414 219019132 24112 （）把把方方程程化化成成一一般般形形式式：=，xx.ab,cbac,x.x,x.22212323 0123424 13160216242 1213 （）把把方方程
11、程化化成成一一般般形形式式：=，xx.ab,cbac,x.x,x.2221242081 02081484 201144081448122 204011102 （）把把方方程程化化成成一一般般形形式式：=，xx.ab,cbac,x.x,x.22212566 0166464 1660066062 152 12315315 （）把把方方程程化化成成一一般般形形式式：=，xx.ab,cbac,x.x,x.222126441 0441444 4132043244 22 48121222用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：（1）2x2-9x+8=0；（2）9x2+6x+1=0；（3）16x2+8x=3
12、.1、m取什么值时，方程取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解有两个相等的实数解 思考题思考题2、关于、关于x的一元二次方程的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0).当当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？一元二次方程的解法一元二次方程的解法用用解一元二次方程解一元二次方程重点重点 难点难点重点：重点：用因式分解法解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程难点：难点：正确理解正确理解ABAB=0=0=A A=0=0或或B B=0=0（A A、B B表示两个因式）表示两个因式）用因式分解法解一元二次方程的步骤
13、用因式分解法解一元二次方程的步骤1 1方程右边化为方程右边化为 .2 2将方程左边分解成两个将方程左边分解成两个 的的乘积乘积.3 3至少至少 因式为零，得到因式为零，得到两个一元一次方程两个一元一次方程.4 4两个两个 就是原方就是原方程的解程的解.零零一次因式一次因式有一个有一个一元一次方程的解一元一次方程的解快速回答：下列各方程的根分快速回答：下列各方程的根分别是多少？别是多少？0)2()1(xx0)3)(2)(2(yy2,021xx3,221yy0)12)(23)(3(xx21,3221xxxx 2)4(1,021xx下面的解法正确吗？如果不正确，下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪
14、？错误在哪？.48.462;83563)2)(5(18)2)(5(21xxxxxxxxxx或原方程的解为，得由，得由原方程化为解：解方程()qxxpxxxxqpxx21212120,则：，的两根为若方程特别地：为了研究问题的方便，我们把二次项系数为为了研究问题的方便，我们把二次项系数为1的的方程设为方程设为x2+px+q=0的形式，有上面表格得的形式，有上面表格得出以下结论：出以下结论：活动二活动二解下列方程并观察解下列方程并观察x1+x2，x1 x2与与a，b，c的关系的关系方程x1x2x1+x2x1 x22x2+x-3=05x2-9x-2=02x2+3x-2=03x2+11x+6=0学生观
15、察方程的特点并归纳总结学生观察方程的特点并归纳总结x1+x2，x1 x2与与a，b，c的关系的关系.一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）韦达定理）acxxabxxxxacbxax212121200,)(则的两根为若方程qxxpxxxxqpxx21212120,则：，的两根为若方程特别地：推论推论1你会证明吗？你会证明吗？一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）韦达定理）012121221xxxxxxxx）（）是方程（二次项系数为为根的一元二次以两个数,推论推论2 2acxxabxxxxacbxax212121200,)(则的两根为若方程例例1、利用根与系数的关系，求一元二次方程、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的两根之和与两根之积两个根的两根之和与两根之积.2250 xx 解：设方程的两个根是解：设方程的两个根是x1 1 x2 2，那么，那么12122,5xxxx 1.1.解一元二次方程的方法：解一元二次方程的方法：直接开平方法直接开平方法 配方法配方法 公式法公式法 因式分解法因式分解法小小 结结：21212120(0),axbxcaxxbcxxxxaa 2 2.若若 方方 程程的的 两两 根根 为为则则
