1、PPT资料-微积分D52变量可分离方程齐次方程探讨5.2.1 5.2.1 变量可分离的微分方程变量可分离的微分方程(),0nFy yyxy(),nG y y yy 等式变形或相应变换等式变形或相应变换 即即从而达到求解方程的目的。从而达到求解方程的目的。（变量分离变量分离）机动 目录 上页 下页 返回 结束 若所给微分方程能通过适当的等式变形若所给微分方程能通过适当的等式变形一端，一端，另者在方程的另一端，另者在方程的另一端，即一者在方程的即一者在方程的或相应的变量替换或相应的变量替换则该过程是对方程施行则该过程是对方程施行变量分离变量分离。使其使其未知函数未知函数及其及其各阶导数各阶导数能与
2、能与自变量自变量分开，分开，(),nG y y yyh x xh等式两边积分等式两边积分 （等式两端可积等式两端可积）变量可分离的一阶微分方程变量可分离的一阶微分方程,y xf x y 1ddyxgyh x,f x y 对于一阶的微分方程对于一阶的微分方程当函数当函数 g、h 均连续时均连续时，有有则方程则方程 就是变量可分离的微分方程。就是变量可分离的微分方程。xy这表明由确定的隐函数这表明由确定的隐函数即有：即有：故称式为方程的故称式为方程的隐式通解隐式通解，同样地，同样地，上述过程是可逆的，上述过程是可逆的，由确定的隐函数由确定的隐函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果如果 1gy
3、h x即即 dg yy原 dh xxC原 G yH xC当原函数当原函数时，时，ddg yyh xx dd,gxxxh xxxI 0(0)Gyg y是方程的解是方程的解;yx 0(0)Hxh x时，时，当当也也是方程的解。是方程的解。xy或或通积分通积分。1ddyg yh xx3lnlnyxC例例1.2d3d,0yxxyy2dd3yxx y1CCe 的通解。的通解。解解:两边积分两边积分2d3dyxxy得得31ln yxC即即31xCye 31Cxe e(C 为任一非零常数为任一非零常数)或或说明说明:因此，可能增、因此，可能增、减解。减解。机动 目录 上页 下页 返回 结束 求微分方程求微分
4、方程分离变量得分离变量得令令3.xyCe(C 为任意常数为任意常数)(此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 )0y 在求解过程中每在求解过程中每一步不一定是同解变形一步不一定是同解变形,例例2.20d1 dxy xxy 01y2d1,0dyxxyxy解解:两边积分得两边积分得21lnlnln1yCx即得方程的通解：即得方程的通解：1,C 由初始条件得由初始条件得21.1y x(C 为任一非零常数为任一非零常数)故所求特解为：故所求特解为：机动 目录 上页 下页 返回 结束 解初值问题解初值问题分离变量得分离变量得2,1y xC也是原方程的解，也是原方程的解，0y 显然函数显然函数因
5、此，因此，(C 为任意常数为任意常数)。例例3.2sin1yxy1,uxy1uy 解解:则有：则有：故原方程变为：故原方程变为：变量分离得：变量分离得：2secddu uxCxutan等式两端积分得等式两端积分得tan1.xyCx(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 求微分方程求微分方程21si,nuu令令变量回代变量回代(C 为任意常数为任意常数)的通解。的通解。显然，显然，此方程不是变量可分离的微分方程，此方程不是变量可分离的微分方程，因此作变量代换，因此作变量代换，这是一变量可分的方程，这是一变量可分的方程，例例4.ddx yyxeddyxyx
6、eeyxCee解法解法 1.即所求的通解为：即所求的通解为：1,0yxCee解法解法 2.,uxydd1dduyxx 故原方程变为：故原方程变为：得得dd1uuxeln 1uuxCe(C 为任意常数为任意常数)变量回代得所求通解变量回代得所求通解:ln 1x yyCe1d1uuueuee机动 目录 上页 下页 返回 结束 求微分方程：求微分方程：0C 的通解。的通解。分离变量法：分离变量法：变量代换法：变量代换法：令令则则d1duuxe 等式两端积分得：等式两端积分得：分离变量后等式两端积分分离变量后等式两端积分例例5.成正比成正比,求降落伞求降落伞解解:ddvmt00tv初始条件为：初始条件
7、为：对方程分离变量，对方程分离变量，mtvkmgvdd然后积分然后积分:得得1lntmkmgkvC利用初始条件，得利用初始条件，得1lnkCmg 代入上式后化简，代入上式后化简，得特解得特解并设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为速度为0,1.kmtmgkvemgkv设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与其下落的速度设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与其下落的速度 下落速度与时间的函数关系。下落速度与时间的函数关系。mgvkt 足够大时足够大时机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据牛顿第二定律列方程：根据牛顿第二定律列方程：(0)mgkv此处此处cm100例例6.2;1cm
8、S d,t ttddVQt开始时容器内盛满了水，开始时容器内盛满了水，流出过程中，流出过程中，r解解:hgS262.0即即求水从小孔求水从小孔孔横截面积孔横截面积设小设小流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度设在时间间隔设在时间间隔内，内，dhhhhdhho机动 目录 上页 下页 返回 结束 有高有高 1m 的半球形容器的半球形容器,由水力学知由水力学知,水从它的底部小孔流出水从它的底部小孔流出,容器里水面的高度容器里水面的高度 h 随时间随时间 t 的变化规律。的变化规律。水从孔口流出的流量为：水从孔口流出的流量为：建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系水面高度由水面
9、高度由 h 降到降到 水面圆的半径为水面圆的半径为 r，d0.62,2dVghtd0,h cm100rhhdhho2200hh2d200dVhhh 因此得微分方程定解问题因此得微分方程定解问题:将方程分离变量将方程分离变量:3d200d0.62 2hhhgt机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应下降体积对应下降体积2ddVrh22100100hr20.62 2d200dgh thhh0100th 得得g262.0C利用初始条件，利用初始条件，因此容器内水面高度因此容器内水面高度 h 与时间与时间 t 有下列关系有下列关系:53357 101034.65 2hhgt0100thcm100rhh
10、dhho机动 目录 上页 下页 返回 结束 等式两端积分，等式两端积分，34003h525Ch3200d0.62 2hhhgt51410150.62 2,gC得得5.2.2 5.2.2 齐次方程齐次方程ddyyfxxdddd,yuxyux形如形如：的方程叫做的方程叫做齐次方程齐次方程。令令代入原方程得：代入原方程得：两边积分，两边积分，得得变量回代：变量回代：便是原方程的隐式通解。便是原方程的隐式通解。解法解法:变量分离：变量分离：机动 目录 上页 下页 返回 结束,yux dd,uuxf ux d,duxf uux dduxf uux lnyxCFx则则,yux ln,CF ux例例7.d+
11、tand.yyyxxx,yux,yux解解:dd,dduyuxxx代入原方程得：代入原方程得：分离变量分离变量cosddsinuxuux等式两边积分：等式两边积分：cosddsinuxuux得得ln sinl,nlnuxC故原方程的通解为：故原方程的通解为：sinyxxC(当当 C=0 时时,y=0 也是方程的解也是方程的解)(C 为任意常数为任意常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 求解微分方程求解微分方程令令则则dtanduuxuux从而得：从而得：sinuxC例例8.222dd0.yxyxxy,yux 2d2d,yyyxxx解解:则有则有2d2d,uuxuux分离变量分离变量2,dd
12、uxxuu 等式两边积分得：等式两边积分得：1lnln,lnuxCu d11d1xuuxu 变量回代后得通解：变量回代后得通解：即即1x uCux yCxy说明说明:(C 为任意常数为任意常数)但在求解过程中丢失了。但在求解过程中丢失了。机动 目录 上页 下页 返回 结束 解微分方程解微分方程,xuy将方程变形为：将方程变形为：令令它们也是原方程的解，它们也是原方程的解，原方程变为：原方程变为：即即0,x 0,y,xy显然函数显然函数然而数函然而数函0y 仍未包括在通解中，仍未包括在通解中，故数函故数函0y 为原方程的一个奇解。为原方程的一个奇解。oyx可得可得例例9.,M x y yf x,
13、AOOM解解:则反射镜面由曲线则反射镜面由曲线 绕绕 x 轴旋转而成。轴旋转而成。过曲线上任意点过曲线上任意点由光的反射定律：由光的反射定律：入射角入射角=反射角反射角cotxyyxy22OMxyTMAPy取取 x 轴平行于光线反射方向，轴平行于光线反射方向，从而从而要求点光源的光线反射出去要求点光源的光线反射出去 有良好的方向性有良好的方向性，试求反射镜面的形状。试求反射镜面的形状。而而于是得微分方程于是得微分方程:yxy22xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 在制造探照灯反射镜面时，在制造探照灯反射镜面时，设光源在坐标原点，设光源在坐标原点，OMA作切线作切线 M T，,OAM AOA
14、POP2d1dyxxy不妨设不妨设xy,vxyddddxvvyyy21lnlnlnvvCy积分得积分得故有故有2221CyyvC,yvx得得222CCyx (抛物线抛物线)故反射镜面为旋转抛物面。故反射镜面为旋转抛物面。于是方程化为：于是方程化为：(齐次方程齐次方程)机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用曲线的对称性，利用曲线的对称性，0,y,xyv2d1dvyvy令令则则21ddvyyvyxy22xy方程两端除以方程两端除以 y ,221 vCyv 21yvvC顶到底的距离为顶到底的距离为 h，hdC82说明说明:222CyCx2,2dyhCx则将则将这时旋转曲面方程为：这时旋转曲面方程为
15、：2222416ddhyzhxhd若已知反射镜面的底面直径为若已知反射镜面的底面直径为 d,代入通解表达式得代入通解表达式得)0,(2CoyxA机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则 5.2.3 5.2.3 可化为齐次的微分方程可化为齐次的微分方程d,dyfyxxd,dddabuyxxddddyuabxx作变换作变换,uyaxb原方程化为原方程化为 分离变量分离变量 ddubuxa(变量可分离方程变量可分离方程)从而得从而得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u1）若）若ddaxbduf u等式两边积分等式两边积分 dduxbua从而得方程的隐式通解为：从而得方程的隐式通解为：.xyxab
16、C ddbxauu uxCdf axyb11 ddXYXYaYfXbab（可将原方程化为齐次的）（可将原方程化为齐次的）2）若）若10cc111ddxyxyfabcacyxb110abab)0(212cc01.作变换，令作变换，令,xXyhYkdddd,xXyY原方程化为原方程化为 ahbkc令令 0ckbha0111ckbha解出解出 h,k(齐次方程齐次方程)（其中：（其中：k，h为待定常数）为待定常数）机动 目录 上页 下页 返回 结束 1,c c当当时，时，方程为齐次微分方程；方程为齐次微分方程；02.当当至少有一个不为至少有一个不为0 时，时，则则）当）当时，时，111a hbkc1
17、1ddXYXYabaYXb即得原方程的解；即得原方程的解；原方程可化为原方程可化为 1(d)dabcayxyfxxybc令令,bya xvddddavxbyx1ddvv cvbxac(可分离变量方程可分离变量方程)0b 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求出其解后，求出其解后，v1ccvfv1ddvvfvcacxb将变量将变量回代，回代，110abab）当）当时，时，则则分离变量得：分离变量得：ddvvx11,ababdddd1abyvxx,XxYhy k vx C xyabCx例例11.40hk解解:令令1,5xXyYddYXYXXY原方程变为：原方程变为：再令再令 令令21dd1uXuX
18、u等式两边积分得：等式两边积分得：arctanu212ln 1 uln C X机动 目录 上页 下页 返回 结束 求定解问题：求定解问题：60hk解方程组得：解方程组得：(齐次方程齐次方程),YXu分离变量得：分离变量得：d4d6yx yx yx 25xy 5,1hk 25,xy 得常数得常数故所求特解为：故所求特解为：若方程改为若方程改为 如何求解如何求解?提示提示:第四节 目录 上页 下页 返回 结束 由初始条件：由初始条件：变量回代，变量回代，1,C 5arctan1yxd4d6,yxyxxy5arctan1yx思考：思考：得原方程的通解为：得原方程的通解为：YuX,51yxln1C x215ln 121yx 221ln152.xy作变量代换：作变量代换：令令vxy思考与练习思考与练习 求下列方程的通解:0d)(d)()1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1)分离变量(2)方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业P 269 1(1),(5),(7),(10);2(3),(4);4;5;6第三节 目录 上页 下页 返回 结束
