1、第一节第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的方程1.直线的倾斜角直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正方向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角,当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.(2)范围:直线l的倾斜角的范围是0,).教材研读2.斜率公式斜率公式(1)若直线l的倾斜角90,则斜率k=tan.(2)若P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1x2,则l的斜率k=.2121-y yx x3.直线方程的五种形式直线方程的五种形式 提醒提醒当直线与x轴不垂直时,可设直线的方程为y=kx+b;当不确定直线的
2、斜率是否存在时,可设直线的方程为ky+x+b=0.名称方程适用范围点斜式y-y0=k(x-x0)直线不垂直于x轴斜截式y=kx+b直线不垂直于x轴两点式=(x1x2,y1y2)直线不垂直于x轴,y轴截距式+=1(a0,b0)直线不垂直于x轴,y轴且不过原点一般式Ax+By+C=0(A2+B20)平面直角坐标系内的直线都适用121y-yy-y121x-xx-xxayb常用结论常用结论直线的斜率k和倾斜角之间的函数关系 提醒提醒(1)当直线不垂直于x轴时,直线的斜率和直线的倾斜角一一对应.(2)当直线l的倾斜角时,越大,直线l的斜率越大;当时,越大,直线l的斜率越大.(3)所有的直线都有倾斜角,但
3、不是所有的直线都有斜率.0,2,21.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(3)直线的斜率越大,倾斜角就越大.()(4)若直线的斜率为tan,则倾斜角为.()(5)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等.()(6)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.()2.若直线x=2的倾斜角为,则(C)A.等于0B.等于C.等于D.不存在423.(教材习题改编)经过两点A(m,3),B(1,2m)的直线的倾斜
4、角为135,则m的值为(B)A.-2B.2C.4D.-44.如果AC0,BC0,那么直线Ax+By+C=0不经过(C)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.经过点P0(2,-3),倾斜角为45的直线方程为(D)A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=06.若过A(-m,6),B(1,3m)两点的直线的斜率为12,则直线的方程为.答案答案12x-y-18=0解析解析由题意得=12,解得m=-2,A(2,6),直线AB的方程为y-6=12(x-2),整理得12x-y-18=0.3-61mm考点突破考点一直线的倾斜角与斜率考点一直线的倾斜角与斜率典例典例1
5、(1)直线xsin-y+1=0的倾斜角的取值范围是.(2)若直线l的斜率为k,倾斜角为,且,则k的取值范围是.,6 42,3答案答案(1)(2)-,0)0,43,433,13解析解析(1)设直线的倾斜角为,则有tan=sin,其中sin-1,1.又0,),所以0或.(2)当时,k=tan;当时,k=tan-,0).综上,k-,0).434,6 43,132,3333,13方法技巧方法技巧1.求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k=tan的取值范围;(2)利用三角函数的单调性,借助图象或单位圆确定直线的倾斜角的取值范围.求倾斜角时要注意斜率是否存在.2.斜率的求法(1)定义法:若已知直线的
6、倾斜角或的某个三角函数值,一般根据k=tan求斜率.(2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),一般根据斜率公式k=求斜率.2121-y yx x1-1如图,若直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(D)A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2考点二求直线方程考点二求直线方程典例典例2根据所给条件求直线的方程:(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;(3)直线过点(5,10),且原点到该直线的距离为5.1010解析解析(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采
7、用点斜式求解.设直线的倾斜角为,则sin=(00,b0),将点P(3,2)代入上式得+=12,得ab24,从而SAOB=ab12,当且仅当=时等号成立,这时k=-=-,从而所求直线l的方程为2x+3y-12=0.ABO的面积的最小值为12,所求直线l的方程为2x+3y-12=0.xayb3a2b6ab123a2bba23解法二:依题意知,直线l的斜率存在,且小于0,可设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0),则A,B(0,2-3k),23-,0kSABO=(2-3k)=(12+12)=12,当且仅当-9k=(k0),即k=-时,等号成立.此时直线l的方程为2x+3y-12=0.ABO的面积
8、的最小值为12,所求直线l的方程为2x+3y-12=0.1223-k12412(-9)-kk124122(-9)-kk124-k23探究探究在本例(2)条件不变的情况下,求|OA|+|OB|的最小值及此时l的方程.解析解析解法一:由原例(2)解法一知+=1,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5+5+2.当且仅当a=b,且+=1,即a=3+,b=2+时,|OA|+|OB|取得最小值5+2.此时,直线l的方程为+=1,即x+3y-6-3=0.3a2b32ab3ba2ab6233a2b66636x26y66|OA|+|OB|=3-+2-3k=5+(-3k)5+2=5+2.当且仅当-=-3k
9、(k0),即k=-时,|OA|+|OB|取得最小值5+2.此时直线l的方程为y-2=-(x-3),即x+3y-6-3=0.2k2-k2-(-3)kk62k6366366解法二:由原例(2)解法二知方法技巧方法技巧1.给定条件求直线方程的思路(1)考虑问题的特殊情况,如斜率不存在的情况,截距等于零的情况.(2)在一般情况下准确选定直线方程的形式,用待定系数法求出直线方程.(3)重视直线方程一般形式的应用,因为它具有广泛的适用性.2.与直线有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程,用y表示x(或用x表示y).(2)将问题转化成关于x(或y)的问题.(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值.3-1
10、已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0a2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求l1,l2的方程.解析解析直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2-a,直线l2的横截距为a2+2,所以直线l1,l2围成的四边形的面积S=2(2-a)+2(a2+2)=a2-a+4,易知当S取得最小值时,a=,此时l1,l2的方程分别为x-4y+6=0,8x+y-18=0.121212利用直线相关知识,借助几何直观想象并构建相应的几何图形,然后利用图形理解和解决问题.若直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围是(B)A.-,1B.(-,-1,+)C.D.1,+)3333-,133-,-3素养引领情境命题答案答案B因为kAP=1,kBP=-,所以k(-,-1,+).1-02-13-00-133
