1、二阶常系数齐次线方程的标准形式教学课件10.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法二阶常系数齐次线性微分方程及其解法),(0为常数qpyqypy xrye和它的导数只差常数因子,代入得0e)(2xr qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程,1.当042qp时,有两个相异实根,21r,r方程有两个线性无关的特解:,e11xry,e22xry 因此方程的通解为xrxrCCy21ee21(r 为待定常数),xrre,函数为常数时因为所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.2.当042qp时,特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解(u(x)待
2、定)代入方程得:e1xr)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u=x,则得,e12xrxy 因此原方程的通解为xrxCCy1e)(21,2p.e11xry)(e1xuxr0)()2(1211 uqrprupru3.当042qp时,特征方程有一对共轭复根i,i21rr这时原方程有两个复数解:xy)i(1e)sini(cosexxxxy)i(2e)sini(cosexxx 利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcosexxsine因此原方程的通解为)sincos(e21xCxCyx小结小结:),(0为常数qp
3、yqypy,02qrpr特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例2 2.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,05
4、22 rr解得解得,2121ir，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例3 3例例 4 4 求求微微分分方方程程 的的通通解解 082 yyy0)2)(4(822 rrrrxxececy2241 例例.求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解:特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为ttCCse)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为ttse)24(22C)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程,0 qyypy通解结构通解结构,yYy常见类型常见类型，)(
5、xPm,)(xmexP,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.10.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程及其解法二阶常系数非齐次线性微分方程及其解法设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为xexQy)(代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根不是特征方程的根若若)1(,02 qp ),()(xQxQm 可可设设;)(xmexQy 整理得整理得)()(xPexfmx 类型类型1.型型是是特特征征方方程程的的重重根根若若)3(,02 qp ,02 p),()(2xQxxQm
6、可可设设综上讨论综上讨论,)(xQexymxk 设设 是是重重根根是是单单根根不不是是根根2,10k.)(2xmexQxy 是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若)2(,02 qp ,02 p),()(xxQxQm 可设可设;)(xmexxQy .232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程代入方程,得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121(于于是是原方程的通解为原方程的通解为.)121(2221xxxe
7、xxeCeCy 例例5 5.322的的通通解解求求方方程程 xyy解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程，012 r特征根特征根ir 21，xCxCYsincos21 不不是是特特征征方方程程的的根根，0 ，设设CBxAxy 2代入方程代入方程,得得702 CBA，722 xy于于是是原方程的通解为原方程的通解为.72sincos221 xxCxCy例例6 6例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解:本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根.设所求特解为,*10bxby代入方程:13233010 xbbxb比较系数,得330 b13210bb31,110bb于是所求
8、特解为.31*xy0,0例例2.xxyyy2e65 求方程的通解.解解:本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxCCY3221ee设非齐次方程特解为xbxbxy210e)(*比较系数,得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.e)1(*221xxxy3,221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxCCy3221ee.e)(2221xxx,2例例3.求解定解问题 0)0()0()0(123yyyyyy解解:本题特征方程为,02323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby代入方程得,12b故,*21xy0321CCC21322CC2,1,0321rrr故对
9、应齐次方程通解为1CY xCe2xC23e原方程通解为x211Cy xCe2xC23e由初始条件得0432CC,0于是所求解为xyxx21e41e432解得)ee423(412xxx41 143321CCC2()()cos()sin、型型xlnf xeP xxP xx sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 设设次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),(:)2()1(，nlm,max.10 是是单单根根不不是是根根 iik时时或或当当xBexAexfxx sincos)(sincos21xDxDexyxk 设设特别地特别地方法方法1：方法方法2：见书见书P38
10、2.sin22的通解的通解求方程求方程xyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解,221xxeCeCY 不不是是特特征征根根，ii ，故故设设xBxAysincos*代入原方程求得代入原方程求得5351 BA，xxysin53cos51*原方程通解为原方程通解为 .sin3cos51221xxeCeCyxx 例例7 7.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解,sincos21xCxCY ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根ii 代入原方程求得代入原方程求得例例8 8 ，设设xDCxxBAxy2sin2cos ，xxxy2sin942cos31 原方
11、程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy 例例6.sine22的通解的通解求方程求方程xyyyx 解解对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为设所给方程的特解为设所给方程的特解为xxaxay221e)sincos(,21为待定系数为待定系数其中其中aa代入所给方程代入所给方程,有有xxaaxaasinsin)3(cos)3(2121 xxCCY221ee 于是于是 得得xxxy2esin101cos103 所给方程的通解是所给方程的通解是.esin101cos103ee2221xxxxxCCy 例例7.2cos24的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐
12、次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为042 解得解得,i 21 ,i 22 于是对应齐次方程的通解为于是对应齐次方程的通解为xCxCY2sin2cos21 设所给方程的特解为设所给方程的特解为,)2sin2cos(21xaxaxy ,21为待定系数为待定系数其中其中aa,2cos,2sin的系数的系数比较比较xx.0,2112 aa得得于是于是,得得xxy2sin21 所给方程的通解是所给方程的通解是.2sin212sin2cos21xxxCxCy 代入所给方程代入所给方程,有有xxaxa2cos22sin42cos412 例例4.xxyy2cos 求方程的一个特解.解解:本题 特征方程
13、,2,0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,i2i代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl,0)(xPn比较系数,得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb例例5.xxyy3sin303cos189 求方程的通解.解解:特征方程为,092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数,得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyi32,1r代入方程:xaxb3si
14、n63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为小结：1.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式 实实根根21rr 实实根根21rr 复复根根 ir 2,1 xrxreCeCy2121 xrexCCy1)(21 )s
15、incos(21xCxCeyx 可以是复数）可以是复数）(),()()1(xPexfmx);(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk (待定系数法求特解待定系数法求特解)思考题思考题1.求微分方程求微分方程 的通解的通解.yyyyyln22 2.写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式.3.写出微分方程写出微分方程 xyy2cos242 的待定特解的形式的待定特解的形式.思考题解答思考题解答,0.1 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx
16、 ,lnlnyy 令令yzln 则则,0 zz特征根特征根1 通解通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 思考题解答思考题解答2.设设 的特解为的特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设设 的特解为的特解为*2y*2y*1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根22,1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2（重根）（重根）*2y*1*yy CBxAx 2.22xeDx 思考题解答思考题解答*2y*1*yy 则所求特解为则所求特解为042 rr特征根特征根4021，rrAxy *1xCxBy4sin4cos*2 设设 的特解为的特解为*1y14 yy3.原方程可化为原方程可化为xyy4cos14 设设 的特解为的特解为*2yxyy4cos4 *2y*1*yy AxxCxB4sin4cos 思考与练习思考与练习时可设特解为 xxxfcos)()1当xxxxf2e2cos)()2当xy*xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xk2e)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xkxye*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1.(填空)设sin)(cos)(xxRxxRmm
