1、 在过去的学习中我们已经掌握在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，在求某了一些求曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线上的些曲线方程时，直接确定曲线上的点的坐标点的坐标x,yx,y的关系并不容易的关系并不容易,但如但如果利用某个参数作为联系它们的桥果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标梁，那么就可以方便地得出坐标x,yx,y所要适合的条件，即参数可以帮助所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程我们得出曲线的方程f(x,y)f(x,y)0 0。一参数方程的概念 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m
2、/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机飞行员应如何确定投放时机呢？呢？提示：提示：即求飞行员在离救援点的水平距离即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？多远时，开始投放物资？救援点救援点投放点投放点xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿）沿ox作初速为作初速为100m/s的匀速直线运动；的匀速直线运动；（2）沿）沿oy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。如图如图,一架救
3、援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机飞行员应如何确定投放时机呢？呢？xy500o0,y 令10.10.ts得100,1010.xtxm代入得.1010 所m以，飞行员在离救援点的水平距离约为时投放物资，可以使其准确落在 指定位置 txy解：物资出舱后，设在时刻，水平位移为，垂直高度为，所以2100,1500.2xtygt)2（g=9.8m/s 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞
4、机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机飞行员应如何确定投放时机呢？呢？相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做的方程叫做普通方程普通方程。关于参数几点说明：关于参数几点说明：1.参数是联系变数参数是联系变数x,y的桥梁的桥梁,可以是有物理意义或几何意义的变可以是有物理意义或几何意义的变 数数,也可以是没有明显实际意义的变数；也可以是没有明显实际意义的变数；2.同一
5、曲线选取参数不同同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样；曲线参数方程形式也不一样；3.在实际问题中要确定参数的取值范围。在实际问题中要确定参数的取值范围。(),().xf tyg t（2）并且对于并且对于t的每一个允许值的每一个允许值,由方程组由方程组(2)所确定的点所确定的点M(x,y)都在这条曲线上都在这条曲线上,那么方程那么方程(2)就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参数方程参数方程,联系变数联系变数x,y的变数的变数t叫做叫做参变数参变数,简称简称参数参数.一般地一般地,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一如果曲线上任意一点的坐标点的坐标x,y都是某个变数都是某
6、个变数t的函数的函数的值。上，求在曲线、已知点的位置关系与曲线、判断点为参数的参数方程、已知曲线例aCaMCMMttytxC),6()2()4,5(),1,0()1()(12313212上。不在曲线点这个方程组无解，所以代入方程组，得到把点上。在曲线所以代入方程组，解得的坐标把点解：CMttMCMtM2221112435)4,5(0)1,0()1(99,21236),6()2(23aattatCaM所以解得上，所以在曲线、因为点二圆的参数方程yxorM(x,y)0M)()(sincossin,cos),(速圆周运动的时刻质点作匀有明确的物理意义程。其中参数的圆的参数方，半径为这就是圆心在原点为
7、参数即角函数的定义有：，那么由三，设，那么，坐标是转过的角度是，点如果在时刻trOttrytrxrytrxtrOMtyxMMt转过的角度。的位置时，到逆时针旋转绕点的几何意义是其中参数的圆的参数方程，半径为这也是圆心在原点为参数为参数，于是有，也可以取考虑到00)(sincosOMOMOOMrOryrxt么样的呢？的圆的参数方程又是怎半径为那么，圆心在点普通方程是的参数方程，它对应的以上是圆心在原点的圆ryxoryx),(,002222202000)()()(sincosryyxxryyrxx对应的普通方程为为参数 由于选取的参数不同，圆有不同的参由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地
8、，同一条曲线，可以选取数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示程，它们表示 的曲线可以是相同的，另的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数方程时，要注明参外，在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。数及参数的取值范围。例例2、如图，圆、如图，圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速圆周运动时，求点作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的
9、参数方的轨迹的参数方程。程。yoxPMQ)(sin3cossin2sin2,3cos26cos2),sin2,cos2(,),(为参数的轨迹的参数方程是所以，点由中点坐标公式得：的坐标是则点，的坐标是解：设点yxMyxPxOPyxM三参数方程和普通方程的互化cos3,()sinxMy由参数方程为参数 直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单。2222cos3,sincos(3)1sinxxyyM 由参数方程得：所以点 的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式不同形式.一般
10、地，可以通过消去参数而从参一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；如果知道变数数方程得到普通方程；如果知道变数x x，y y中的中的一个与参数一个与参数t t的关系，例如的关系，例如x=f(t),x=f(t),把它代入普把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g(t)y=g(t)，那么那么)()(tgytfx这就是曲线的参数方程这就是曲线的参数方程.注意：注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x x，y y的的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.)(2111
11、3为参数）（表示什么曲线？普通方程，并说明各、把下列参数方程化为例ttytx2sin1cossin2yx）（)()1,1()1(32,1132,211111包括端点为端点的一条射线这是以普通方程是所以与参数方程等价的又得到代入有）由解：（xxytxxytyxttx)(21113为参数）（表示什么曲线？普通方程，并说明各、把下列参数方程化为例ttytx2sin1cossin2yx）（这是抛物线的一部分。普通方程为所以与参数方程等价的所以又得到平方后减去把解：.2,2,2,2),4sin(2cossin,2sin1cossin)2(22xyxxxyxyx为参数）设（为参数）设（的参数方程、求椭圆例
12、ttyxyx,22;,cos31149422)(sin2cos3149,sin2sin2sin4)cos1(4,149cos9cos312222222为参数的参数方程是所以椭圆的任意性，可取由参数即所以代入椭圆方程，得到）把解：（yxyxyyyyx为参数）设（为参数）设（的参数方程、求椭圆例ttyxyx,22;,cos31149422tytxttytxyxtxtxtxty213)(21314913),1(9144922222222222和为参数的参数方程是所以，椭圆于是代入椭圆方程，得）把解：（练习：练习：1、将下列参数方程化为普通方程：、将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1x1）（3）x2-y=2（x2或或x-2）2224sin A B C Dsinxtxtxtxtytytytyt、2 2、曲线、曲线y=xy=x2 2的一种参数方程是（的一种参数方程是（）.习题习题2.1 2、4、5感谢下感谢下载载
