1、第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数隐函数及由参数方程所确定的函数导数相关变化率导数相关变化率一一.隐函数的导数隐函数的导数 在方程F(x,y)=0中,如果当x在某区间I上取任意一值时,相应地 总有唯一一个满足该方程的y值存在,这种由方程所确定的函数称为隐函数,它的定义域为I,有时也记作y=f(x).不过这里的f的具体表 示 式不一定能求得出来.例如,方程x+3y-4=0,xy+ex-ey0都确定了y是x的隐函数,对于前一个方程,可以解出,我们称为隐函数的显化.后面一个方程就解不出 y=f(x).这里为了满足计算 的需要,我们用下面的例题说 明隐函数的求导方法2022-12-31解:将
2、题设方程两边都对x求导,得到例1 求由方程 xy+ex-ey=0 所确定的隐函数的导数 dy/dxxeeydxdydxdyeedxdyxyyxyx0 方程两边对x求导,要记住y是x的函数,则y的函数是x的 复合函数,例如 1/y,y2,lny,ex 等都是x的复合函数,对x求导应按 复合函数求导方法做.2022-12-32例2 求由方程y=sin(x+y)所确定的隐函数的导数.解:对两边都对x求导,我们得到)1)(cos()(cos(yyxyxyxyx 对于隐含数还有一种求导数的方法 对 数 求 导 法 对于幂指函数或连乘除形式函数的求导,先取对数再取 导数,比用通常方法计算简单.yyxyx)
3、cos()cos()cos(1)cos(yxyxy2022-12-33例3 求幂指数函数 y=uv(u0)的导数，其中u,v是x的函 数,且都在点x处可导.分析:先取对数uuvuvyyuvyuvyln1)ln(lnlnln例如)ln(cos,1cosuvuvuuyxvxuxyvx)ln()ln()ln(1uvuvuuuuvuvuuuvuvyyvv)lnsin(cos1cosxxxxxyx2022-12-34例4 求)7)(5()3)(1(xxxxy的导数时，结论成立。当0,1)(lnxxx解：xxxxx1)1(1)ln()(ln,0 时当)7)(5()3)(1()7)(5()3)(1(xxxx
4、xxxxy)7ln5ln3ln1(ln21lnxxxxy)71513111(21xxxxyy)71513111()7)(5()3)(1(21xxxxxxxx2022-12-35例5)0)(,0)()()(xxyxyx求)()(lnlnxxy解:)()()(ln)()()(2xxxxxxyy)()(1)(ln)()()()(2xxxxxxx)()(1)(ln)()()()()(2)(xxxxxxxxyx2022-12-3623531,(1)(2);2,3(1 2);3,;xxxyx xxyxyx例6 试用比较简单的方法求下列函数的导数分析:1 可把右式展开后求导,也可利用乘积求导.后者方便.)1
5、()2()2)(1(),2)(1(xxxxxxyxxxy223)21(18)2()21(9)21(3xxyxy 2 可把右式展开后求导,也可用复合函数求导.后者方便.263223 2222xxxxxxxx231(1)4,ln;5,;6,.1(1)a bxxxxyyya bxxx2022-12-373 用商的求导公式,也可先化简后求导的方法,后者方便23212215.3535xyxxxxxxy4 可用复合函数求导或对数性质把函数变形后再求导.后者好)ln()ln(lnbxabxabxabxay5 (1)可用商的求导方法(2)用乘积求导方法(3)可化简后再求导;2)1(2 1121)1(211xy
6、xxxxxy)(2bxabxaabbxabbxaby2022-12-386 方法和5一样,用商和乘积的方法不如用对数的方法化 简后求导.)1ln(3)1ln(2lnln)1()1(32xxxyxxxy 同样的问题采用好的方法,不但计算方便而且正确.通过上述研究我们知道初等函数的导数仍然是初等函数.而隐函数,参数方程确定的函数不一定是初等函数,但可用上述求导方法得到它的导数.)1)(1(51 131211xxxxxxxyy432)1()51)(1()1)(1(51)1()1(xxxxxxxxxxy2022-12-39 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重损害的，全身性疾病，而且不少
7、患者同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如下：1、早期皮肌炎患者，还往往伴有全身不适症状，如-全身肌肉酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉两腿费力；举手梳理头发时，举高手臂很吃力；抬头转头缓慢而费力。皮肌炎图片皮肌炎的症状表现例7 设f(x)x(x-1)(x-2)(x-3).(x-100)求 f (0)分析:本题利用乘积求导方法比较麻烦,不如采用导数定义求方便xfxffx)0()0(lim)0(0例8 求幂指函数 y=xx 的导数)1(ln)1(ln:lnlnxxxxxeyexyxxxxxx解用性质用对数xxxxxx0)100).(2)(1(lim 0!100)100).(2)(1(lim 0 xxxx)
8、1(ln1ln1lnlnxxyxyyxxyxyxx2022-12-3111()()ln xxxyu xyu xu xxu xu x（）（）（）212)21ln()21()21(xxxxxxx利用上式可求得 隐函数的二阶求导就是在隐函数的一阶求导的基础上,在等式两边再对x求导一次,下面举例说明:()()ln()()xu xu xu xxu x 2022-12-312例9 求由方程 x-y+1/2siny=0 所确定的隐函数y的二 阶导数 y”解:方程两边对x求导,得到yyyyycos220cos211上述方程再对x求导,得到0cos21)(sin212 yyyyy322)2(cossin42co
9、s)cos22(sin2cos)(sin yyyyyyyyy2022-12-313二二 由参数式方程所确定的函数的导数由参数式方程所确定的函数的导数 设给定参数方程)(),(tytx通过参数t确定了应用复合函数及反函数的求导公式,得到)2()()(/ttxydxdyttdtdxdtdydxdtdtdydxdy具有单调性，y 为 x 的函数有时由上面的方程消去t,得到的y=f(x)比 较复杂,有时还写不出来.它的反函数存在，并设上面函数)(),(tytx都可导,由它构成的复合函数.我们2022-12-314例11 求曲线22213,13tatytatx在t=2处的切线方程分析:当t=2时,所求切
10、线的切点的坐标为(6a/5,12a/5)切线的 斜率是 yx，因为2222322222222)1(6)1(6)1(6,)1()1(3)1(6)1(3tattattatdtdyttatattadtdx2222322222222)1(6)1(6)1(6,)1()1(3)1(6)1(3tattattatdtdyttatattadtdx)(34|12|002222xxkyyttxydxdykttttt01234 )56)(34(512ayxaxay则切线方程为2022-12-315 在参数方程的一阶导数的基础上,我们来讨论参数式的 二阶导数的求法.设函数的参数式为x=(t),y=(t),)()(ttd
11、xdy则它们的二阶导数dxdtttdtdttdxddxyd)()()()(22 参数式的二阶求导参数式的二阶求导)(1)()()()()(2tttttt 3)()()()()(ttttt 2022-12-316例12 求函数 的二阶导数taytaxsincostaxtaxcos,sin 解 在求参数方程的导数时,不要同函数的求导混淆起来.要求 采用 形式dxdtdxdydtddxyd)(22.sin,cos taytay 322)sin()cos(cos)sin(sin tatatatatadxydta3sin1 2022-12-317三三.相关变化率相关变化率 设 x=x(t)及 y=y(t
12、)都是可导函数，而变量x与y之 间存在某种关系，从而变化率 dx/dt 与 dy/dt 之间也 存在一定关 系。两个相互依赖的变化率称为相关变化率.相关变化率问题是研究这两个变化率之间的关系，以便 从其中一个变化率求出另一个变化率.通 过举例说明2022-12-3182sec,1,500min,/1405001sec22tghmdtdhdtdhdtd 例5 一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率 为140m/min.当气球高度为500m时,观察员视线的仰角增 加率是多少?解:设气球上升ts(秒)后,其高度为h,观察员视线的仰角 为,则tg=h/500.其中和h都是时间t的函数.上式两 边对t求导,得到即观察员视线的仰角增加率是0.14rad/min.500mhmin/14.05007014050012raddtddtd2022-12-319
