1、2022年12月3日星期六小学四年级奥数教程盈小学四年级奥数教程盈亏问题亏问题 把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈；每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。凡是研究盈和亏这如果物体不够分，少了，叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。一类算法的应用题就叫盈亏问题。解盈亏问题的公式解盈亏问题的公式 【一盈一亏的解法】【一盈一亏的解法】(盈数盈数+亏数亏数)两次每人分配数的差两次每人分配数的差 【双盈的解法】【双盈的解法】(大盈大盈-小盈小盈)两次每人分配数的差两次每
2、人分配数的差 【双亏的解法】【双亏的解法】(大亏大亏-小亏小亏)两次每人分配数的差两次每人分配数的差 由解盈亏问题的公式可以看出，求解此类问题的由解盈亏问题的公式可以看出，求解此类问题的关键是确定两次分配数量的差和盈亏的总额，如果两关键是确定两次分配数量的差和盈亏的总额，如果两次分配是一次是有余，另一次是不足时，则依上面的次分配是一次是有余，另一次是不足时，则依上面的公式，先求得人数公式，先求得人数(不是物数不是物数)，再求出物数；如果两，再求出物数；如果两次分配都是有余，则公式变成盈额差除以两次分配数次分配都是有余，则公式变成盈额差除以两次分配数之差；如果两次分配都是不足时，则公式变成亏额差
3、之差；如果两次分配都是不足时，则公式变成亏额差除以两次分配数之差。有些应用题，从表面看起来似除以两次分配数之差。有些应用题，从表面看起来似乎不是盈亏问题，但认真分析，将条件适当地转化后，乎不是盈亏问题，但认真分析，将条件适当地转化后，竟然可变成盈亏问题进行解答。必须转化题目中条件，竟然可变成盈亏问题进行解答。必须转化题目中条件，才能从复杂的数量关系中寻找解答；有时候，直接从才能从复杂的数量关系中寻找解答；有时候，直接从“包含包含”入手比较困难，可以间接从其反面入手比较困难，可以间接从其反面“不包含不包含”去去想就会比较容易。想就会比较容易。例例1 1：小朋友分糖果，若每人分小朋友分糖果，若每人
4、分4 4粒则多粒则多9 9粒；若每人粒；若每人分分5 5粒则少粒则少6 6粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。比较两种分配方案，第一种方案每人分是不变的。比较两种分配方案，第一种方案每人分4 4粒就多粒就多9 9粒，第二种方案每人分粒，第二种方案每人分5 5粒就少粒就少6 6粒，两种粒，两种不同的方案一多一少相差不同的方案一多一少相差9 96 61515（粒）。相差的（粒）。相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分
5、分4 4粒，第二种方案每人分粒，第二种方案每人分5 5粒，两次分配数之差为粒，两次分配数之差为5 54 41 1（粒）。（粒）。每人相差每人相差1 1粒，多少人相差粒，多少人相差1515粒呢？由此求出粒呢？由此求出小朋友的人数为小朋友的人数为15151 11515（人），糖果的粒数为（人），糖果的粒数为4 415159 96969（粒）。（粒）。解：（解：（9 96 6）（）（5-45-4）1515（人），（人），4 415159 96969（粒）。（粒）。答：有答：有1515个小朋友，分个小朋友，分6969粒糖。粒糖。例例2 2：小朋友分糖果，若每人分小朋友分糖果，若每人分3 3粒则剩粒则剩
6、2 2粒；若每人粒；若每人分分5 5粒则少粒则少6 6粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖果？粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖果？本题与例本题与例1 1基本相同，本题中两次分配数之差基本相同，本题中两次分配数之差是是5-35-32 2（粒）（粒）,两种分配方案的盈数与亏数之和两种分配方案的盈数与亏数之和为为2 26=86=8（粒）。仿照例（粒）。仿照例1 1的解法即可。的解法即可。解：（解：（6 62 2）（）（4-24-2）4 4（人），（人），3 34 42 21414（粒）。（粒）。由上两例看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量由上两例看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由
7、两种分配方案产生不的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。解题的关键在于确定两次分配数之差西的总数量。解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：题的公式：分配总人数分配总人数=盈亏总额两次分配数之差。盈亏总额两次分配数之差。需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一是一“盈盈”一一“亏亏”，也会出现两，也会出现两“盈盈”、两、两“亏亏”、一、一“不盈不亏不盈不亏”一
8、一“盈盈”或或“亏亏”等情况。等情况。例例3 3：小朋友分糖果，每人分小朋友分糖果，每人分1010粒，正好分完；若每粒，正好分完；若每人分人分1616粒，则有粒，则有3 3个小朋友分不到糖果。问：有多个小朋友分不到糖果。问：有多少粒糖果？少粒糖果？第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏16163 34848（粒），所以盈亏总额是（粒），所以盈亏总额是0 048=4848=48（粒），而两次分配数之差是（粒），而两次分配数之差是16-1016-106 6（粒）。由（粒）。由盈亏问题的公式得盈亏问题的公式得有小朋友（有小朋友（0 016163 3）（）（16-10
9、16-10）8 8（人），（人），有糖有糖10108 88080（粒）。（粒）。例例4 4：一批小朋友去买东西，若每人出一批小朋友去买东西，若每人出1010元则多元则多8 8元；元；若每人出若每人出7 7元则少元则少4 4元。问：有多少个小朋友？东西元。问：有多少个小朋友？东西的价格是多少？的价格是多少？两种购物方案的盈亏总额是两种购物方案的盈亏总额是8 84 41212（元），（元），两次分配数之差是两次分配数之差是10-710-73 3（元）。由公式得到（元）。由公式得到小朋友的人数（小朋友的人数（8 84 4）（）（10-710-7）4 4（人），（人），东西的价格是东西的价格是1010
10、4-84-83232（元）。（元）。例例5 5：顾老师到新华书店去买书，若买顾老师到新华书店去买书，若买5 5本则多本则多3 3元；元；若买若买7 7本则少本则少1.81.8元。这本书的单价是多少？顾老师元。这本书的单价是多少？顾老师共带了多少元钱？共带了多少元钱？买买5 5本多本多3 3元，买元，买7 7本少本少1.81.8元。盈亏总额为元。盈亏总额为3 31.8=4.81.8=4.8（元），这（元），这4.84.8元刚好可以买元刚好可以买7-57-52 2（本）（本）书，因此每本书书，因此每本书4.84.82=2.42=2.4（元），顾老师共带钱（元），顾老师共带钱 2.4 2.45 53
11、 31515（元）。（元）。例例6 6：王老师去买儿童小提琴，若买王老师去买儿童小提琴，若买7 7把，则所带的钱把，则所带的钱差差110110元；若买元；若买5 5把，则所带的钱还差把，则所带的钱还差3030元。问：儿元。问：儿童小提琴多少钱一把？王老师带了多少钱？童小提琴多少钱一把？王老师带了多少钱？本题在购物的两个方案中，每一个方案都出本题在购物的两个方案中，每一个方案都出现钱不足的情况，买现钱不足的情况，买7 7把小提琴差把小提琴差110110元，买元，买5 5把小提琴差把小提琴差3030元。从买元。从买7 7把变成买把变成买5 5把，少买把，少买了了7-5=27-5=2（把）提琴，而钱
12、的差额减少了（把）提琴，而钱的差额减少了110-30110-308080（元），即（元），即8080元钱可以买元钱可以买2 2把小把小提琴，可见小提琴的单价为每把提琴，可见小提琴的单价为每把4040元钱。元钱。解：（解：（110-30110-30）（）（7-57-5）4040（元），（元），40407-1107-110170170（元）。（元）。答：小提琴答：小提琴4040元一把，王老师带了元一把，王老师带了170170元钱。元钱。例例7 7：某班学生去划船，如果增加一条船，某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐那么每条船正好坐6 6人；如果减少一条人；如果减少一条船，那么每条船就要
13、坐船，那么每条船就要坐9 9人。问：学生人。问：学生有多少人？有多少人？有些问题初看似乎不像盈亏问题，但将题目条件适当转化，就露出了盈亏问题的“真相”。本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条件加以转化。假设船数固定不变，题目的条件件加以转化。假设船数固定不变，题目的条件“如果如果增加一条船增加一条船”表示表示“如果每船坐如果每船坐6 6人，那么有人，那么有6 6人无人无船可坐船可坐”；“如果减少一条船如果减少一条船”表示表示“如果每船坐如果每船坐9 9人，那么就空出一条船人，那么就空出一条船”。这样，用盈亏问题来做，。这样，用盈亏问题来做，盈亏总额
14、为盈亏总额为6 69=159=15，两次分配的差为，两次分配的差为9-69-63 3。解：（解：（6 69 9）（）（9-69-6）5 5（条），（条），6 65 56=366=36（人）。（人）。答：有答：有3636名学生。名学生。例例8 8：少先队员植树，如果每人挖少先队员植树，如果每人挖5 5个坑，个坑，那么还有那么还有3 3个坑无人挖；如果其中个坑无人挖；如果其中2 2人各挖人各挖4 4个坑，其余每人挖个坑，其余每人挖6 6个坑，那么恰好将坑个坑，那么恰好将坑挖完。问：一共要挖几个坑？挖完。问：一共要挖几个坑？我们将我们将“其中其中2 2人各挖人各挖4 4个坑，其余每人挖个坑，其余每人
15、挖6 6个坑个坑”转化为转化为“每人都挖每人都挖6 6个坑，就多挖了个坑，就多挖了4 4个坑个坑”。这样就变。这样就变成了成了“典型典型”的盈亏问题。盈亏总额为的盈亏问题。盈亏总额为4 43 37 7（个）（个）坑，两次分配数之差为坑，两次分配数之差为6-56-51 1（个）坑。（个）坑。解：解：33（6-46-4）22（6-56-5）7 7（人）（人）5 57 73 33838（个）。（个）。答：一共要挖答：一共要挖3838个坑。个坑。例例9 9：在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余绳子对折垂到水面，则余8 8米；若把绳子三折米；若把绳子
16、三折垂到水面，则余垂到水面，则余2 2米。问：桥有多高？绳子有米。问：桥有多高？绳子有多长？多长？因为把绳子对折余因为把绳子对折余8 8米，所以是余了米，所以是余了8 82=162=16（米）；同样，把绳子三折余（米）；同样，把绳子三折余2 2米，就是余了米，就是余了3 32 26 6（米）。两种方案都是（米）。两种方案都是“盈盈”，故盈亏总，故盈亏总额为额为16-6=1016-6=10（米），两次分配数之差为（米），两次分配数之差为3-23-21 1（折），所以（折），所以桥高（桥高（8 82-22-23 3）（）（3-23-2）1010（米），（米），绳子的长度为绳子的长度为2 21010
17、8 82 23636（米）。（米）。例例1010：有若干个苹果和若干个梨。如果按每有若干个苹果和若干个梨。如果按每1 1个苹果配个苹果配2 2个梨分堆，那么梨分完时还剩个梨分堆，那么梨分完时还剩2 2个苹果；如果按每个苹果；如果按每3 3个苹果配个苹果配5 5个梨分堆，那么苹果分完时还剩个梨分堆，那么苹果分完时还剩1 1个梨。个梨。问：苹果和梨各有多少个？问：苹果和梨各有多少个？容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到。原因在于第一种方与两次分配数之差很难找到。原因在于第一种方案是案是1 1个苹果个苹果“搭配搭配”2 2个梨，第二
18、种方案是个梨，第二种方案是3 3个苹个苹果果“搭配搭配”5 5个梨。如果将这两种方案统一为个梨。如果将这两种方案统一为1 1个苹个苹果果“搭配搭配”若干个梨，那么问题就好解决了。将原若干个梨，那么问题就好解决了。将原题条件变为题条件变为“1 1个苹果搭配个苹果搭配2 2个梨，缺个梨，缺4 4个梨；个梨；1 1个个苹果搭配个梨，多一个梨苹果搭配个梨，多一个梨”，此时盈亏总额为，此时盈亏总额为4+1=54+1=5（个）梨，两次分（个）梨，两次分 配数之差为配数之差为2-=2-=（个）梨。所以（个）梨。所以 有苹果有苹果5 5=15=15（个）（个）有梨有梨15152-42-42626（个）（个）例
19、例1111：乐乐家去学校上学，每分钟走乐乐家去学校上学，每分钟走5050米，走了米，走了2 2分钟分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8 8分分钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走1010米，结果到达学校时离上课还有米，结果到达学校时离上课还有5 5分钟。问：乐乐家分钟。问：乐乐家离学校有多远？离学校有多远？乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走走5050米，则要迟到米，则要迟到8 8分钟，也就是到上课时间时，分钟，也就是到上课时间时，他离学校还有他离学校
20、还有50508 8400400（米）；若每分钟多走（米）；若每分钟多走1010米，即每分钟走米，即每分钟走6060米，则到达学校时离上课还米，则到达学校时离上课还有有5 5分钟，如果一直走到上课时间，那么他将多分钟，如果一直走到上课时间，那么他将多走（走（50501010）5 5300300（米）。所以盈亏总额，（米）。所以盈亏总额，即总的路程相差即总的路程相差400400300300700700（米）。（米）。两种走法每分钟相差两种走法每分钟相差1010米，因此所用时间为米，因此所用时间为70070010107070（分），（分），也就是说，从乐乐改变速度起到上课时间有也就是说，从乐乐改变速
21、度起到上课时间有7070分钟。所以乐乐家到学校的距离为分钟。所以乐乐家到学校的距离为5050（2 270708 8）40004000（米）（米）例例1212：王师傅加工一批零件，每天加工王师傅加工一批零件，每天加工2020个，可以提个，可以提前前1 1天完成。工作天完成。工作4 4天后，由于改进了技术，每天可天后，由于改进了技术，每天可多加工多加工5 5个，结果提前个，结果提前3 3天完成。问：这批零件有多天完成。问：这批零件有多少个？少个？每天加工每天加工2020个，如果一直加工到计划时间，个，如果一直加工到计划时间，那么将多加工那么将多加工2020个零件；改进技术后，如果一直个零件；改进技
22、术后，如果一直加工到计划时间，那么将多加工（加工到计划时间，那么将多加工（20205 5）3 37575（个）。盈亏总额为（个）。盈亏总额为75-2075-205555（个）。两种（个）。两种加工的速度比较，每天相差加工的速度比较，每天相差5 5个。个。根据盈亏问题的公式，从改进技术时到计划根据盈亏问题的公式，从改进技术时到计划完工的时间是完工的时间是55555 51111（天），计划时间为（天），计划时间为11114 41515（天），这批零件共有：（天），这批零件共有：20 20（15-115-1）280280（个）（个）1 1小朋友分糖果，每人小朋友分糖果，每人3 3粒，余粒，余3030
23、粒；每人粒；每人5 5粒，粒，少少4 4粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖？粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖？2 2一个汽车队运输一批货物，如果每辆汽车运一个汽车队运输一批货物，如果每辆汽车运35003500千克，那么货物还剩下千克，那么货物还剩下50005000千克；如果每辆汽千克；如果每辆汽车运车运40004000千克，那么货物还剩下千克，那么货物还剩下500500千克。问：这个千克。问：这个汽车队有多少辆汽车？要运的货物有多少千克？汽车队有多少辆汽车？要运的货物有多少千克？3 3学校买来一批图书。若每人发学校买来一批图书。若每人发9 9本，则少本，则少2525本；若每人发本；若每人发6 6
24、本，则少本，则少7 7本。问：有多少个学生？本。问：有多少个学生？买了多少本图书？买了多少本图书？4 4参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔。如果每人分笔。如果每人分4 4支，那么多支，那么多1212支；如果每人分支；如果每人分8 8支，支，那么恰有那么恰有1 1人没分到笔。问：有多少同学？多少支彩人没分到笔。问：有多少同学？多少支彩色笔？色笔？5 5红星小学去春游。如果每辆车坐红星小学去春游。如果每辆车坐6060人，那么人，那么有有1515人上不了车；如果每辆车多坐人上不了车；如果每辆车多坐5 5人，那么恰好多人，那么恰好多出一辆车。问：有多少辆车？
25、多少个学生？出一辆车。问：有多少辆车？多少个学生？6 6某数的某数的8 8倍减去倍减去153153，比其，比其5 5倍多倍多6666，求这个，求这个数。数。7 7某厂运来一批煤，如果每天烧某厂运来一批煤，如果每天烧15001500千克，那么千克，那么比原计划提前一天烧完；如果每天烧比原计划提前一天烧完；如果每天烧10001000千克，那么千克，那么将比原计划多用一天。现在要求按原计划烧完，那么将比原计划多用一天。现在要求按原计划烧完，那么每天应烧煤多少千克？每天应烧煤多少千克？8 8同学们为学校搬砖，每人搬同学们为学校搬砖，每人搬1818块，还余块，还余2 2块；块；每人搬每人搬2020块，就
26、有一位同学没砖可搬。问：共有砖多块，就有一位同学没砖可搬。问：共有砖多少块？少块？9.9.筑路队计划每天筑路筑路队计划每天筑路720720米，实际每天比原计划米，实际每天比原计划多筑多筑8080米，这样在完成规定任务的前三天，就只剩下米，这样在完成规定任务的前三天，就只剩下11601160米未筑。问：这条路共有多长？米未筑。问：这条路共有多长？10.10.小红家买来一篮桔子，分给全家人。如果其中小红家买来一篮桔子，分给全家人。如果其中二人每人分二人每人分4 4只，其余每人分只，其余每人分2 2只，那么多出只，那么多出4 4只；如只；如果一人分果一人分6 6只，其余每人分只，其余每人分4 4只，
27、那么缺只，那么缺1212只。问：小只。问：小红家买来多少只桔子？小红家共有几人？红家买来多少只桔子？小红家共有几人？11.11.小李去买肉，如果买牛肉小李去买肉，如果买牛肉1818千克，那么差千克，那么差4 4元；如果买猪肉元；如果买猪肉2020千克，那么多千克，那么多2 2元。已知牛肉、猪元。已知牛肉、猪肉每千克差价肉每千克差价8 8角，求牛肉、猪肉每千克各多少钱。角，求牛肉、猪肉每千克各多少钱。12.12.李老师给小朋友分苹果和桔子，苹果是桔子李老师给小朋友分苹果和桔子，苹果是桔子的的2 2倍。桔子每人分倍。桔子每人分3 3个，多个，多4 4个；苹果每人分个；苹果每人分7 7个，少个，少5 5个。问：有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？个。问：有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？
