1、1.1 1.1 消元法解线性方程组及其矩阵表示消元法解线性方程组及其矩阵表示一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组二二、用矩阵表示消元的过程用矩阵表示消元的过程三三、线性方程组、线性方程组解的情况解的情况例例1 解解二二元线性方程组元线性方程组解解:用高斯消元法用高斯消元法 （1.1）（1.2）（1.1）3（1.2）（1.3）一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组及几何意义及几何意义023yxyx +2633yyx23yyx（1.3）（1.4）21yx-二元线性方程组解的几何解释二元线性方程组解的几何解释从行图像来看，从行图像来看，两直线交点（两直线交点（x=1，y=2）就为）就为
2、方程组的解。方程组的解。从列图像来看，方程组可表示为向量形式：从列图像来看，方程组可表示为向量形式：301112yx列向量的线性组合列向量的线性组合当当x=1，y=2时，时，可表示为可表示为 和和 的线性组合。的线性组合。301211 当左侧向量当左侧向量1、2 不共线不共线，其所有的组合生成了整其所有的组合生成了整个平面。故对于所有的右侧向量个平面。故对于所有的右侧向量b，都可找到唯一的，都可找到唯一的x、y，使得组合成立，即线性方程组有唯一解。使得组合成立，即线性方程组有唯一解。当左侧向量当左侧向量1、2共线共线，线性方程组有无穷多个解或线性方程组有无穷多个解或无解。无解。思考：是否所有二
3、维向量方程思考：是否所有二维向量方程 x1+y2=b，都能找出，都能找出相应的相应的x、y，使得方程成立？使得方程成立？例例2 解三元线性方程组解三元线性方程组,426221283zyxzyxzyx解解:用高斯消元法用高斯消元法 （1.1）,426128322zyxzyxzyx （1.2）（1.1）-3 -（1.2）,2462222zyzyzyx （1.3）（1.3）-2,10562222zzyzyx（1.4）行阶梯形方程组行阶梯形方程组,2142zyyx回代易得回代易得,212zyx（1.5）+-（1.6）（1.7）-2（1.4）25,2322zzyzyx（1.5）（1.6）三元线性方程组解
4、的几何解释三元线性方程组解的几何解释从行图像来看，从行图像来看，三个平面的交点三个平面的交点（x=2，y=1，z=-2）就为）就为方程组的解方程组的解。从列图像来看，方程组可表示为向量形式：从列图像来看，方程组可表示为向量形式：4212211628113zyx列向量的线性组合列向量的线性组合当当x=2，y=1，z=-2时，时，可表示为可表示为 的线性组合。的线性组合。4212211628113和、思考：是否所有三维向量方程思考：是否所有三维向量方程 x1+y2+z3=b，都能，都能找出相应的找出相应的x、y、z，使得方程成立？使得方程成立？当左侧向量当左侧向量1、2、3不共面不共面，其所有的组
5、合生成其所有的组合生成了整个三维空间。故对于所有的右侧向量了整个三维空间。故对于所有的右侧向量b，都可找到，都可找到唯一的唯一的x、y、z，使得组合成立，即线性方程组有唯一使得组合成立，即线性方程组有唯一解。解。当左侧向量当左侧向量1、2、3共面共面，线性方程组有无穷多线性方程组有无穷多个解或无解。个解或无解。右侧向量右侧向量b在其平面内，线性方程组有无穷多个解。在其平面内，线性方程组有无穷多个解。右侧向量右侧向量b不在其平面内，线性方程组无解。不在其平面内，线性方程组无解。回顾上述化简消元的过程，我们发现只对方程组进行回顾上述化简消元的过程，我们发现只对方程组进行了三种变换：了三种变换：（1
6、）交换两个方程的次序；）交换两个方程的次序；（2）用非零数乘以某个方程；）用非零数乘以某个方程；（3）用一个数乘某个方程后加到另一个方程上。）用一个数乘某个方程后加到另一个方程上。这三个变换称为初等变换。这三个变换称为初等变换。而且只对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量、而且只对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量、+、=没有变化，故省去。那求解的过程可用没有变化，故省去。那求解的过程可用相应的数表表示出来：相应的数表表示出来：二二、用矩阵表示消元的过程用矩阵表示消元的过程同理，我们只对数表进行了三种变换：同理，我们只对数表进行了三种变换：（1）交换两行次序；记为）交换两行次序；记为ri
7、rj（行交换）（行交换）（2）用非零数乘以某行；记为）用非零数乘以某行；记为kri（行倍乘）（行倍乘）（3）用第）用第j行的行的k倍加到第倍加到第i行上。记为行上。记为ri+krj（行倍加）（行倍加）这三个变换称为初等行变换。这三个变换称为初等行变换。42612121121834261121832121增广矩阵增广矩阵系数矩阵系数矩阵 r2-3r1 r3-r1 r1r2 例例2 用矩阵表示求用矩阵表示求解三元线性方程组解三元线性方程组：2140622021211050062202121r3-2r2行阶梯形行阶梯形矩阵：矩阵：下方元素均下方元素均为零，为零，每个台阶只每个台阶只有一行，竖线有一行
8、，竖线后第一个数为后第一个数为非零。非零。210031102121r22r35 r2+r3 r1-r321001010402121,2321xxx,有唯一有唯一解解r1-2r2210010102001 单位矩阵单位矩阵E解向量解向量备注：备注：1）增广矩阵（）增广矩阵（A,b）只能进行初等行变换。）只能进行初等行变换。2）增广矩阵）增广矩阵 ,即可得到解即可得到解X，XEbA,初等行变换但实际上，矩阵行变换到但实际上，矩阵行变换到行阶梯形行阶梯形矩阵可更快速求出矩阵可更快速求出解。解。3）解齐次线性方程组，只需对系数矩阵）解齐次线性方程组，只需对系数矩阵A进行初等行进行初等行变换即可。变换即可
9、。线性方程组解一共有三种情况：有唯一解，无穷个解，线性方程组解一共有三种情况：有唯一解，无穷个解，无解。无解。三三、线性方程组、线性方程组解的情况解的情况例例2 求求解线性方程组解线性方程组.979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx,解解:将增广矩阵初等行变换：将增广矩阵初等行变换：9796342264412112111297963211322111241211 32121rrr 14133232rrrrrr34330635500222041211 24232352rrrrr3100062000011104121134rr0000062000
10、0111041211得，得，0033443231xxxxx3有效方程有效方程4个未知数，个未知数，故有故有无穷多个解无穷多个解令令 x3=任意值任意值c，得，得3344321xcxcxcx00000620000111041211主元：每行第一个主元：每行第一个非零元素非零元素x1 x2 x4非自由未知量非自由未知量 x3 自由未知量自由未知量如何求出所有的解呢？如何求出所有的解呢？例例3 求求解解齐次齐次线性方程组线性方程组.0793083032054321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx,解解:将系数矩阵初等行变换：将系数矩阵初等行变换：793118133211151
11、1A814404720472015111214133rrrrrr000000004720151123242rrrr得，得，0472054324321xxxxxxx主元主元令令 x3=c1，x4=c2，（c1，c2为任意常数），得为任意常数），得241321221122723cxcxccxccx例例4 求求解线性方程组解线性方程组.321412343243214321xxxxxxxxxxx,解解:将增广矩阵初等行变换：将增广矩阵初等行变换：311201141112311311202112012311 12rr23rr100002112012311得得.10221234324321,xxxxxxx
12、故方程组无解。故方程组无解。例例5 当当a为何值时，下列为何值时，下列解线性方程组解线性方程组有唯一解有唯一解?无解？无解？无穷多解？无穷多解？.233321321321321xaxxaxxxxxx,2313321111aa13122rrrr 解解:将增广矩阵初等行变换：将增广矩阵初等行变换：141012101111aa总结：总结：当有效方程个数当有效方程个数=未知量个数时，有唯一解；未知量个数时，有唯一解；当有效方程个数当有效方程个数 未知量个数时，有无穷个解；未知量个数时，有无穷个解；当出现类似方程当出现类似方程 0=1时，时，无解无解有唯一解有唯一解32032-aaaa且即当02032aaa当2a即有无穷个解有无穷个解02032aaa当3a即无解无解注：注：此变换是错的此变换是错的132arr231 rar aaaa2320012101111
