1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011一、齐次线性方程组有解的条件一、齐次线性方程组有解的条件二、齐次线性方程组解的性质二、齐次线性方程组解的性质三、基础解系及其求法三、基础解系及其求法1 1一、一、齐次线性方程组有解的条件齐次线性方程组有解的条件 .01nARxAnnm 矩矩阵阵的的秩秩的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有非非零零解解元元齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理证证必要性必要性.(),nDnAnAR阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个则在则在设设=(),根据克拉默定理根据克拉默定理个方程只有零解个方程只有零解所对应的所对应的
2、nDn从而从而有非零解，有非零解，设方程组设方程组0 Ax2这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾，.nAR 即即不不能能成成立立nAR)(充分性充分性.,nrAR 设设.个自由未知量个自由未知量从而知其有从而知其有rn-任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解.个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含则则rA3定理定理2 2：齐次线性方程组齐次线性方程组 只有零解只有零解110m nnmAx r An推论：推论：齐次线性方程组齐次线性方程组 只有零解只有零解110n nnn
3、Ax r An即即0,A 即即系数矩阵系数矩阵A可逆。可逆。4解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若记若记（1）二、齐次线性方程组解的性质二、齐次线性方程组解的性质5,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21则上述方程组（则上述方程组（1）可写成向量方程）可写成向量方程0.(2)Ax 1212111nnx,x,x 若若为方程为方程 的的0 Ax解，则解，则6 121111nx 称为方程组称为方程组(1)的的解向量解向量，它也就是向量方程，它
4、也就是向量方程(2)的解的解7齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 21 x,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解.证明证明 02121 AAA0021 A,A.Axx的解的解也是也是故故021 8（2 2）若）若 为为 的解，的解，为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax证明证明 .kkAkA0011 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因
5、此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的的解空间解空间0 Ax证毕证毕.9如果如果解系解系的基础的基础称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组,0,21 Axt 12(1),0;tAx L L线线性性无无关关是是的的一一组组的的解解.,0)2(21出出线性表线性表的任一解都可由的任一解都可由tAx 基础解系的定义基础解系的定义三、基础解系及其求法三、基础解系及其求法1012 ,0,0tAxAx L L如如果果为为齐齐次次线线性性方方程程组组的的一一组组基基础础解解系系通通解解那那么么的的可可表表示示为为1122ttxkkkL L12,.tk kkL L其其中中是是任任意意常常数
6、数11线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法111110010000,n rrr n rbbbbA-设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关r于是于是 可化为可化为AAA1200000100121,1,111 -nrnrrrnxxxbbbb -nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx11111110 Ax13现对现对 取下列取下列 组数：组数：nrx,x1 rn-nrrxxx21 -nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx1111111分别代入分别代入.,100,010,00114依次得依次得
7、 rxx1,bbr -0011111,0102122 -rbb.bbrn,rrn,rn -1001 从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：rn-.bb,rn,rrn,-1,bbr -212,bbr -111,15下面证明下面证明 是齐次线性方程组解空是齐次线性方程组解空间的一个基间的一个基rn,-21 100,010,001由于由于 个个 维向量维向量rn-rn-线性无关，线性无关，所以所以 个个 维向量维向量 亦线性无关亦线性无关.rn-nrn,-2112(1),.n r -L L证证明明线线性性无无关关16.,2)(21线线性性表表示示可可由由证证明明解解空空间间的的任任一一解
8、解都都rn-.11方程组的一个解方程组的一个解为上述为上述设设Tnrrx ,rn的的线线性性组组合合再再作作-21rnnrr-2211由于由于 是是 的解的解 故故 也是也是 的的解解.rn,-210 Ax 0 Ax,.下面来证明下面来证明17 -0011111rrbb -0102122rrbb -1001rn,rrn,nbb rnnrr-2211 nrrrcc 211,Ax的的解解都都是是方方程程与与由由于于0 又又等等价价于于而而0 Ax18 -nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx,11,11111,都都是是此此方方程程组组的的解解与与所所以以 nrrrcc 211 nrrr 211
9、由由.c,crr 11方程组方程组19.故故.rnnrr-2211即即 所以所以 是齐次线性方程组解空间的一个基是齐次线性方程组解空间的一个基.rn,-1说明说明解空间的基不是唯一的解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的解空间的基又称为方程组的基础解系基础解系.kkkxrnrn-2211若若 是是 的基础解系，则的基础解系，则其其通解通解为为 rn,-210 Ax.,21是任意常数是任意常数其中其中rnkkk-20 Asr,n-r.Anrn设设 是是型型矩矩阵阵，则则齐齐次次线线性性方方程程组组AX=0AX=0存存在在基基础础解解系系，且且基基定定理理3 3础础解解系系含含个个解解向向量
10、量说明：上述说明：上述求解齐次线性方程组的步骤求解齐次线性方程组的步骤实际上实际上就是就是定理的证明过程定理的证明过程.21例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 -0377,02352,0432143214321xxxxxxxxxxxx的的基础解系与通解基础解系与通解.解解,0000747510737201137723521111 -A对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有A22 .7475,7372432431xxxxxx 便得便得,100143 及及令令xx,7473757221 及及对应有对应有xx,107473,01757221
11、即得基础解系即得基础解系23).,(,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到通解24例例2 2).()(ARAART 证明证明证证.,维列向量维列向量为为矩阵矩阵为为设设nxnmA;0)(,0)(,0 xAAAxAAxxTT即即则有则有满足满足若若 .0,0)()(,0)(,0)(AxAxAxxAAxxAAxTTTT从从而而推推知知即即则则满满足足若若 ,0)(0同同解解与与综综上上可可知知方方程程组组 xAAAxT).()(ARAART 因此因此25 AX=0Ar,()0n-r()0n-r+1n-rrni AXii AX A A设设齐齐次次线线性
12、性方方程程组组的的系系数数矩矩阵阵 为为snsn型型，若若则则的的每每一一个个基基础础解解系系都都含含有有个个解解；的的任任意意个个解解向向量量线线性性相相关关；(iii)AX=0(iii)AX=0的的任任意意个个线线性性无无关关的的解解都都是是一一个个基基推推论论1 1础础解解系系.12,AX=0n rXXX-设设(I)(I)为为的的一一.证证个个基基础础解解系系12(),AX=0(I)(II)t=n-r;ti 设设(II)(II)为为的的任任意意一一个个基基础础解解系系，则则与与解解线线性性无无关关且且可可以以相相互互线线性性表表示示，故故26()AX=0(I);ii的的任任意意n-r+1
13、n-r+1个个解解可可由由含含n-rn-r个个向向量量的的线线性性表表示示，故故线线性性相相关关1212(),AX=0AX=0,(III)AX=0.n rn riii -设设(III)(III)为为的的任任意意线线性性无无关关的的解解，为为的的任任意意解解，则则，线线性性相相关关，于于是是 可可由由线线性性表表示示，故故(III)(III)为为的的一一个个基基础础解解系系AX=0AX=0.此此外外，与与一一个个基基础础解解系系等等价价的的任任意意线线性性无无关关向向量量组组也也是是的的基基础础解解系系27 AsBnA0,.AnmBrnB B设设 为为型型矩矩阵阵，为为型型，则则 r r例例3
14、3 n-rAX=0.A:是是齐齐次次线线性性方方程程组组的的基基础础解解系系所所含含向向量量个个数数，故故可可考考虑虑利利用用齐齐次次线线性性方方程程组组的的解解的的分分问问题题来来证证明明析析 s ms m B0,00,00 12m12m对对 和和矩矩阵阵进进行行列列分分块块B=B=解解AB=0,由由利利用用分分块块矩矩阵阵得得乘乘法法得得：A12m12m AAA 12m12m 000,28 A0(1,2,).jjm 这这就就有有12,AX=0m于于是是为为的的解解.B rAX=0B=0,r0;AAnnr-若若，则则只只有有零零解解，故故显显然然1212121212r,AX=0,.An rm
15、n rmn rArnXXXXXXrank XXXnr-B B若若则则有有基基础础解解系系于于是是可可由由线线性性表表示示，则则 r=rank r=rank 29*(2),(),()1,()1,0,()1.Ann R AnR AR AnR An -例例4 4设设 为为阶阶方方阵阵，证证明明：(1)(),R AnA 证证明明：若若则则 是是一一个个满满秩秩矩矩阵阵，*|0|AAAA AA E即即。又又，所所以以*|nAAA EAAA*1*|0nAAA-，所所以以也也为为满满秩秩矩矩阵阵，*()R An 即即是是。30*(2)()110()0.R AnnAAR A-若若，则则知知所所有有的的阶阶子子式式全全部部为为零零，所所以以 的的余余子子式式也也为为零零，从从而而，也也即即*(3)()1|0,|0,R AnAAAA E-若若，则则可可知知 所所以以 *()()()1R AR AnR A 根根据据前前面面的的例例题题可可知知，所所以以 。*()0,1.()1.R AAnR A-但但因因为为 中中至至少少有有一一个个阶阶子子式式不不为为零零故故31
