1、第四章函数的应用第四章函数的应用第一节一元二次方程与二次函数第一节一元二次方程与二次函数备考方向明确备考方向明确 方向比努力更重要方向比努力更重要复习目标复习目标学法指导学法指导1.1.理解并掌握二次函数的图象及性质理解并掌握二次函数的图象及性质.2.2.能用二次函数、一元二次方程、一元能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题二次不等式之间的关系解决简单问题.在研究一元二次方程根的分布问题在研究一元二次方程根的分布问题时时,常借助于二次函数的图象来解常借助于二次函数的图象来解.一般从四个方面分析一般从四个方面分析:开口方向开口方向;对称轴位置对称轴位置;判别式判别式;端
2、点端点函数值符号函数值符号.知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来一、一元二次方程一、一元二次方程1.1.一元二次方程的定义一元二次方程的定义含有未知数含有未知数x,x,并且并且x x的最高次数是二次的等式的最高次数是二次的等式axax2 2+bx+c=0(a0),+bx+c=0(a0),称为关于称为关于x x的一元二次方程的一元二次方程.2.2.一元二次方程的根一元二次方程的根网络构建网络构建242bbaca 相等相等(3)(3)当当00)+bx+c(a0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系00=0=000)(a0)的图象的图象与与x x轴的交点轴的交点(x(x1
3、1,0),(x,0),(x2 2,0),0)(x(x1 1,0),0)无交点无交点零点的个数零点的个数2 21 10 0拓展空间拓展空间1.1.概念理解概念理解二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的零点即函数图象与的零点即函数图象与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标,也是方程也是方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的根的根.因此关于函数零点或方程根的问题因此关于函数零点或方程根的问题,可同时从方程的可同时从方程的判别式、根与系数的关系及函数的图象特征几个方面入手判别式、根与系数的关系及函数的图象特征几个方面入手.2.2.一元二次方
4、程根的分布与方程系数的关系一元二次方程根的分布与方程系数的关系(以开口向上为例以开口向上为例)一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)根的分布也即函数根的分布也即函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)零点所在零点所在的区间的区间,这类问题常借助函数这类问题常借助函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象来解的图象来解.一般从四个方面分一般从四个方面分析析:开口方向开口方向;对称轴位置对称轴位置;判别式判别式;区间端点的函数值区间端点的函数值.常见类型列表如下常见类型列表如下:C C温故知新温故知新B B
5、2.2.设设f(x)=1-(x-a)(x-b)(ab),m,nf(x)=1-(x-a)(x-b)(ab),m,n为为y=f(x)y=f(x)的两个零点的两个零点,且且mn,mn,则则a,b,m,na,b,m,n的的大小关系是大小关系是()(A)amnb(A)amnb(B)mabn(B)mabn(C)abmn(C)abmn(D)mnab(D)mnab解析解析:由题意得由题意得a,ba,b是函数是函数g(x)=(x-a)(x-b)g(x)=(x-a)(x-b)的两个零点的两个零点,而而m,nm,n相当于相当于y=g(x)y=g(x)与与y=1y=1的两交点的横坐标的两交点的横坐标,二次函数二次函数
6、g(x)=(x-a)(x-b)g(x)=(x-a)(x-b)开口向上开口向上,故故a,b,m,na,b,m,n的大小的大小关系是关系是mabn.mab0,+20,故无论故无论m m取什么实数取什么实数,这个方程总有两个相异实数根这个方程总有两个相异实数根.(2)(2)若这个方程的两个实数根若这个方程的两个实数根x x1 1,x,x2 2满足满足|x|x2 2|=|x|=|x1 1|+2,|+2,求求m m的值及相应的的值及相应的x x1 1,x,x2 2.若若x x1 10,x0,x2 20,0,则则-x-x2 2=x=x1 1+2,+2,所以所以x x1 1+x+x2 2=-2,=-2,所以
7、所以m-2=-2,m-2=-2,所以所以m=0.m=0.此时此时,方程为方程为x x2 2+2x=0,+2x=0,所以所以x x1 1=0,x=0,x2 2=-2.=-2.反思归纳反思归纳 求解一元二次方程首先考虑因式分解求解一元二次方程首先考虑因式分解,然后可用求根公式然后可用求根公式.若方若方程系数中含有参数程系数中含有参数,要注意利用要注意利用判定根的个数判定根的个数.迁移训练迁移训练A A 考点二一元二次方程根的分布考点二一元二次方程根的分布【例例2 2】关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2-2ax+a+2=0,-2ax+a+2=0,当当a a为何实数时为何实数时,(
8、1)(1)有两不同正根有两不同正根;(2)(2)不同两根在不同两根在(1,3)(1,3)之间之间;(3)(3)有一根大于有一根大于2,2,另一根小于另一根小于2;2;(3)(3)由已知条件由已知条件f(2)0,f(2)2.a2.(4)(4)在在(1,3)(1,3)内有且只有一解内有且只有一解.反思归纳反思归纳 解决一元二次方程的根的特殊分布问题可借助于相应的一元二解决一元二次方程的根的特殊分布问题可借助于相应的一元二次函数图象次函数图象,从开口方向、对称轴、根的正负等角度列举不等关系从开口方向、对称轴、根的正负等角度列举不等关系,综合求解综合求解.迁移训练迁移训练1.1.若方程若方程x x2
9、2+(m+2)x+m+5=0+(m+2)x+m+5=0只有负根只有负根,则则m m的取值范围是的取值范围是.答案答案:4,+)4,+)考点三二次函数的零点问题考点三二次函数的零点问题【例例3 3】已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数,当当x0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-3x,-3x,求函数求函数g(x)=g(x)=f(x)-x+3f(x)-x+3的零点的零点.反思归纳反思归纳 (1)(1)判断二次函数判断二次函数f(x)f(x)的零点个数也即判断一元二次方程的零点个数也即判断一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的实根个数的实根个数,一般由判别式一般由判别式0,=0,0,=0,mxm时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-2mx+4m=(x-m)-2mx+4m=(x-m)2 2+4m-m+4m-m2 2;使得关于使得关于x x的方程的方程f(x)=bf(x)=b有三个不同的根有三个不同的根,只要只要4m-m4m-m2 2m3.m3.答案答案:(3,+)(3,+)点击进入点击进入 课时训练课时训练
