1、12.4 隐函数及由参数方程所确隐函数及由参数方程所确定的函数的导数定的函数的导数 相关变化率相关变化率隐函数的导数隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率相关变化率小结小结 思考题思考题 作业作业2定义定义由二元方程由二元方程)(xfy 0),(yxF)(xfy 1.隐函数的定义隐函数的定义)(xyy 所确定的函数所确定的函数0),(yxF一、隐函数的导数一、隐函数的导数称为称为隐函数隐函数(implicit function).的形式称为的形式称为显函数显函数.隐函数的隐函数的013 yx可确定显函数可确定显函数;13xy 例例),10(sin yxy
2、开普勒方程开普勒方程开普勒开普勒(J.Kepler)1571-1630)1571-1630德国数学家德国数学家,天文学家天文学家.xy关于关于的隐函数客观存在的隐函数客观存在,但无法将但无法将yx表达成表达成的的显式显式表达式表达式.显化显化.32.隐函数求导法隐函数求导法隐函数求导法则隐函数求导法则 用用复合函数求导法则复合函数求导法则,并注意到其中并注意到其中将方程两边对将方程两边对x求导求导.变量变量y是是x的函数的函数.隐函数不易显化或不能显化隐函数不易显化或不能显化如何求导如何求导4例例1 1解解0 yxeexy设想把设想把.,00 xyxyyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确
3、定的隐函数求由方程求由方程则得恒等式则得恒等式代入方程代入方程,)(xyy 所确定的函数所确定的函数0 yxeexy将此恒等式两边同时对将此恒等式两边同时对x求导求导,得得xxy)(xxe)(xye)()0(因为因为y是是x的函数的函数,是是x的复合函数的复合函数,所以所以ye求导时要用复合函数求导法求导时要用复合函数求导法,yyx xe ye y 0 xeyeyyx 0,0 yx0 x0 y0 x0 y.1 5 虽然隐函数没解出来虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来但它的导数求出来了了,当然结果中仍含有变量当然结果中仍含有变量y.允许在允许在 的表达式中含有变量的表达式中含有变量y.y y
4、一般来说一般来说,隐函数隐函数求导求导,求求隐函数的导数时隐函数的导数时,只要记住只要记住x是自变量是自变量,将方程两边同时对将方程两边同时对x求导求导,就得到一个含有导数就得到一个含有导数从中解出即可从中解出即可.于是于是y的函数便是的函数便是x的复合函数的复合函数,的方程的方程.y是是x的函数的函数,6例例2 2解解,0sin yxey设设.xy 求求法一法一利用利用隐函数求导法隐函数求导法.将方程两边对将方程两边对x求导求导,得得ycosxy ye 1yex xy 0 yyxxeyey cos解出解出,xy 得得法二法二 从原方程中解出从原方程中解出,x得得 yeyxsinyeysin
5、7yeeyxyysinsin 先求先求x对对y的导数的导数,得得 yx)sin(cosyyey yeyysincos 再利用再利用反函数求导法则反函数求导法则,得得yxxy 1yyxeye coscossin)1(yeyeyy 8例例32222,lnarctandxyddxdyyxxy求求设设 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)(11122222 yxyxxyxy222222222221yxyyxyxxyxyyxx yyxyxy yxyxdxdy 9 yxyxdxddxyd222)()1)()(1(yxyyxyxy 2)(22yxyyx 3)()()(2yxyxyyxx 322)()(2
6、yxyx 10例例4 4.)1,0(,144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解得得求导求导方程两边对方程两边对,x34xy 得得求求导导,x212x.161 34y y yx y 0 y y yx yyy 21234y y 0)1,0(41 将上面方程两边再对将上面方程两边再对y )1,0(010101014141414111.)1,0(,144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 或解或解得得求导求导方程两边对方程两边对,x04433 yyyxyx解得解得xyxyy 3344得得求导求导两边再对两边再对将将,4433xxyxyy yy )4(3xy )12(2xy )4(3xy
7、;41)1,0(y)1,0(.161 23)4(xy )112(2 yy12例例5 求证抛物线求证抛物线ayx 上任一点的切线上任一点的切线在两坐标轴上的截距之和等于在两坐标轴上的截距之和等于a证证求导得求导得两边对两边对方程方程xayx 02121 dxdyyxxydxdy 故曲线上任一点故曲线上任一点),(00yx处切线的斜率为处切线的斜率为0 xxdxdyk 00 xy 130 xxdxdyk 00 xy 切线方程为切线方程为)(0000 xxxyyy 000000 xyyxxyyx )(0000yxyx 00yxa 100 yayxax故在两坐标轴上的截距之和为故在两坐标轴上的截距之和
8、为)(0000yxayaxa aaa1414 解解 例例 例例 3 求椭圆191622yx在)323 ,2(处的切线方程 把椭圆方程的两边分别对把椭圆方程的两边分别对x求导求导 得得 所求的切线方程为所求的切线方程为 从而 yxy169 当 x2 时 43|2xyk )2(43323xy 即)2(43323xy 即03843 yx 当 x2 时 323y 代入上式得所求切线的斜率 323y 代入上式得所求切线的斜率 0928yyx 15016)(2 xxyexyyy由方程由方程已知函数已知函数 )0(y则则解解ye确定确定,y yx 6y6 x2 0 yexyxy 662 y)6(yex )6
9、2(y )6(yey )62(yx 2)6(yex 00,0 x00000 y000000000 y02 16.)()2()(xvxu幂指函数幂指函数3.对数求导法对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍介绍(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数许多因子相乘除、乘方、开方的函数.,)4(1)1(23xexxxy 如如对数求导法对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单求导变得更为简单.sinxxy 适用于适用于方方 法法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,-对数求导法对数求导法 然后利用隐函数的然后利用隐函数的
10、求导法求出导数求导法求出导数.17例例6 6解解 yln求导得求导得上式两边对上式两边对 xy1.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设142)1(3111 xxxy 等式两边取对数得等式两边取对数得 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx)1ln(xx)1ln(31 x)4ln(2 x 隐函数隐函数对这类型的题用取对数求导法很方便哦！18)(xu)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 两边对两边对x求导得求导得)(xf :幂指函数幂指函数)(xf)(xv)0)(xu等式两边取对数得等式两边取对数得)()
11、()(xuxuxv )(xf)(ln)(xuxv 19 对数求导法常用来求一些对数求导法常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数等的导数.20例例7 7解解.),0(sinyxxyx 求求设设xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 等式两边取对数得等式两边取对数得21例例8dxdyaxaxaxynanaa求求设设)()()(2121 解解两边取对数得两边取对数得)ln()ln()ln(ln2211nnaxaaxaaxay 两边对两边对
12、 x 求导得求导得nnaxaaxaaxayy 221112211nnaxaaxaaxayy 1121112()()naannnnaaaxaxaxaxaxa22注注复合函数复合函数)0)()()(xuxuyxv改写成改写成)(ln)(xuxvey .),0(sinyxxyx 求求如上例如上例),0(sin xxyx将将则则xxeylnsinxx ln(cos)sinxx 只要将只要将,lnsinxxey 改写成改写成幂指函数也可以利用对数性质化为幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导再求导,23有些显函数用对数求导法很方便有些显函数用对数求导法很方便.例如例如,)1,0,0(babaaxxbba
13、ybax两边取对数两边取对数 yln两边对两边对x求导求导 yybalnxa xbxabaaxxbbaybaxln baxln lnlnxbalnlnaxb xb 24.,1.12sinyxxyx 求求设设.,.2yyxxy 求求设设25.,1.12sinyxxyx 求求设设解答解答求导得求导得上式两边对上式两边对x)1ln(lnln2sinxxyx )1ln(lnsin2xxx 212sinlncosxxxxxxyy )12sinln(cos2xxxxxxyy 等式两边取对数等式两边取对数26.,.2yyxxy 求求设设解答解答,lnlnyxxy,lnlnyyxyxyxy .lnln22xx
14、xyyyxyy 27二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数 )()(tytx 若参数方程若参数方程如如 ,22tytx2xt 2ty42x xy21 t 称此为由称此为由参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数.22 x 消参数困难或无法消参数消参数困难或无法消参数 如何求导如何求导.消去参数消去参数,间的函数关系间的函数关系与与确定确定xy28,)(),(都都可可导导再再设设函函数数tytx xyddtydd)()(tt txtyxydddddd 即即,)()(中中在方程在方程 tytx 具有具有设函数设函数)(tx 所以所以,tyddxtdd),(1xt 单调连续
15、的单调连续的反函数反函数由由复合函数及反函数的求导法则复合函数及反函数的求导法则得得txdd1,0)(t 且且 y)(1x 29的星形线 323232ayx33cos (0,2)sinxattyat.ddxy求Oxytaa参数方程为 星形线是一种圆内摆线例例9 94dd小大30)cos()sin(dd33tataxyttattasincos3cossin322ttan),2(Znnt解解31例例1010解解txtyxydddddd ttcos1sin taatacossin 2cos12sindd2 txy.1.方程方程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin(ttayttax,
16、2时时当当 t 所求切线方程为所求切线方程为),12(ax.ay )12(axay)22(axy即即32,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()(容易漏掉容易漏掉)(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即3322()()tdyddydxd ydtdxdxdxd xdtdt记22()()()()ttd ytd xt或()()dydytdtdxdxtdt34如如:33ddxy注注求二阶导数不必死套公式求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义只要理解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理
17、这样对求更高阶的导数也容易处理.22ddddxyxtxydddd22 dtxtxyddddd22 xtdd 35例例1111解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxtxtyxydddddd)sin(cos3cossin322ttatta ttan )dd(dddd22xyxxy)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 36例例12.3222,11ydxydyxdxdytytx 证明证明设设证证dtdxdtdydxdy tt 121121tt 11yx )(22dxdydxddxyd)(yxdxd
18、2yyxy 2yyxy 322yyx 32y )2(22 yx37221()1ttd ytdxd xdt或33211112 12 12211(1)2 1tttttytt 38四、小结四、小结隐函数求导法则隐函数求导法则工具工具:复合函数复合函数链导法则链导法则;对数求导法对数求导法对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导按隐函数的求导法则求导.参数方程求导参数方程求导注意注意:变量变量y是是x的函数的函数.将方程两边对将方程两边对x求导求导.工具工具:复合函数复合函数链导法则链导法则、反函数的求导法则、反函数的求导法则.39思考与练习思考与练习求其反函数的导数求其反函数的导数.
19、,xexy1.1.设设)(xyy 由方程由方程eyxey确定确定 ,)0(y 求求.)0(y 2.设设3.,cossin11 23232yxxxxxy求设 4.已知已知 ，求，求32ttxeye 22d ydx2222arccotln(),ydy d yxyxdxdx5.设求40思考与练习思考与练习求其反函数的导数求其反函数的导数.,xexy解解:xyddyxdd方法方法1 11xe1yxe11方法方法2 2 等式两边同时对等式两边同时对 求导求导y1ddxyxeddxyyxddxe111.1.设设41)(xyy 由方程由方程eyxey确定确定 ,)0(y解解:方程两边对方程两边对 x x 求
20、导求导,得得0yxyyey再求导再求导,得得2yey yxey)(02 y当当0 x时时,1y故由故由 得得ey1)0(再代入再代入 得得21)0(ey 求求.)0(y 2.设设42.,cossin11 23232yxxxxxy求设运用取对数求导法两边关于 x 求导：xxxxxycosln2sinln3)1ln()1ln(ln32ln2解解xyy132x11212xxxxsincos3xxcossin2 3.43xxxxxy23232cossin11 tan2cot3121132 2xxxxxx整理得44 4.已知已知 ，求，求32ttxeye 22d ydx解：解：2(2)2(3)3(1)2
21、3tttttdydtedxdyeedxeedt22222232233222433(3)3(1)9tttttttdedydded ydxdtdxdxdxddteeeeex452222211()1yxyxxyyxx5.方程两边对 求导得2222112(22),21y xyxyxy yyxxyxyyx 23(12)(2)(2)(1 2)(2)(32)(2)(2)(6)(2)yxyxyyyxyxy xyxy xyxy 22arccotln()yxyx5.466、sincoscos,sinsin lncos,xxuxvxlnuxx令则两边对x求导得sin1sincos lncossincos(cos l
22、ncossintan)cos(cos lncossintan)xxuxxxuxuuxxxxxxxxx 6sincoscossin,xxyxxy设求47cossin(sin lnsincos cot)xvxxxxx 同理得sincossincos(cos)(sin)cos(cos lncossintan)sin(sin lnsincos cot)xxxxyxxxxxxxxxxxx练习练习 设设tanln(sin),xxxyxx求求.y1y2y提示提示:分别用对数微分法求分别用对数微分法求.,21yy答案答案:21yyy)1sinln(sec)(sin2tanxxxxln1xx1 2ln x49作
23、业作业习题习题2-4(1102-4(110页页)1.(2)(3)2.3.(1)(3)4.(1)(3)5.(2)6.7.(2)8.(3)(4)9.（2）50若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程)(rr 给出给出,利用利用因此曲线因此曲线 y sin)(r cos)(r cos)(r ddy ddx)(rr 切线的斜率为切线的斜率为 oAM r,cos)(rx sin)(ry sin)(r 可化为极角可化为极角 参数方程参数方程,补充补充51例例.42sin处处的的法法线线方方程程在在求求曲曲线线 ar解解 将曲线的极坐标方程转换成将曲线的极坐标方程转换成 cos)(rx cos2sina sin)(ry sin2sina)(为参数为参数 则曲线的切线斜率为则曲线的切线斜率为xydd cos2sinsin2cos2aa 1 所以法线斜率为所以法线斜率为又切点为又切点为 4 4 ,224ax ay224 sin2sincos2cos2aa 故法线方程为故法线方程为axay2222 即即0 yx,1参数方程参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助借助参数方程处理问题的方法参数方程处理问题的方法,在高等数学中将在高等数学中将多次遇到多次遇到.
