1、4.1.2 圆的一般方程（圆的一般方程（1）一一.复习回顾：圆的标准方程复习回顾：圆的标准方程xyOCM(x,y)222)()(rbyax圆心圆心C(a,b),),半径半径r特况：若圆心为特况：若圆心为O（0，0），），则圆的方程为则圆的方程为：222ryx标准方程标准方程02222222rbabyaxyxrbyax2)(2)(2想一想，若把圆的标准方程想一想，若把圆的标准方程展开后，会得出怎样的形式？展开后，会得出怎样的形式？得令FEbDarba222,2,2220DxEyFyx二二.引入新课：引入新课：结论：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式任何一个圆方程可以写成下面形式：x2 y 2D
2、xEyF0思考：是不是任何一个形如是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程都表方程都表 示的曲线是圆呢？示的曲线是圆呢？三三.讲授新课：讲授新课：220 xyDxEyF22224224DEDEFxy（1）当）当 时，时，2240DEF此方程表示此方程表示圆圆，,2ED圆心-22242DEFr（2）当）当 时，时，2240DEF此方程表示此方程表示点点,2ED-2（3）当）当 时，时，2240DEF此方程不此方程不表示任何图形表示任何图形所以形如所以形如 （D2+E2-4F0）可表示圆的方程可表示圆的方程220 xyDxEyF定义定义:圆的一般方程圆的一般方程0 04 4F FE E(
3、3 3)D D（2 2）没没有有x xy y项项的的系系数数相相同同，不不等等于于0 0与与y y（1 1）x x2 22 22 22 2：征圆的一般方程的结构特注意：.1x2 y 2DxEyF0（D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0）2.圆的圆的一般方程一般方程与与标准方程标准方程的关系：的关系：（1）a=-D/2，b=-E/2，r=FED42122 （2）标准方程标准方程易于看出易于看出圆心圆心与与半径半径 一般方程一般方程突出突出形式上形式上的特点的特点 例例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。如果是，请求
4、出圆的圆心及半径。注：让学生自己分析探求解决途径：注：让学生自己分析探求解决途径：、用配、用配方法将其变形化成圆的标准形式。方法将其变形化成圆的标准形式。、运用圆的一、运用圆的一般方程的判断方法求解。般方程的判断方法求解。22221 44412902 44412110 xyxyxyxy91,3,4DEF 而不是D=-4,E=12,F=9三三.例题分析例题分析022FEyDxCyBxyAx方程思考：什么时候可以表示什么时候可以表示圆圆?1、A C 0 2、B=03、D2E24AF0 二元二次方程二元二次方程表示圆的一般方程表示圆的一般方程结论：例例2：求过三点：求过三点O（0，0），），M1（1
5、，1），），M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。解：设所求的圆的方程为：022FEyDxyx02024020FEDFEDF8,6,0DEF 06822yxyx 新疆 学案 王新敞542122FEDr32,42FD即圆心坐标为（4，-3）,r=5 新疆 学案 王新敞 O（0，0），M1（1，1），M2（4，2)在圆上小节：小节：1.1.用待定系数法用待定系数法求圆的方程的步骤：求圆的方程的步骤：（）（）设圆方程设圆方程-根据题意设出所求圆的方程为标准式或一般式。根据题意设出所求圆的方程为标准式或一般式。（）（）列方程组列方程组-根据条
6、件列出关于根据条件列出关于a，b，r 或或 D，E，F 的方程。的方程。（）（）求系数求系数-解方程组，求出解方程组，求出a，b，r 或或 D，E，F 的值，代入方的值，代入方 程，就得到要求的方程程，就得到要求的方程（4）小结小结.2.求圆的方程时求圆的方程时,要学会根据题目条件要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式恰当选择圆的方程形式:若知道或涉及圆心和半径若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单我们一般采用圆的标准方程较简单.若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系我们常常采用圆的一般方程用待定系 数法求解数法求解.(特殊情况时特殊情况时
7、,可借助图象求解更简单可借助图象求解更简单)_,4),3,2(0)1(22FEDFEyDxyx则半径为的圆心为已知圆四四.巩固练习：巩固练习：4-6-3_,02)2(22的取值范围是则表示圆aayaxyx21,aRa（3）方程）方程x2+2xy+y2+x+y2=0表示的曲线（表示的曲线（）（A）两条相交直线）两条相交直线 （B）两条平行直线）两条平行直线 （C）不是圆也不是直线）不是圆也不是直线 （D）圆）圆B1.1.任何一个圆的方程都可以写任何一个圆的方程都可以写X X2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的的 形式，但是方程形式，但是方程X X2 2+y+y2 2+D
8、x+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆，的曲线不一定是圆，只有在只有在D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0时，方程表示圆心为时，方程表示圆心为 ，半径，半径为为 的圆。的圆。)2,2(EDFEDr42122五五.小结小结1.1.任何一个圆的方程都可以写任何一个圆的方程都可以写X X2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的的 形式，但是方程形式，但是方程X X2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆，的曲线不一定是圆，只有在只有在D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0时，方程表示圆心为时，方程表示圆心为 ，半径，半
9、径为为 的圆。的圆。)2,2(EDFEDr421222.求圆的方程常用方法及解题步骤：求圆的方程常用方法及解题步骤：几何方法几何方法 求圆心坐标求圆心坐标 （两条直线的交点两条直线的交点）（常用弦的（常用弦的中垂线中垂线）求半径求半径 （圆心到圆上一点的距离圆心到圆上一点的距离）写出圆的标准方程写出圆的标准方程待定系数法待定系数法22222()()0)xaybrxyDxEyF设方程为(或列关于列关于a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F）的方程组的方程组解出解出a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F），），写出标准方程（或一般方程）写出标准方程（或一般方程）练习：P
10、134 A3 解法解法1：（待定系数法）设所求圆的方程为：（待定系数法）设所求圆的方程为：222)()(rbyax 依题意，有依题意，有故所求圆的方程为故所求圆的方程为3.已知圆已知圆C的圆心在直线的圆心在直线 上，并上，并且经过原点和点且经过原点和点A（2，1），求圆的标准方程。），求圆的标准方程。012yx012ba222)0()0(rba222)1()2(rba2651102920abr 2029)101()56(22yxP134 A3圆心：两条直线的交点圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOCA(2,1),1)解法解法2：（几何法）（几何法）210201OA
11、k设设OA的中垂线的斜率为的中垂线的斜率为k1OAkk2k由中点公式，由中点公式，OA中点为中点为21,1OA 中垂线中垂线方程为中垂线中垂线方程为)1(221xy联立两条直线方程联立两条直线方程012)1(221yxxy10156yx2029|OCr半径10156，圆心所求圆的方程为所求圆的方程为2029)101()56(22yx4.1.2圆的一般方程（圆的一般方程（2）求轨迹方程问题求轨迹方程问题圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)一一.求轨迹方程问题：求轨迹方程问题：xyaP(x,y)P(x,y)是直线是直线a
12、a上任意一点上任意一点0AxByC点点P的坐标的坐标(x,y)满足的关系式满足的关系式CM(x,y)222)()(rbyaxM(x,y)是圆是圆C C上任意一点上任意一点点点M的坐标的坐标(x,y)满足的关系式满足的关系式求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标x，y所满足的关系所满足的关系.圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)例例1 1 已知线段已知线段ABAB的端点的端点B B的坐标是（的坐标是（4 4，3 3）,端点端点A A在圆在圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运
13、动，求线段上运动，求线段ABAB的的中点中点M M的轨迹方程的轨迹方程.yABMxo解决办法：主被动点法解决办法：主被动点法圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)22(1)4xy2200(1)4xy4321-1-2-3-4-224BMA 解解.设设M的坐标为的坐标为(x,y)A的坐标为的坐标为(x0,y0)0043,22xyxy因为因为M M是是ABAB的中点的中点即即0024,23xxyy又点又点A A在圆在圆上上代入得代入得2233()()122xy即即主动点主动点被动点被动点观看动画观看动画设主动点为设主动点为(x
14、0,y0)被动点为被动点为(x,y)所以所以M M的轨迹是以点的轨迹是以点 为圆心，为圆心，1 1为半径的圆为半径的圆3 3,2 2x0=f(x),y0=g(y)代入主动点方程代入主动点方程整理得轨迹方程整理得轨迹方程主被动点法主被动点法22(24 1)(23)4xy圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)P M A xoy圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)例例2 2：已知点已知点M与两定点与两定点O(0,0)、P(3,0)的距的距 离的比为离的
15、比为1/2，求点，求点M的轨迹方程。的轨迹方程。解决办法：直译法解决办法：直译法yx.O.（-1，0）A(3,0)M(x,y)22230 xyx圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)练习练习1.长为长为2a的线段的线段AB的两个端点的两个端点A和和B分别在分别在x轴和轴和y轴上滑动，求线段轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程的中点的轨迹方程关键关键:找到几何关系找到几何关系依题意有依题意有|OPa22xya222xya几何关系几何关系法法xyBP(x,y)OAAB中点轨迹为以原点为圆心，中点轨迹为以原点为圆心，a为半径的
16、圆为半径的圆 解：设点解：设点AB中点为中点为P（x，y）圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)练习练习2.已知已知P(2,0),Q(8,0)，点，点M到点到点P的距离是它到点的距离是它到点Q的的 距离的距离的1/5，求，求M的轨迹方程。的轨迹方程。，（并求轨迹上的点，（并求轨迹上的点 到直线到直线l:8x-y-1=0的最小距离）的最小距离）圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)练习练习3.已知圆的一条直径的两端点分别是已知圆的一条直径的两端点分别
17、是222(,)P xy111(,)P x y关键关键:找到几何关系找到几何关系解：设点解：设点M（x，y）为圆上任意一点）为圆上任意一点 12PMPM111(,)P x yC222(,)P xy圆的方程即圆的方程即M的轨迹方程的轨迹方程(,)M x y121kk 12121yyyyxxxx 1212()()()0 xxxxyyyy几何关系几何关系法法求证此圆的方程是求证此圆的方程是1212()()()0 xxxxyyyy圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)附加例附加例3 3 已知点已知点P P（5 5，3 3），点），
18、点M M在圆在圆x x2 2+y+y2 2-4x+2y+4=0-4x+2y+4=0 上运动，求上运动，求|PM|PM|的最大值和最小值的最大值和最小值.yCPMxoA AB B圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)1.若实数若实数x,y满足等式满足等式(x-2)2+y2=3，那么，那么 的最大值的最大值xy3.已知已知P(x,y)为圆为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点上的点 (1)求求 的最小值的最小值 (2)求求x2+y2的最大值与最小值的最大值与最小值xy4.已知圆已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问
19、：是否存在斜率为问：是否存在斜率为1的的 直线使直线使l被圆被圆C截得得弦截得得弦AB为直径的圆过原点，若存为直径的圆过原点，若存 在，写出直线方程。在，写出直线方程。附加练习题：附加练习题：.0142222距离的最大值的上的点到原点求圆Oyxyx.,0122822)0,3(.5线方程求弦所在的直且被圆截得的弦最短时那么过点内一点是圆已知PyxyxP圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)1.求轨迹方程思想：求出动点坐标求轨迹方程思想：求出动点坐标x，y所满足的关所满足的关系系.主被动点法主被动点法设主动点为设主动点为(x0,y0)从从动点为动点为(x,y)根据主、从动点的关系根据主、从动点的关系得得x0=f(x),y0=g(y)代入主动点方程代入主动点方程整理得轨迹方程整理得轨迹方程几何关系法几何关系法设动点的坐标为为设动点的坐标为为(x,y)找到几何关系找到几何关系用方程表示几何关系用方程表示几何关系整理得轨迹方程整理得轨迹方程小结：小结：2.求轨迹方程方法：求轨迹方程方法：圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)圆的一般方程教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)
