1、二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限2.22.2、2.32.3,)(xfy 对对0)1(xx 0)2(xx 0)3(xx x)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容:函数的极限及性质 三、函数的单侧极限三、函数的单侧极限四、函数极限的性质四、函数极限的性质.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限问问题题:函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中,对对应应函函数数
2、值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的过程的过程表示表示 xXx.0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.定义定义X .)(,0,0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim1、定义：、定义：xxysin 2、几何解释、几何解释:X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxA例
3、例1.证明证明:.01lim xx证证:01 xx1 取取,1 X,时时当当Xx 01x因此因此01lim xx就有就有故故,0 欲使欲使,01 x即即,1 xoxyxy1机动 目录 上页 下页 返回 结束.0,且且是是两两个个实实数数与与设设a).,(0 aU记作记作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 axxaxaxUa ),(xa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a0 ),(0 axxaU),(,aUaaxx记为记为邻域邻域的的称为点称为点数集数集=(a ,a+),(),(aaaa 邻邻 域域:二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有
4、限值时函数的极限问问题题:函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的过程的过程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 定义定义 .)(,0,0,00 Axfxx恒有恒有时时使当使当1、定义：、定义：2、几何解释、几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当
5、当 Ayxfyxx注意：注意：;)(.10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf.2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 例例2).(,lim0为常数为常数证明证明CCCxx 证证Axf)(CC ,成立成立 ,0 任给任给0.lim0CCxx,0 任取任取,00时时当当 xx例例3.limlim证明证明0 00 0 x xx xx xx x 证证,)(0 xxAxf ,0 任给任给,取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 例例4.211lim21 xxx证明证明证证211)(2
6、xxAxf,0 任给任给,只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)(Axf要使要使,2112 xx就有就有.211lim21 xxx三、函数的单侧极限三、函数的单侧极限:1、在有限点的左右情况、在有限点的左右情况 .1)(lim0,10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两两种种情情况况分分别别讨讨论论0 0和和0 0分分 x xx x,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近 00;0 xxx或或记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近 00;0 xxx或或记作记作yox1xy 112 xy 左极限与右极限左极限与右极限左极限左极限:)
7、(0 xfAxfxx )(lim0,0 ,0 当当),(00 xxx 时时,有有.)(Axf右极限右极限:)(0 xfAxfxx )(lim0,0 ,0 当当),(00 xxx时时,有有.)(Axf定理定理1:Axfxx)(lim0Axfxfxxxx )(lim)(lim00机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设函数设函数 0,10,00,1)(xxxxxxf讨论讨论 0 x时时)(xf的极限是否存在的极限是否存在.xyo11 xy11 xy解解:利用定理利用定理 3.因为因为)(lim0 xfx)1(lim0 xx1)(lim0 xfx)1(lim0 xx1显然显然,)0()0(ff
8、所以所以)(lim0 xfx不存在不存在.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6：证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x:.10情形情形x.)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xAxfx)(lim.)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx)(lim2、在无限远处的另两种情形、在无限远处的另两种情形:Axfx)(lim:2定定理理.)(lim)(l
9、imAxfAxfxx 且且四、函数极限的性质四、函数极限的性质1.有界性有界性2.唯一性唯一性推论推论).()(),(,0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有则则且且设设3.不等式性质不等式性质定理定理(保序性保序性).),()(),(,0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设).0)(0)(,),(,0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理定理3(3(保号性保号性).0(0),0)(0)(,),(,0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或
10、或则则或或时时当当且且若若推论推论4.子列收敛性子列收敛性 (函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系).)(),(,),(),(,)(.),(),(21000时时的的子子列列当当为为函函数数即即则则称称数数列列时时使使得得有有数数列列中中或或可可以以是是设设在在过过程程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定义定义.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 则有则有时的一个子列时的一个子列当当是是数列数列若若定理定理4证证.)(,0,0,00 Axfxx恒有恒有时时使当使当Axfxx)(lim0.0,0,00 xxNnNn恒有恒有时时使当使
11、当对上述对上述,)(Axfn从而有从而有.)(limAxfnn 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx,11sinlim nnn,11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在,且相等且相等.xy1sin 例例7：.1sinlim0不存在不存在证明证明xx证证 ,1 nxn取取,0lim nnx;0 nx且且 ,2141 nxn取取,0lim nnx;0 nx且且 nxnnnsinlim1
12、sinlim 而而,1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx,0 小结小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx;)(limAxfx;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(,0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n xxxNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx0
13、0 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(思考题思考题思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx,5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在,)(lim0 xfx,01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在,)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfx不存在不存在.思考与练习思考与练习1.若极限若极限)(lim0 xfxx存在存在,)()(lim00 xfxfxx 2.设函数设函数)(xf且且)(lim1xfx存在存在,则则.a3是否一定有是否一定有1,121,2 xxxxa？3.Let .11)(2xxxF(a)Find(i).11)(l
14、im21xxxFx(ii).11)(lim21xxxFx).(lim1xFx(b)Does exist?(c)Sketch the graph of F.01.01_131222 yzxzxxyx，必有，必有时，只要时，只要取取，问当，问当时，时，、当、当.001.0420_4212 yxxyx，必有，必有只要只要时，时，取取，问当，问当时，时，、当、当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义一、填空题一、填空题:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、练练 习习 题题.)(:0极极限限各各自自存存在在并并且且相相等等必必要要条条件件是是左左极极限限、右右时时极极限限存存在在的的充充分分当当函函数数三三、试试证证xxxf?0)(存存在在时时的的极极限限是是否否在在四四、讨讨论论：函函数数 xxxx 一一、1 1、0 0.0 00 00 02 2；2 2、397.四四、不不存存在在.练习题答案练习题答案
