1、平面向量复习平面向量复习一一.基本概念基本概念1.1.向量及向量的模、向量的表示方法向量及向量的模、向量的表示方法1)1)图形表示图形表示2)2)字母表示字母表示3)3)坐标表示坐标表示ABaAB 有向线段有向线段AB:|aAB 向量的模(,)axiy jx y(,)(,)aOAx yA x y 点(,)BABAaABxxyy 一一.基本概念基本概念2.2.零向量及其特殊性零向量及其特殊性3.3.单位向量单位向量a0aa0)5(00)4(00)3(a/0)2(0)1(方方向向任任意意 0)6(a0)7(00|a|a 0aa共共线线的的单单位位向向量量与与非非零零向向量量一一.基本概念基本概念4
2、.4.平行向量平行向量5.5.相等向量相等向量6.6.相反向量相反向量方向相同或相反方向相同或相反的非零向量叫做平行向量的非零向量叫做平行向量长度相等且方向相同长度相等且方向相同的向量叫做相等向量的向量叫做相等向量.在保持长度和方向不变的前提下在保持长度和方向不变的前提下,向量可以平行移动向量可以平行移动.平移先后两向量相等平移先后两向量相等任一组平行向量都可平移到同一直线上任一组平行向量都可平移到同一直线上(共线向量共线向量)区分向量平行、共线与几何平行、共线区分向量平行、共线与几何平行、共线长度相等且方向相反长度相等且方向相反的向量叫做相反向量的向量叫做相反向量.0)a(a,a)a(注意：
3、保证同起点，若不是则平移到同一起点注意：保证同起点，若不是则平移到同一起点0,7.7.两个非零向量两个非零向量 的夹角的夹角ab与一一.基本概念基本概念ABC1.向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则2.向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则3.向量减法的三角形法则向量减法的三角形法则abABBCAC ABCDabABADAC 中，abABADDB 首尾相接首尾相接共起点共起点共起点共起点二二.基本运算（向量途径）基本运算（向量途径）向量加法的运算律向量加法的运算律(交换律、结合律）交换律、结合律）在同一个平行四边形中把握：在同一个平行四边形中把握：及其模的关系及其模的关系ba,b
4、a,b,a|b|a|ba|b|a|2222|2(|)a ba babADBCab;ABDC ADBC ;ACabDBab 3.3.实数与向量的积实数与向量的积是一个向量是一个向量共线的向量共线的向量是一个与是一个与aa 二二.基本运算（向量途径）基本运算（向量途径）a|0,00,000,0aaaaaaaaaa其长度：其方向：若则当时，与 同向；当时与 反向；当时方向任意若则对于任意的实数，都有4.4.两个非零向量两个非零向量 的的数量数量积积ab与a b|cosab向量数量积的几何意义向量数量积的几何意义|cosbba叫做向量 在 方向上的投影注意：投影为实数，注意：投影为实数，可正可负可为零
5、可正可负可为零|cos|a bba 二二.基本运算（向量途径）基本运算（向量途径）运算律运算律1122(,),(,),1)2)3)4)axybxyababaa b 若则)yy,xx(2121 )yy,xx(2121 )y,x(11 二二.基本运算（坐标途径）基本运算（坐标途径）2121yyxx 5)|6)cos|aa aa bab 2121yx 222221212121yxyxyyxx 1./baba 向量 和非零向量2.ab非零向量 和则则若若),y,x(b),y,x(a2211 0yxyx1221 0yyxx2121 三三.两个等价条件两个等价条件ba有唯一的实数，使0a b ab四四.一
6、个基本定理一个基本定理2.2.平面向量基本定理平面向量基本定理.eeeea,a,ee2122112121基底基底平面内所有向量的一组平面内所有向量的一组叫做表示这一叫做表示这一、把不共线的向量把不共线的向量使使有且只有一对实数有且只有一对实数任一向量任一向量那么对于这一平面内的那么对于这一平面内的向量向量共线的共线的是同一平面内的两个不是同一平面内的两个不、如果如果 利用向量分解的利用向量分解的“唯一性唯一性”来构建实系数方程组来构建实系数方程组阅读教材选修阅读教材选修2-1 P84ABOBOA 111(,)OAx y z 222(,)OBxyz 空间向量的坐标表示及运空间向量的坐标表示及运算
7、算212121(,)ABOBOAxx yy zz 111(,)A x y z222(,)B xyz例例1、正方体棱长为、正方体棱长为1,试写出试写出FC、EC的坐标。的坐标。EF1.ABCD-A B C DAB=1BC=2AA=3,OA B C D1BDAOAO.3 练练 长长方方体体，为为正正方方形形的的面面心心，建建立立直直角角坐坐标标系系，试试写写出出，的的坐坐标标ABCDA B C D.O 1(x),a 1111,y,z,y,z222(x)b ,y,z,y,zab12(xz)21212121+x,y+y,z+x,y+y,zab12(xz)21212121-x,y-y,z-x,y-y,z
8、a 1(x)1111,y,z,y,za b 12x21212121x+y y+z zx+y y+z z2.(3,2,5),(1,5,-1),+=36aba babaa b 例例 已已知知求求：空空间间向向量量的的坐坐标标运运算算3.(2,3,1),(2,0,3),(1,0,),(1)+6-8(2)(),z.abczabcabc练练已已知知求求 ；若若求求 的的值值1(x),a 1111,y,z,y,z222(x)b ,y,z,y,z空空间间向向量量的的坐坐标标运运算算=0aba b 12x=021212121x+y y+z zx+y y+z z/=a bab 12x=21212121x x，y
9、yyy，zzzz|a 222111xyz|b 222222xyzcos,a b|a bab 12222222111222xxyzxyz 21212121x+y y+z zx+y y+z z3.(3,5,-7),(-4,2,3),(6,y,),(1)/(2)cos,.abcza cyza b 例例 已已知知若若，求求；求求1114.FC=(-,1,-),EC=(-1,1)222FCEC 练练 已已知知，求求异异面面直直线线和和的的夹夹角角余余弦弦值值.EF212121(,)ABOBOAxx yy zz 111(,)A x y z222(,)B xyz小结：小结：1、空间向量的坐标表示、空间向量的坐标表示2、空间向量的坐标运算与平面向量坐标运、空间向量的坐标运算与平面向量坐标运算类似算类似ab12x=021212121x+y y+z zx+y y+z z/a b 12x=21212121x x，yyyy，zzzzcos,a b|a bab 12222222111222xxyzxyz 21212121x+y y+z zx+y y+z z
