1、很难找到系统有关变量间的直接关系很难找到系统有关变量间的直接关系容易找到变量与他们的微分（变化率）之间的关系容易找到变量与他们的微分（变化率）之间的关系第五章第五章 微分方程模型微分方程模型动态动态模型模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用
2、类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程微分方程建模的方法和步骤微分方程建模的方法和步骤建立微分方程建立微分方程建立函数、自变量及函数对自变建立函数、自变量及函数对自变量的导数之间的一种平衡关系量的导数之间的一种平衡关系方程求解和结果分析方程求解和结果分析牛顿运动定律牛顿运动定律 应用已知的模型建立新的微分方程模型应用已知的模型建立新的微分方程模型 模拟近似法模拟近似法 根据规律列方程根据规律列方程 微元分析法微元分析法利用已知的定律，通过取极限的方法或通过任利用已知的定律，通过取极限的方法或通过任意区域上取积分的方法得到微分方程意区域上取积分的方法得到微分方程根据实际资料或大量实
3、验数据，提出假设，找出实根据实际资料或大量实验数据，提出假设，找出实际现象满足的规律，建立模型，通过模型解与实际际现象满足的规律，建立模型，通过模型解与实际情况的对比判断该方程能否模拟实际情况情况的对比判断该方程能否模拟实际情况数值解法、图解法数值解法、图解法微分方程建模综合实例一微分方程建模综合实例一问问题题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型传染病模型
4、传染病模型 已感染人数已感染人数(病人病人)i(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1 1假设假设ttititti)()()(若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为
5、)(),(tsti 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为,且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接触率接触率SI 模型模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率)tm 1itLogistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm,di/dt 最大最大模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被
6、感染增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模/日接触率日接触率1/感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的有效接触人数，称为有效接触人数，称为接触数接触数。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)11(iidtdi模型模型3i0i0接触数接触数 =1 阈值阈值/1)(ti形曲线增长按Sti)(感染期内感染期内有效接触感染的有效接触感染的健康者人数不超过病人数健康者人数不超过病人数小01i1-1/i0iiidtdi)1(模型模型2(SI模型模型)如何
7、看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt ts=0:50;x0=0.02,0.98;t,x=ode45(ill,ts,x0);t,x plot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid plot(x(:,2),x(:,1),gridi(t)、s(t)图形图形is图形（相轨线）图形（相轨线）0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi模型模型400)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi/消去消去dtSIR模型模型1,0,0),(isisisD相轨线相轨线 的定义域的定义域)(si相轨线相轨线11s
8、i0D在在D内作相轨线内作相轨线 的图形，进行分析的图形，进行分析)(sisi101D模型模型4SIR模型模型相轨线相轨线 及其分析及其分析)(si00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi0ln1000sssiss满足miis,/1传染病蔓延传染病蔓延传染病不蔓延传染病不蔓延s(t)单调减单调减相轨线的方向相轨线的方向0,itP1s0/1imsP1:s01/i(t)先升后降至先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至单调降至01/阈值阈值P3P4P2S0ssss00lnln模型模型4SIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传
9、染病蔓延的手段 (日接触率日接触率)卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率)医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/的估计的估计0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高阈值提高阈值 1/降低降低 (=/),群体免疫群体免疫模型模型4SIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例记被传染人数比例ssx00)211(200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxT,c1(t)和和 c2(t)按指数规律趋于零按指数规律趋于零药物以速率k0进入中心室0Tt 0010 xkf)(0tx吸
10、收室中心室000010)0()(Dxxktx tkttEeBeAetc01)(1tkeDtx0100)(tkekDtxktf010100010)()(3.口服或肌肉注射口服或肌肉注射相当于药物相当于药物(剂量剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量吸收室药量x0(t)2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktcEBAcc,0)0(,0)0(21ttBeAetctc)()(11参数估计参数估计各种给药方式下的各种给药方式下的 c1(t),c2(t)取决于参数取决于参数k12,k21,k13,V1,V2
11、t=0快速静脉注射快速静脉注射D0,在在ti(i=1,2,n)测得测得c1(ti)()()()(2121101ttekekVDtc充分大设t,由较大的由较大的 用最小二乘法定用最小二乘法定A A,)(,1iitct由较小的由较小的 用最小二乘法定用最小二乘法定B,)(,1iitctttAeeVkDtc)()()(12101211312kkkBAVDc101)0(011130)(dttcVkD0,21cct1321132112kkkkkBAVkD1130ABBAk)(131321kk参数估计参数估计进入中心室的药物全部排除进入中心室的药物全部排除背景背景 年年 1625 1830 1930 19
12、60 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长5.6 如何预报人口的增长如何预报人口的增长指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 (1798)常用的计算公式常用的计算公式kkrxx)1(0 x(t)时刻时刻t的的人口人口基本假设基本假设:人口人口(
13、相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0,年增长率年增长率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1(0随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区
14、人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数(逐渐下降逐渐下降)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设)0,()(srsxrxrr固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1()(mx
15、xrxrr是是x的减函数的减函数mxrs 0)(mxrrxdtdx)1()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt()()110tx0 x(t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r,xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万）1860 1870 1880 1960
16、 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计专家估计阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)r=0.2557,xm=392.1模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较/)1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx实际为实际为281.4(百万百万)5.274)2000(x模型应用模型应用预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经
17、济领域中的应用模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)r=0.2490,xm=434.0 x(2010)=306.05.7 人口预测和控制人口预测和控制)(),(,0),0(tNtrFtFmrFtrp),(年龄分布对于人口预测的重要性年龄分布对于人口预测的重要性 只考虑自然出生与死亡，不计迁移只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口人口发展发展方程方程的人口）年龄人口分布函数rtrF(),(人口密度函数),(trp人口总数)(tN最高年龄)(mr),(),(trptrtprp11,),(),(),(),(),(),(drdtd
18、ttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人口发展方程人口发展方程死亡率),(trdrtrp),(人数年龄,drrrt死亡人数内),(dttt人数年龄,11drdrrdrrdtt1drdt 一阶偏微分方程一阶偏微分方程drdttrptr),(),(drdttdrrp),(10),(),0(0),()0,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp人口发展方程人口发展方程已知函数（人口调查）已知函数（人口调查）生育率（控制人口手段）生育率（控制人口手段）0tr)(0rprt)(tfrt rt)(),(rtrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(
19、0)()(0rdstsptrF0),(),(mrdstsptN0),()(21),(),(),()(rrdrtrptrktrbtf),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt生育率的分解生育率的分解性别比函数女性)(),(trk生育数女性)(),(trb育龄区间,21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf 总和生育率总和生育率h生育模式生育模式)(),(rhtrh01r2rrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf人口发展
20、方程和生育率人口发展方程和生育率)(t总和生育率总和生育率控制生育的多少控制生育的多少),(trh生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密),(),(trptrtprp)(tf)(0rp),(trp)(t 正反馈系统正反馈系统 滞后作用很大滞后作用很大mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(/)()(tStRt mrdrtrptN0),()(人口指数人口指数1）人口总数）人口总数2）平均年龄）平均年龄3）平均寿命）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按时刻出生的人，死亡率按 (r,t)计算的平均存活时间计算的平均存活时间4）老龄化指数）老龄化指数
21、控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不过大不过大控制控制 (t)不过高不过高思考：思考：从人口模型看到，总和生育率从人口模型看到，总和生育率(t)(t)和生育模式和生育模式h(r,t)h(r,t)是两种控制人口增长的手段，试说明我国目前的人口政是两种控制人口增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个小孩、晚婚晚育、及生第策，如提倡一对夫妇只生一个小孩、晚婚晚育、及生第二胎的政策，可以怎样通过这两种手段加以实施二胎的政策，可以怎样通过这两种手段加以实施只生一个孩子，即总和生育率(t)=1晚婚晚育相当于生育模式h(r)中使得r1和rc增大生育第二胎的规定可相当于(t)略高于1，且h(r)曲线扁平一些
