1、第二章第二章解析几何初步解析几何初步直线的直线的方程方程新课学习新课学习 有一根长长的线，线的一端绑着一个美丽的风筝有一根长长的线，线的一端绑着一个美丽的风筝。如果把风筝看作一如果把风筝看作一个点，随着风向的变化，风筝带着线在空中画出了一条条的直线个点，随着风向的变化，风筝带着线在空中画出了一条条的直线。在平面在平面直角坐标系中，若风筝看作一点，则过此点是否可以确定无数条直线直角坐标系中，若风筝看作一点，则过此点是否可以确定无数条直线?解：解：(1)(1)已知直线上一点已知直线上一点P P(x x0 0，y y0 0)和直线的倾斜角和直线的倾斜角。(2)(2)已知直线上两点已知直线上两点P P
2、1 1(x x1 1，y y1 1)，P P2 2(x x2 2，y y2 2)。答案是肯定的。答案是肯定的。那么在平面直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？那么在平面直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？新课学习新课学习注意：注意：一个方程是直线一个方程是直线l l 的方程，必须同时具备两个条件，缺一不可：的方程，必须同时具备两个条件，缺一不可：“直线直线l l上任一点的坐标上任一点的坐标(x x，y y)都满足这个方程都满足这个方程”，说明直线，说明直线l l上没有坐标不满上没有坐标不满足方程的点，也就是说直线足方程的点，也就是说直线l l上所有的点都适合这个方程上所有的点都适合这
3、个方程无一例外。无一例外。“满足该方程的每一个数对满足该方程的每一个数对(x x，y y)所确定的点都在直线所确定的点都在直线l l上上”，说明适合方程，说明适合方程的所有点都在直线的所有点都在直线l l上上无一无一遗漏遗漏。只有具备了以上两点，某个方程才能与直线只有具备了以上两点，某个方程才能与直线l l 的方程建立一一对应关系的方程建立一一对应关系。（1 1）直线的方程的概念）直线的方程的概念：如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l l 的方程：的方程：直线直线l l上任一点的坐标上任一点的坐标(x x，y y)都满足这个方程都满足这
4、个方程。满足该方程的每一个数对满足该方程的每一个数对(x x，y y)所对应的点都在直线所对应的点都在直线l l上上。新课学习新课学习(2)直线方程的点斜式直线方程的点斜式：条件：点条件：点P P(x x0 0，y y0 0)在直线在直线l l上，直线上，直线l l 的斜率存在，设为的斜率存在，设为k k。图示：如图所示图示：如图所示。形式：形式：注意注意：直线的点斜式方程的适用前提是直线的斜率存在，即直线不与直线的点斜式方程的适用前提是直线的斜率存在，即直线不与x x轴垂直；轴垂直；已知直线过定点且斜率存在时，常用点斜式求直线方程；已知直线过定点且斜率存在时，常用点斜式求直线方程；方程方程
5、与与y yy y0 0k k(x xx x0 0)是不相同的，前者表示除去点是不相同的，前者表示除去点(x x0 0，y y0 0)外的直线，后者则表示整条直线；外的直线，后者则表示整条直线；当直线的倾斜角为当直线的倾斜角为9090时，直线时，直线l l 没有斜率，这时直线没有斜率，这时直线l l与与y y轴平行或重合，它的方轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示程不能用点斜式表示。直线直线l l上每一点的横坐标都等于上每一点的横坐标都等于x x0 0，所以它的方程是，所以它的方程是x xx x0 00 0。新课学习新课学习（3 3）直线方程的斜截式）直线方程的斜截式：注意：注意：截距是直线与
6、截距是直线与y y轴交点的纵坐标，不是距离，它可以是任意的实数轴交点的纵坐标，不是距离，它可以是任意的实数。并非所有的直线在并非所有的直线在y y轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，该直线在轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，该直线在y y轴轴上就没有截距上就没有截距。直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，且知在在，且知在y y轴上的截距轴上的截距b b。条件：直线条件：直线l l的斜率存在，设为的斜率存在，设为k k，直线在，直线在y y轴上的截距为轴上的截距为b b。图示：如图所示。图示：如图所示
7、。形式：形式：y=kx+by=kx+b。新课学习新课学习（4 4）直线方程的两点式）直线方程的两点式：注意：注意：直线方程的两点式应用的前提条件是：直线方程的两点式应用的前提条件是：x x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2，即直线的斜，即直线的斜率不存在及斜率为零时，没有两点式方程率不存在及斜率为零时，没有两点式方程。当当x x1 1x x2 2时，直线方程为时，直线方程为x xx x1 1；当当y y1 1y y2 2时，直线方程为时，直线方程为y yy y1 1。直线方程的两点式与直线上两点的顺序无关直线方程的两点式与直线上两点的顺序无关。两点式方程若变形为两点式方程若变形为(y
8、 yy y1 1)()(x x2 2x x1 1)(x xx x1 1)()(y y2 2y y1 1)，则此方程不再受，则此方程不再受x x1 1x x2 2且且y y1 1y y2 2的限制，可表示过的限制，可表示过(x x1 1，y y1 1)，(x x2 2，y y2 2)的所有直线的所有直线。设设P P1 1(x x1 1，y y1 1)、P P2 2(x x2 2，y y2 2)是直线是直线l l上的任意两点上的任意两点。两点满足的条件：两点满足的条件：形式：形式：新课学习新课学习(5)(5)直线方程的截距式直线方程的截距式：注意：注意：当当A A、B B两点为直线与坐标轴的交点两
9、点为直线与坐标轴的交点(非原点非原点)时，两点式可时，两点式可化为截距式，所以截距式是两点式的特殊情况化为截距式，所以截距式是两点式的特殊情况。截距式方程的适用条件是截距式方程的适用条件是a a00，b b00，即截距式方程不能表示过，即截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线。设设P P1 1(x x1 1，y y1 1)、P P2 2(x x2 2，y y2 2)是直线是直线l l上的任意两点上的任意两点。形式：形式：a a、b b的几何意义：的几何意义：a a为直线在为直线在x x轴上的截距；轴上的截距；b b为直线在为直线在y
10、 y轴上的截距轴上的截距。新课学习新课学习（6 6）直线方程的一般式）直线方程的一般式：注意：注意：当当A A00，B B00时，直线与两条坐标轴都相交时，直线与两条坐标轴都相交。当当A A00，B B0 0，C C00时，直线与时，直线与y y 轴平行，与轴平行，与x x 轴垂直轴垂直。当当A A0 0，B B00，C C00时，直线与时，直线与x x 轴平行，与轴平行，与y y 轴垂直轴垂直。当当A A0 0，B B00，C C0 0时，直线与时，直线与x x 轴重合轴重合。当当A A00，B B0 0，C C0 0时，直线与时，直线与y y 轴重合轴重合。关于关于x x，y y的二元一次
11、方程的二元一次方程AxAxByByC C0(0(A A，B B不同时为不同时为0)0)，表示，表示的是一条直线的是一条直线 ，我们把它叫作直线方程的一般式，我们把它叫作直线方程的一般式。新课学习新课学习已知直线已知直线 l l经过两点经过两点 ,求直求直线线l l 的方程的方程。)5,3(),2,1(21PP解：解：根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：从而可求出直线方程：新课学习新课学习解：解：直线方程为直线方程为y=yy=y0 0思考思考2 2：经过点 且平行于y轴（即垂直于x轴）的直线方
12、程是什么？解：解：直线方程为直线方程为 x=x x=x0 0思考思考1 1：经过点 且平行于x轴（即垂直于y轴）的直线方程是什么？),(000yxP),(000yxP y x O P 0 新课学习新课学习思考思考3 3：x x轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？y y轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？解：解：x x轴所在直线的方程是轴所在直线的方程是y=0,y=0,y y轴所在直线的方程是轴所在直线的方程是x=0 x=0。随堂练习随堂练习例例1 1 分别求过分别求过P(3,4)P(3,4)且满足下列条件的直线方程。且满足下列条件的直线方程。（1 1）斜率）斜率k=2k
13、=2；（；（2 2）与）与x x轴平行；（轴平行；（3 3）与）与x x轴垂直。轴垂直。解解：(1)(1)过过P(3,4)P(3,4)且斜率且斜率k=2k=2，点斜式方程为，点斜式方程为y-4=2(x-3),y-4=2(x-3),即即y=2x-2;y=2x-2;(2)(2)由于直线过点由于直线过点P P（3,43,4）且与）且与x x轴平行，即斜率为轴平行，即斜率为0 0，所以直线方程为所以直线方程为y=4y=4；(3)(3)由于直线过点由于直线过点P P（3,43,4）且与）且与x x轴垂直，所以直线方程为轴垂直，所以直线方程为x=3x=3。随堂练习随堂练习例例2 2 求经过两点求经过两点A
14、(-5,0),BA(-5,0),B（3 3，-3-3）的直线方程）的直线方程。解解：根据经过两点的直线斜率公式得根据经过两点的直线斜率公式得：直线直线ABAB的斜率的斜率为为 ，该直线的点斜式方程该直线的点斜式方程为为 ,可化为可化为3x+8y+15=03x+8y+15=0。随堂练习随堂练习例例3 3 已知直线经过点已知直线经过点A A（4 4，-3-3），斜率为），斜率为 ,求直线的求直线的点斜式方程，并化为一般式方程。点斜式方程，并化为一般式方程。解解：由已知和点斜式方程可知由已知和点斜式方程可知直线的方程为直线的方程为化为一般式为化为一般式为2x+3y+1=02x+3y+1=0。随堂练习
15、随堂练习解解：过过ABAB的直线方程为的直线方程为 ,整理得整理得2x+5y+6=02x+5y+6=0，这就是直线这就是直线ABAB的直线方程。的直线方程。过过ACAC的直线方程为的直线方程为 ,整理得整理得x-3y+3=0 x-3y+3=0，这就是直线这就是直线ACAC的直线方程。的直线方程。过过BCBC的直线方程为的直线方程为 ,整理得整理得3x+2y-2=03x+2y-2=0，这就是直线这就是直线BCBC的直线方程。的直线方程。例例4 4 已知三角形的三个顶点已知三角形的三个顶点A A（-3-3，0 0），），B B（2 2，-2-2），），C C（0 0，1 1），），求三角形三边各自
16、所在直线的方程。求三角形三边各自所在直线的方程。随堂练习随堂练习（1 1）过点过点(0,1)(0,1)，且倾斜角为，且倾斜角为4545的直线方程是的直线方程是()A Ay yx x1 B1 By yx x1 C1 Cy yx x1 D1 Dy yx x1 1解析：解析：因为直线的斜率因为直线的斜率k ktan45tan451 1，所以由已知及直线的，所以由已知及直线的点斜式方程，得点斜式方程，得y y1 1x x0 0，即，即y yx x1 1。C C随堂练习随堂练习(2)(2)经过点经过点A A(2(2，1)1)，B B(4,5)4,5)的直线的一般式方程为的直线的一般式方程为()A Ax
17、xy y1 10 B0 Bx xy y1 10 0 C Cx xy y1 10 D0 Dx xy y1 10 0D解析：解析：因为直线过因为直线过A A(2(2，1)1)，B B(4,5)4,5)，所以由直线方程的两点式得直线方程所以由直线方程的两点式得直线方程为为 ，化为一般式得化为一般式得x xy y1 10 0。随堂练习随堂练习解：解：直线在直线在x x，y y轴上的截轴上的截距分别为距分别为a a，b b，且，且abab000。又又易证明函数易证明函数 在在 上是减函数，在上是减函数，在 上是增函数，上是增函数，所以当所以当 时，时，S S 取得最小值，且取得最小值，且S Sminmi
18、n4 4，此时直线此时直线l l 的方程为的方程为x x2 2y y4 40 0。新课学习新课学习（1 1）直线的方程的概念）直线的方程的概念如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l l的方程：的方程：直线直线l l上任一点的坐标上任一点的坐标(x x，y y)都满足这个方程都满足这个方程。满足该方程的每一个数对满足该方程的每一个数对(x x，y y)所对应的点都在直线所对应的点都在直线l l上上。（3 3）直线方程的斜截式：）直线方程的斜截式：y=kx+by=kx+b（2 2）直线方程的点斜式：）直线方程的点斜式：（4 4）直线方程的两点式：）直线方程的两点式：（6 6）直线方程的一般式：）直线方程的一般式：AxAxByByC C0(0(A A，B B不同时为不同时为0)0)（5 5）直线方程的截距式：直线方程的截距式：再见再见
