1、高阶微分方程高阶微分方程应用习题课应用习题课第七章 微分方程一、两类高阶微分方程的解法一、两类高阶微分方程的解法 1.可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法2.二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法一、两类高阶微分方程的解法一、两类高阶微分方程的解法 1.可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法d()dnnyf xx)dd,(dd22xyxfxy令令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次积分求解逐次积分求解 2.二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数齐次情形常系数齐次情形 代数法代数法
2、),(0为常数qpyqypy 20,rprq特征方程特征方程:xrxrCCy21ee2112,r r特征根:21rr 实根实根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.2.二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数非齐次情形常系数非齐次情形 代数法代数法()(,)ypyqyf xp q为常数为常数其中其中 为实数为实数,)(xPm为为 m 次多项式次多项式.型)(e)(xPxfmx1）)2,1,0(e)(*kxQxyxmk此结论可推广到高阶常
3、系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设特解特解将此式代入原方程比较系数即可确定该特解将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.2.二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数非齐次情形常系数非齐次情形 代数法代数法()(,)ypyqyf xp q为常数为常数2）()e()cos()sinxlnf xP xxP xx型型xRxRxymmxksincose*则可设特解则可设特解:其中其中 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根(k =0,1),ilnm,max上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程
4、的情形.将此式代入原方程比较系数即可确定该特解将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.的解的解.例例1设函数设函数),()(在xyy,)()(,0的反函数是xyyyxxy内具有连续二阶导内具有连续二阶导1)试将试将 xx(y)所满足的微分方程所满足的微分方程 变换为变换为 yy(x)所满足的微分方程所满足的微分方程;2)求变换后的微分方程满足初始条件求变换后的微分方程满足初始条件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx,0)0(y数数,且且23)0(y解解 ,1ddyyx,1ddyxy即上式两端对上式两端对 x 求导求导,得得 1)由反函数的导数公式知由反函数的导数公式知(2003考研考研
5、)0)(dddd222 yyxyxy0)dd)(sin(dd322yxxyyx,1ddyyx0)(dddd222 yyxyxy222dddd()xyxyyy 3)(yy 代入原微分方程得代入原微分方程得 xyysin 2)方程方程的对应齐次方程的通解为的对应齐次方程的通解为 xxCCYee21设设的特解为的特解为,sincosxBxAy代入代入得得 A0,21B,sin21xy故从而得从而得的通解的通解:xCCyxxsin21ee21由初始条件由初始条件,23)0(,0)0(yy得得1,121CC故所求初值问题的解为故所求初值问题的解为 xyxxsin21ee二、微分方程的应用二、微分方程的应
6、用 1.建立数学模型建立数学模型 列微分方程问题列微分方程问题建立微分方程建立微分方程(共性共性)利用物理规律利用物理规律利用几何关系利用几何关系确定定解条件确定定解条件(个性个性)初始条件初始条件边界条件边界条件可能还有衔接条件可能还有衔接条件2.解微分方程问题解微分方程问题3.分析解所包含的实际意义分析解所包含的实际意义 例例2解解 欲向宇宙发射一颗人造卫星欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引为使其摆脱地球引力力,初始速度应不小于第二宇宙速度初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度试计算此速度.设人造地球卫星质量为设人造地球卫星质量为 m,地球质量为地球质量为 M,卫星卫星的质心到
7、地心的距离为的质心到地心的距离为 h,由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得:222ddhmMGthm,0v为(G 为引力系数为引力系数)则有初值问题则有初值问题:222ddhMGth又设卫星的初速度又设卫星的初速度，已知地球半径51063R000dd,vtthRht222ddhMGth000dd,vtthRht),(ddhvth设,dddd22hvvth则代入原方程代入原方程,得得2ddhMGhvvhhMGvvdd2两边积分得两边积分得ChMGv221利用初始条件利用初始条件,得得RMGvC2021因此因此RhMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到注意到 221limv
8、hRMGv12120为使为使,0v应满足0vRMGv20因为当因为当h=R(在地面上在地面上)时时,引力引力=重力重力,)sm81.9(22ggmRmMG即即,2gRMG故代入代入即得即得81.910632250gRv)s(m102.113这说明第二宇宙速度为这说明第二宇宙速度为 skm2.11yOy练习题练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测按探测要求要求,需确定仪器的下沉深度需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度与下沉速度 v 之间的函数关之间的函数关系系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在在下沉过程中还受到
9、阻力和浮力作用下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为设仪器质量为 m,体积为体积为B,海水比重为海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成仪器所受阻力与下沉速度成正比正比,比例系数为比例系数为 k(k 0),试建立试建立 y 与与 v 所满足的所满足的微分方程微分方程,并求出函数关系式并求出函数关系式 y=y(v).(1995考研考研)提示提示:建立坐标系如图建立坐标系如图.质量质量 m体积体积 B由牛顿第二定律由牛顿第二定律B22ddtymvk重力重力浮力浮力 阻力阻力mgBgmvkBgmkBgmmvkmyln)(2vkBgmyvvmdd初始条件为初始条件为00yv用分离变量法解上述初值问
10、题得用分离变量法解上述初值问题得得得yOy质量质量 m体积体积 Btvtydddd22tyyvddddyvvdd注意注意:B22ddtymvkmg在闭合回路中在闭合回路中,所有支路上的电压降为所有支路上的电压降为 0.例例3 有一电路如图所示有一电路如图所示,sintEEm电动势为电阻电阻 R 和电和电.)(ti LERQ解解 列方程列方程.已知经过电阻已知经过电阻 R 的电压降为的电压降为R i;经过经过 L的电压降为的电压降为d,diLt因此有因此有,0ddiRtiLE即即LtEiLRtimsindd初始条件初始条件:00ti由回路电压定律由回路电压定律:其中电源其中电源求电流强求电流强度
11、度感感 L 都是常量都是常量,解方程解方程:LtEiLRtimsindd00ti()d()d()edP xxP xxyeQ xx C由初始条件由初始条件:00ti得得222LRLECm)(ti tLRdetLEmsintLRmCtLtRLREe)cossin(222ttLRdedC利用一阶线性方程解的公式可得利用一阶线性方程解的公式可得 LERQtLRmLRLEtie)(222)cossin(222tLtRLREmtLRmLRLEtie)(222)sin(222tLREm暂态电流暂态电流稳态电流稳态电流则令,arctanRL因此所求电流函数为因此所求电流函数为解的意义解的意义:LERQ求电容器
12、两两极板间电压求电容器两两极板间电压 0ddiRCqtiLE练习题练习题 联组成的电路联组成的电路,其中其中R,L,C 为常数为常数,sintEEm所满足的微分方程所满足的微分方程.cu解解 设电路中电流为设电路中电流为 i(t),的电量为的电量为 q(t),自感电动势为自感电动势为,LE由电学知由电学知,ddtqi,CquCtiLELdd根据回路电压定律根据回路电压定律:设有一个电阻设有一个电阻 R,自感自感L,电容电容C 和电源和电源E串串极板上极板上 在闭合回路中在闭合回路中,所有支路上的电压降为所有支路上的电压降为 0q LERQCqi,ddtqi,CquC,ddtiLEL0ddiRC
13、qtiLELCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程:22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin化为关于化为关于cu的方程的方程:,ddtuCiC注意故有故有 q LERQCqi如果电容器充电后撤去电源如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得则得0dd2dd2022CCCututu当重力与弹性力抵消时当重力与弹性力抵消时,物体处于物体处于 平衡状态平衡状态,例例4 质量为质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力与阻力作用下作往复运动力与阻力作用下作往复运动,xxO解解阻力的大小与运动速度阻力
14、的大小与运动速度向下拉物体使它离开平衡位置后放开向下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手若用手物体在弹性物体在弹性取平衡时物体的位置为坐标原点取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图建立坐标系如图.设时刻设时刻 t 物位移为物位移为 x(t).自由振动情况自由振动情况.弹性恢复力弹性恢复力物体所受的力有物体所受的力有:(虎克定律虎克定律)xcf成正比成正比,方向相反方向相反.1）建立位移满足的微分方程）建立位移满足的微分方程.据牛顿第二定律得据牛顿第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令则得有阻尼则得有阻尼自由振动方程自由振动方程:0dd2dd222xktxntx阻力阻力t
15、xRdd 强迫振动情况强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外若物体在运动过程中还受铅直外作用，t pHFsin，令mHh 则得则得强迫振动方程强迫振动方程:t phxktxntxsindd2dd222力力2）xxO解解在无外力作用下做自由运动在无外力作用下做自由运动,求物体的运动规律求物体的运动规律,0v速度为.)(txx 为为 初始初始,0 xx设设t=0 时物体的位置时物体的位置00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2的定解问题为的定解问题为由由1）知知,位移满足位移满足方程方程:22ddtx02xk特征方程特征方程:,022krkri2,1特征根特征根:tkCt
16、kCxsincos21方程通解方程通解:无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 (n=0)利用初始条件得利用初始条件得:,01xC kvC02故所求特解故所求特解:tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0 xkv00022020tan,vxkkvxA)sin(tkAx0 xAAxtO简谐振动简谐振动 A:振幅振幅,:初相初相,周期周期:kT2:mck 固有频率固有频率 T0dd00vtxt,000 xxt下图中假设(仅由系统特性确定仅由系统特性确定)解的特征解的特征:方程方程:特征方程特征方程:0222krnr222,1knnr特征根特征根:小阻尼小阻尼:n k临界阻尼临界阻尼:n=
17、k 22ddtx02xktxndd2)sincos(e21tCtCxtn)(22nk trtrCCx21ee21tntCCxe)(21小阻尼自由振动解的特征小阻尼自由振动解的特征:)sincos(e21tCtCxtn)(22nk 由初始条件确定任意常数后变形由初始条件确定任意常数后变形)sin(etAxtntxOT0 x运动周期运动周期:;2T振幅振幅:tnAe衰减很快衰减很快,)0,0(00vx此图随时间随时间 t 的增大物体的增大物体趋于平衡位置趋于平衡位置.大阻尼解的特征大阻尼解的特征:(n k)1)无振荡现象无振荡现象;trtrCCx21ee21222,1knnr其中22knn0.0)
18、(limtxtOtx0 x此图参数此图参数:1,5.1kn5.10 x073.50v2)对任何初始条件对任何初始条件即随时间即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置的增大物体总趋于平衡位置.临界阻尼解的特征临界阻尼解的特征:(n=k)任意常数由初始条件定任意常数由初始条件定,tntCCxe)(21)()1tx最多只与最多只与 t 轴交于一点轴交于一点;:,21取何值都有无论CC)(lim)3txt即随时间即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置的增大物体总趋于平衡位置.0e)(lim21tnttCC2)无振荡现象无振荡现象;此图参数此图参数:2n1.00 x10v0 xOxy3）的作用，求物体的运
19、动规律的作用，求物体的运动规律.解解 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 tphxktxsindd222 当当p k 时时,齐次通解齐次通解:tkCtkCXcossin21)(sintkAt pbtpaxcossin非齐次特解形式非齐次特解形式:0,22bpkha因此原方程因此原方程之解为之解为若设物体只受弹性恢复力若设物体只受弹性恢复力 fsinFhpt和铅直干扰力和铅直干扰力Oxx代入代入可得可得:当干扰力的角频率当干扰力的角频率 p 固有频率固有频率 k 时时,)(sintkAxtppkhsin22自由振动自由振动强迫振动强迫振动!22将很大振幅pkh 当当
20、 p=k 时时,)cossin(tkbtkatx非齐次特解形式非齐次特解形式:代入代入可得可得:khba2,0方程方程的解为的解为 Oxxtphxktxsindd222若要利用共振现象若要利用共振现象,应使应使p 与与k 尽量靠近尽量靠近,或使或使)(sintkAxtktkhcos2随着随着 t 的增大的增大,强迫振动的振幅强迫振动的振幅tkh2这时产生共振现象这时产生共振现象.可无限增大可无限增大,若要避免共振现象若要避免共振现象,应使应使 p 远离固有频率远离固有频率 k;p=k.自由振动自由振动强迫振动强迫振动对机械来说对机械来说,共振可能引起破坏作用共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏如
21、桥梁被破坏,电机机座被破坏等电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说但对电磁振荡来说,共振可能起共振可能起有利作用有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理如收音机的调频放大即是利用共振原理.Oxx练习练习1 容器内溶液的含糖量问题容器内溶液的含糖量问题100)0(m 一容器内有糖水一容器内有糖水100L，含糖量为，含糖量为100克，现以克，现以5L/min的速度注入浓度为的速度注入浓度为10克克/L的糖水，同时将的糖水，同时将均匀混合的糖水以均匀混合的糖水以5L/min的速度排出的速度排出.求含糖量求含糖量对时间变化的函数？对时间变化的函数？分析分析:,1005105dtmdtdm在时间微量在时
22、间微量dt 内容器含糖量的改变量内容器含糖量的改变量解得解得209001000tem该时间内排出盐水的含盐量该时间内排出盐水的含盐量该时间内注入盐水的含盐量该时间内注入盐水的含盐量微量平微量平衡原理衡原理练习练习2 污水治理问题污水治理问题05)0(mm 某湖泊水量为某湖泊水量为V,每年均匀排入含污染物每年均匀排入含污染物A的污的污水量水量V/6,流入不含污物流入不含污物A的水量也是的水量也是V/6,/6,同时每年同时每年以匀速将以匀速将V/3的水量排出湖泊的水量排出湖泊.经测经测m(0)=5(0)=5m0 0,为为治理执行限排标准治理执行限排标准.排入湖泊中的污染物含排入湖泊中的污染物含 A
23、 浓度浓度不得超过每年不得超过每年m0/V.假定湖中含假定湖中含A总是均匀的总是均匀的,问几问几年后年后A含量不超过含量不超过m0？,360dtVmVdtVmVdm湖中湖中A的改变量流入的改变量流入A的量排出的量排出A的量的量解得解得)91(230temm年需，若60tmm 君子之学，不为则已，为则必要其成，君子之学，不为则已，为则必要其成，故常百倍其功故常百倍其功.宋宋朱朱熹熹 希望同学们抓紧时间、克服困难，认真希望同学们抓紧时间、克服困难，认真复习，祝大家在考试中取得更好的成绩！复习，祝大家在考试中取得更好的成绩！最后，预祝各位同学及你们的家人过一最后，预祝各位同学及你们的家人过一个祥和、温馨的春节！个祥和、温馨的春节！谢谢大家，再见！谢谢大家，再见！对各作业组组长的出色工作表示感谢！对各作业组组长的出色工作表示感谢！
