1、小结与复习小结与复习第十五章 分 式人教版人教版八年级上册八年级上册一、分式一、分式1.分式的概念：分式的概念：一般地，如果一般地，如果A、B都表示整式，且都表示整式，且B中含有中含有字母，那么称字母，那么称 为分式为分式.其中其中A叫做分式的分子，叫做分式的分子，B为分式的分母为分式的分母.2.分式有意义的条件：分式有意义的条件：对于分式对于分式 ：当当_时分式有意义；时分式有意义；当当_时无意义时无意义.B0B=03.分式值为零的条件：分式值为零的条件：当当_时，分式时，分式 的值为零的值为零.A=0且且 B04.分式的基本性质：分式的基本性质：0AA CAACCBBCBBC（）,.5.分
2、式的约分：分式的约分：约分的定义根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的的公因式公因式约去，叫做分式的约去，叫做分式的约分约分最简分式的定义分子与分母没有公因式的式子，叫做分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式最简分式注意：注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式最简分式或整式.约分的基本步骤(1)若分子若分子分母都是分母都是单项式单项式，则，则约去约去系数的最大公系数的最大公约数约数，并约去相同字母的，并约去相同字母的最低次幂最低次幂；(2)
3、若分子若分子分母含有分母含有多项式多项式，则先将多项式，则先将多项式分解因分解因式式，然后约去分子，然后约去分子分母所有的分母所有的公因式公因式6.分式的通分：分式的通分：分式的通分的定义根据分式的基本性质，使分子、分母同乘根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整适当的整式（即最简公分母），式（即最简公分母），把把分母不相同分母不相同的分式变成的分式变成分分母相同母相同的分式，这种变形叫分式的通分的分式，这种变形叫分式的通分.最简公分母为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所所有因式有因式的的最高次幂最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母的积
4、作公分母，叫做最简公分母.二、分式的运算二、分式的运算bcadbcadbdbdaabcaccd1.分式的乘除法则：分式的乘除法则：(.)nnnaabb2.分式的乘方法则：分式的乘方法则：3.分式的加减法则：分式的加减法则：(1)同分母分式的加减法则：同分母分式的加减法则：(2)异分母分式的加减法则：异分母分式的加减法则：.a b a bc cc.a cad bcad bcb dbd bdbd 4.分式的混合运算：分式的混合运算：先算先算乘方，乘方，再算再算乘除，乘除，最后算最后算加减，加减，有括号有括号的的先算括号里面的先算括号里面的.计算结果要化为计算结果要化为最简最简分式或整式分式或整式三
5、、分式方程三、分式方程1.分式方程的定义分式方程的定义分母中含未知数的方程分母中含未知数的方程叫做叫做分式方程分式方程.2.分式方程的解法分式方程的解法(1)在方程的两边都乘以在方程的两边都乘以最简公分母最简公分母，约去分母，约去分母，化成整式方程化成整式方程.(2)解这个整式方程解这个整式方程.(3)把整式方程的解代入把整式方程的解代入最简公分母最简公分母，如果最简公，如果最简公分母的值分母的值不为不为0 0，则整式方程的解是原分式方程，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去的解，否则须舍去.3.分式方程的应用分式方程的应用u列分式方程解应用题的一般步骤列分式方程解应用题的一般步骤(1)
6、审审:清题意，并设未知数；清题意，并设未知数；(2)找找:相等关系；相等关系；(3)列列:出方程；出方程；(4)解解:这个分式方程；这个分式方程；(5)验验:根（包括两方面根（包括两方面:是否是分式方程的根；是否是分式方程的根；是否符合题意）；是否符合题意）；(6)写写:答案答案.考点一 分式的有关概念例例1 如果分式如果分式 的值为的值为0，那么，那么x的值为的值为 .211xx【解析解析】根据分式值为根据分式值为0的条件：分子为的条件：分子为0而分母不为而分母不为0，列出关于列出关于x的方程，求出的方程，求出x的值，并检验当的值，并检验当x的取值时分的取值时分式的分母的对应值是否为零式的分
7、母的对应值是否为零.由题意可得：由题意可得：x2-1=0,解解得得x=1.当当x=-1时，时，x+1=0;当当x=1时，时，x+1 0.【答案答案】11分式有意义的条件是分母不为分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义分式无意义的条件是分母的值为的条件是分母的值为0；分式的值为；分式的值为0的条件是：的条件是：分子为分子为0而分母不为而分母不为0.归纳总结针对训练2.如果分式如果分式 的值为零，则的值为零，则a的值为的值为 .22aa21.若分式若分式 无意义，则无意义，则a的值的值 .13x-3考点二 分式的性质及有关计算B例例2 如果把分式如果把分式 中的中的x和和y的值都扩大为原来的值都
8、扩大为原来的的3倍，则分式的值（）倍，则分式的值（）xxy1316A.扩大为原来的扩大为原来的3倍倍 B.不变不变C.缩小为原来的缩小为原来的 D.缩小为原来的缩小为原来的针对训练C3.下列变形正确的是下列变形正确的是()22.aaAbb22.ababBaa22.11xxCxxyxxyyxD9296.22例例3 已知已知x=,y=，求求 的值的值.121222112()2xx y x yxxy y【解析解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值分式再代入求值.把把x=,y=代入得代入得1212解：原式解：原式=22(),(x y)(x y)
9、2xx yx yxx y 原式原式=12(12)2 22.212 12 对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即们可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的值可求出分式的值.但对于某些分式的求值问题，却但对于某些分式的求值问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法适当的方法.归纳总结例例4解析：本题若先求出解析：本题若先求出a的值，再代入求值，的值，
10、再代入求值，显然现在解不出显然现在解不出a的值，如果将的值，如果将 的的分子、分母颠倒过来，即求分子、分母颠倒过来，即求 的值，再利用公式变形求值就简单多了的值，再利用公式变形求值就简单多了利用利用x和和1/x互为倒数的关系，沟通已知条件互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁归纳总结5.已知已知x2-5x+1=0,求出求出 的值的值.441xx解：解：因为因为x2-5x+1=0,得得 即即150,xx 15.xx 所以所以4224222211()21()
11、22(252)2527.xxxxxx针对训练考点三 分式方程的解法例例5 解下列分式方程：解下列分式方程：【解析解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的解得到x的值，经检验即可确定出分式方程的解的值，经检验即可确定出分式方程的解解：（解：（1）去分母得）去分母得x+1+x1=0，解得，解得x=0，经检验经检验x=0是分式方程的解；是分式方程的解；（2）去分母得）去分母得x4=2x+23，解得，解得x=3，经检验经检验x=3是分式方程的解是分式方程的解1143(1)0;(2)2.1111xxxxx解分式方程的基本思想是解分式方程的基
12、本思想是“转化思想转化思想”，把，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根定注意要验根归纳总结22161.24xxx 6.解方程：解：最简公分母为（解：最简公分母为（x+2）（）（x2），），去分母得（去分母得（x2）2（x+2）（）（x2）=16，整理得整理得4x+8=16，解得，解得x=2，经检验经检验x=2是增根，故原分式方程无解是增根，故原分式方程无解针对训练考点四 分式方程的应用例例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程千米，普
13、通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的是高铁的行驶路程的1.3倍倍(1)求普通列车的行驶路程；求普通列车的行驶路程；解析：解析：(1)根据高铁的行驶路程是根据高铁的行驶路程是400千米和普通列千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相倍，两数相乘即可；乘即可；解：解：(1)根据题意得根据题意得4001.3520(千米千米)答：普通列车的行驶路程是答：普通列车的行驶路程是520千米；千米；(2)若高铁的平均速度若高铁的平均速度(千米千米/时时)是普通列车平均速是普通列车平均速度度(千米千米/时时)的的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普倍，且乘坐高铁所需
14、时间比乘坐普通列车所需时间缩短通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度小时，求高铁的平均速度解析：设普通列车的平均速度是解析：设普通列车的平均速度是x千米千米/时，根时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可小时，列出分式方程，然后求解即可解：设普通列车的平均速度是解：设普通列车的平均速度是x千米千米/时，则时，则高铁的平均速度是高铁的平均速度是2.5x千米千米/时，根据题意得时，根据题意得解得解得x120，经检验，经检验x120是原方程的解，则是原方程的解，则高铁的平均速度是高铁的平均速度是1202.5300(千
15、米千米/时时)答：高铁的平均速度是答：高铁的平均速度是300千米千米/时时针对训练7.某施工队挖掘一条长某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天米的隧道，开工后每天比原计划多挖比原计划多挖1米，结果提前米，结果提前3天完成任务，原计天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖划每天挖多少米？若设原计划每天挖x米，则依米，则依题意列出正确的方程为（题意列出正确的方程为（）319090 xx390190 xx319090 xx390190 xxA.B.C.D.D8.某商店第一次用某商店第一次用600元购进元购进2B铅笔若干支，第二次铅笔若干支，第二次又用又用600元购进该款铅笔，但这次每支的
16、进价是第一元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的次进价的 倍，购进数量比第一次少了倍，购进数量比第一次少了30支支.求第求第一次每支铅笔的进价是多少元？一次每支铅笔的进价是多少元？54解：设第一次每支铅笔进价为解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程，得元，根据题意列方程，得60060030.54xx解得解得 x=4.经检验，故经检验，故x=4原分式方程的解原分式方程的解.答：第一次每支铅笔的进价为答：第一次每支铅笔的进价为4元元.考点五 本章数学思想和解题方法u主元法主元法例例7.已知：已知：，求，求 的值的值.23214abab2222abab【解析解析】由已知可以变形为用由
17、已知可以变形为用b来表示来表示a的形式，可的形式，可得得 ，代入约分即可求值，代入约分即可求值.45ab解：解：，.23214a bab45ab 22224()415.49()5bbbb 已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母，先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的值值.这种方法即是主元法，此方法是在众多未知元这种方法即是主元法，此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元，其余视为辅元之中选取某一元为主元，其余视为辅元.那么这些
18、那么这些辅元可以用含有主元的代数式表示，这样起到了辅元可以用含有主元的代数式表示，这样起到了减元之目的，或者将题中的几个未知数中，正确减元之目的，或者将题中的几个未知数中，正确选择某一字母为主元，剩余的字母视为辅元，达选择某一字母为主元，剩余的字母视为辅元，达到了化繁入简之目的，甚至将某些数字视为主元，到了化繁入简之目的，甚至将某些数字视为主元，字母变为辅元，起到化难为易的作用字母变为辅元，起到化难为易的作用.归纳总结解：由解：由 ，得，得 ，23xy23xy2222222222()()2()()()2.xyxyyxxyyxxyxy xyx xyxyy xyxy 把把 代入可得原式代入可得原式=23xy443.3yy9.已知已知 ，求，求 的值的值.23xy222222222xyxyyxxyyxxy本题还可以由已本题还可以由已知条件设知条件设x=2m,y=3m.针对训练分式分式分式分式分式的定义及有意义分式的定义及有意义的条件等的条件等分式方程分式方程分式方程分式方程的 应 用的 应 用步 骤步 骤一审二设三列四解一审二设三列四解五检六写，尤其不五检六写，尤其不要忘了验根要忘了验根类 型类 型行程问题、工程问行程问题、工程问题、销售问题等题、销售问题等分式的运算及化简分式的运算及化简求值求值分式方程的分式方程的定义定义分式方程的解分式方程的解法法课堂小结
