1、人教版九年级上册数学第二十一章 一元二次方程 要要设计一座设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？部的高度比，雕像的下部应设计为多高？【思考】上述上述所列的所列的方程与我们以前学习的方程一方程与我们以前学习的方程一样吗样吗？这种？这种方程方程与以前学习的方程有哪些联系？与以前学习的方程有哪些联系？ABC2m设雕像下部高设雕像下部高x m，依题意得方程，依题意得方程x2=2(2-x)整理，得整理，得 x2+
2、2x-4=0导入新知3.理解理解一元二次方程解（根）一元二次方程解（根）的概念，并能的概念，并能解决相关问题解决相关问题.1.理解理解一元二次方程一元二次方程的概念，根据一元二的概念，根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数次方程的一般形式，确定各项系数.2.灵活应用灵活应用一元二次方程一元二次方程概念解决有关问题概念解决有关问题.素养目标 有一块矩形铁皮有一块矩形铁皮,长长100cm,宽宽50cm,在它的四角各切去一在它的四角各切去一个正方形个正方形,然后将四周突出部分折起然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为如果要制作的方盒的底面积为3
3、600平平方厘米方厘米,那么铁皮各角应切去多大的那么铁皮各角应切去多大的正方形正方形?一元二次方程的概念一元二次方程的概念知识点 1探究新知100cm50cm3600cm2 【分析】【分析】设切去的正方形的边长为设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为则盒底的长为(100-2x)cm,宽为宽为(50-2x)cm.根据方盒的底面积为根据方盒的底面积为3600cm2,得得整理，得整理，得（100-2x）（）（50-2x）=3600 x2-75x+350=0 x100cm50cm3600cm2探究新知 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一
4、场比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，天，每天安排每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【分析】【分析】设应邀请设应邀请x个队参赛，每个队要与其他个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队个队各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部比赛比赛 x（x-1）场。场。可列方程可列方程 整理，得整理，得 x2-x=56121(1)742xx 探究新知【思考【思考】x2-75x+350=0和和x2-x-56=0这两个方程都不这两个方程都不是一元一次方
5、程是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？区区别别特特点点（1）这两个方程的两边都是）这两个方程的两边都是整式整式；（2）都只含）都只含一个一个未知数未知数x；（3）它们的未知数的最高次数都是）它们的未知数的最高次数都是 2 次的次的.未 知 数 最未 知 数 最高次数为高次数为2探究新知探究新知 像像上述两个方程式这上述两个方程式这样的样的等号两边都是整式等号两边都是整式,只含有一个未知数只含有一个未知数(一元一元)，并且，并且未知数的最高次数未知数的最高次数是是2(2(二次二次)的方程，
6、的方程，叫做一元二次方程（必须满足叫做一元二次方程（必须满足三个特征三个特征）.一元二次方程的概念一元二次方程的概念 探究新知探究新知 【想一想想一想】是是一元二次方程吗？一元二次方程吗？21109000 xx答：答：不是不是。等号左边含有分式；化简整理后，。等号左边含有分式；化简整理后，未知数的最高次数为未知数的最高次数为3次。次。探究新知探究新知 例例1 1 下列选项中，关于下列选项中，关于x的一元二次方程的是（的一元二次方程的是（）C不是整式方程含两个未知数整理x2-3x+2=0a0A.B.3x2-5xy+y2=0C.（x-1）（）（x-2）=0 D.ax2+bx+c=0221=0 xx
7、素养考点素养考点 1一元二次方程的识别一元二次方程的识别探究新知探究新知方法总结：方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断三个条件：方程两边都是整式；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2.2.必须同时满足，缺一不可 1.判断下列方程是否为一元二次方程？判断下列方程是否为一元二次方程？2120 xx (2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0263x2241(23)xx 2()260 xx(1)x2+x=36(4)(6)(7)(8)巩固练习巩固练习 例例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2-x=2x2
8、(2)(a1)x|a|+1 2x7=0.解解：(1)将方程转化为一般形式，得将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,当当a-20，即即a2时，原方程是一元二次方程；时，原方程是一元二次方程；(2)由由 a +1=2，且，且a-1 0知，当知，当a=-1时，原方程是一元时，原方程是一元二次方程二次方程.利用一元二次方程的定义求字母的值利用一元二次方程的定义求字母的值素养考点素养考点 2探究新知方法总结：方法总结：根据未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值 2.方方程程(2a-4)x22bx+a=0.（1）在什么条
9、件下此方程为一元二次方程？）在什么条件下此方程为一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为一元一次方程）在什么条件下此方程为一元一次方程？解：解：（1）当）当 2a-40，即，即a 2 时是一元二次时是一元二次方程方程.（2）当）当a=2 且且 b 0 时是一元一次方程时是一元一次方程.巩固练习一般地一般地,任何一个关于任何一个关于x 的一元二次方程，经过的一元二次方程，经过整理，都可以化为整理，都可以化为 ax2+bx+c=0 的形式的形式,我们把我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，为常数，a0）称为一元二次方称为一元二次方程的一般形式程的一般形式.其中其中ax2是二次项，是二次项，
10、a是二次项系数是二次项系数；bx是一次项，是一次项，b是一次项系数；是一次项系数；c是常数项是常数项.探究新知探究新知一元二次方程一元二次方程的一般形式的一般形式知识点 2一元二次方程的一元二次方程的一般形式一般形式 a x 2+b x+c=0(a 0)二次项系数二次项系数一次项系数一次项系数常数项常数项二次项二次项一次项一次项探究新知【思考】【思考】为什么要限制为什么要限制a0，b,c可以为零吗？可以为零吗？【结论】【结论】只要满足只要满足a0，a,b,c可以为可以为任意实数任意实数.探究新知探究新知当当a=0时，时，ax2+bx+c=0 当当a0，b=0时，时，ax2+bx+c=0 当当a
11、0，c=0时，时，ax2+bx+c=0 当当a0，b=0,c=0时，时，ax2+bx+c=0 一元元二次二次方程方程bx+c=0（一元一次一元一次方程）方程）ax2+c=0ax2+bx=0ax2=0一元一次方程一元一次方程一元二次方程一元二次方程一般式一般式相同点相同点不同点不同点【思考思考】一元一次方程与一元二次方程有什么区别一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？与联系？Ax+b=0(a0)ax2+bx+c=0(a0)整式方程，只含有整式方程，只含有一个一个未知数未知数未知数最高次数是未知数最高次数是1未知数最高次数是未知数最高次数是2探究新知 例例3 3 将方程将方程 3x（x-1）
12、=5（x+2）化成一元二次）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项系数和常数项.一元二次方程一般形式的有关概念一元二次方程一般形式的有关概念 解：解：去去括号，得括号，得 3x2-3x=5x+10 整理，得整理，得 3x2-8x-10=0 其其中中二次项系数是二次项系数是3，一次项系数是，一次项系数是-8，常数项是，常数项是-10.二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的.素养考点素养考点 3探究新知 方法点拨 （1）一元二次方程的一般形式不是唯一）一元二次方程的一般形式不是唯一的，但习惯上都把的
13、，但习惯上都把二次项的系数二次项的系数化为正整数化为正整数.（2）一元二次方程的二次项、二次项系一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对对一般形式一般形式而言的而言的.（3）指出一元二次方程各项系数时，不）指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的要漏掉前面的符号符号.探究新知3.将将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项：项系数、一次项系数、常数项：（1）5x2-1=4x;(2)4 x2=81 解：解：(1)把把5x2-1=4x化为一般形式化为一般形式5x2-4
14、x-1=0，二次项系数为二次项系数为5，一次项系数为，一次项系数为-4，常数项为，常数项为-1.(2)把把4 x2=81化为一般形式化为一般形式4x2-81=0，二次项，二次项系数为系数为4，一次项系数为，一次项系数为0，常数项为，常数项为-81巩固练习（3）4x(x+2)=25 (4)(3x-2)(x+1)=8x-3 解解：(3)把把4x(x+2)=25 化为一般形式化为一般形式4x2+8x-25=0，二次项系数为二次项系数为4，一次项系数为，一次项系数为8，常数项为，常数项为-25 (4)把把(3x-2)(x+1)=8x-3化为一般形式化为一般形式3x2-7x+1=0，二次项系数为二次项系
15、数为3，一次项系数为，一次项系数为-7，常数项为，常数项为1巩固练习一元二次方程解的概念一元二次方程解的概念知识点 3 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做叫做一元二次方程的解一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根做一元二次方程的根.探究新知 例例4 4 已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程(m-1)x23x-5m4=0有一个根为有一个根为2，求，求m.分析分析:一个根为2，即x=2,只需把x=2代入原方程.解：解：依题意把依题意把x2代入原方程，得代入原方程，得 4（m-1）+6-5m+4=0,整理
16、，整理，得得 -m+6=0,解解，得，得 m=6.素养考点素养考点 4利用一元二次方程的解确定字母的值利用一元二次方程的解确定字母的值探究新知方法总结：方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题.4.已知已知关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根的一个根是是3，求，求a的值的值.解：解：依题意把依题意把x=3代入原方程，得代入原方程，得 32+3a+a=0 9+4a=0，94a 巩固练习整理，整理，即即1.已知已知一元二次方程一元二次方程x2+k-3=0有一个根为有一个
17、根为1，则，则k的的值为（值为（）A2 B2 C4 D4巩固练习连 接 中 考连 接 中 考B2.宾馆宾馆有有50间房供游客居住，当每间房每天定价为间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的元的费用当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为费用当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房元？设房价定为价定为x元则有（元则有（）解解析析：设房价定为设房价定为x元。依元。依题
18、意，得题意，得A.（180+x-20）（）（50-）=10890 B.（x-20）（）（50-）=10890C.x（50-）-5020=10890 D.（x+180）（）（50-）-5020=1089010 x10180 x18010 x10 x巩固练习（x-20）（）（50-）=1089018010 xB连 接 中 考连 接 中 考 1.下列哪些是一元二次方程？下列哪些是一元二次方程？3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-1课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2.填空填空：课堂检测方程方程一般形式一般形式
19、二次项系数二次项系数一次项系数一次项系数常数项常数项2320 xx23123yy245x(2)(34)3xx2320 xx232310yy-21313-540-53-22450 x23250 xx基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3.关于关于x的方程的方程(k21)x2 2(k1)x 2k 20,当当k 时，是一元一次方程当时，是一元一次方程当k 时，是一元二次方程时，是一元二次方程11课堂检测 4.已知方程已知方程5x+mx-6=0的一个根为的一个根为4，则则m的的值为值为_基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 (1)如图，已知一矩形的长为如图，已知一矩形的长为200cm,宽宽150cm
20、.现在矩形现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三三.求挖去的圆的半径求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中应满足的方程（其中取取3）.150cm200cm 解：解：设由于圆的半径为设由于圆的半径为x cm，则它，则它的面积为的面积为 3x2 cm2.整理，得整理，得 x2-2500=0课堂检测根据题意，得根据题意，得 200150-3x2=20015043能 力 提 升 题能 力 提 升 题 (2)如图如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为有量为75万辆，两年后增加到万辆，两
21、年后增加到108万辆万辆.求该市两年来汽求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率车拥有量的年平均增长率x应满足的方程应满足的方程.解：解：该市该市两年来汽车拥有量的年两年来汽车拥有量的年平均增长率为平均增长率为x.整理，得整理，得 25x2+50 x-11=0.根据题意有根据题意有 75（1+x）2=108课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题 已知已知关于关于x的一元二次方程的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)一一个根为个根为1,求求a+b+c的值的值.解解：依题意把依题意把x=1代入原方程，得代入原方程，得 a12+b1+c=0,即即 a+b+c=0.拓 广 探 索 题拓 广 探
22、 索 题课堂检测【思考思考】1.若若 a+b+c=0,你能通过观察你能通过观察,求出方程求出方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根吗的一个根吗?解：解：a+b+c=0可转化为可转化为 a12+b1+c=0因此，因此，方程方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根是的一个根是1.课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 2.若若 a-b+c=0,4a+2b+c=0，你能通过观察，你能通过观察,求出求出方程方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根吗的一个根吗?课堂检测解：解：a-b+c=0可转化为可转化为 a（-1）2+b（-1）+c=0因此，因此，方程方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根
23、是的一个根是-1.4a+2b+c=0可转化为可转化为 a22+b2+c=0因此，方程因此，方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根是的一个根是2.拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题课堂小结一元二次一元二次方程方程概念概念 是整式方程；是整式方程；含一个未知数；（一元）含一个未知数；（一元）最高次数是最高次数是2.（二次）（二次）一般形式一般形式ax2+bx+c=0 (a 0)其中其中(a0)是一元二次方程的必要是一元二次方程的必要条件；条件；解（根）解（根）使方程左右两边相等的未知数的值使方程左右两边相等的未知数的值.定义定义判断判断等号两边都是整式，只含一个未知等号两边都是整式，只含一个未
24、知数且未知数的最高次数是数且未知数的最高次数是2 2的方程的方程21.2 21.2 解一元二次方程第一课时返回预备知识预备知识 什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示？什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示？一个数的平方等于一个数的平方等于a，这个数就叫做，这个数就叫做a的平方根的平方根.a(a0)的平方根记作：的平方根记作：x2=a(a0),则根据平方根的定义知，则根据平方根的定义知，x=aa导入新知导入新知如果方程转化为如果方程转化为x2=p,该如何解呢？该如何解呢？求出下列各式中求出下列各式中x的值，并说说你的理由的值，并说说你的理由.1.x2=9 2.x2=5 x=3 x=95导入新知
25、导入新知【思考思考】素养目标素养目标1.会把一元二次方程会把一元二次方程降次降次转化为两个一转化为两个一元一次方程元一次方程.2.运用运用开平方法开平方法解形如解形如x2=p或或（x+n)2=p(p0)的方程的方程.一一桶油漆可刷的面积为桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰，李林用这桶油漆恰好刷完好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？算出盒子的棱长吗？直接开平方法直接开平方法解：解：设正方体的棱长为设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程可列出方程:1
26、06x2=1500，由此可得由此可得x2=25.开平方得开平方得 x=5，即即x1=5，x2=5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm探究新知探究新知知识点 1【试一试试一试】解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解解:根据平方根的意义，得根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解解:根据平方根的意义，得根据平方根的意义，得x1=x2=0.解解:根据平方根的意义，得根据平方根的意义，得x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解因为负数没有平方根，所以原方
27、程无解.探究新知探究新知(2)当当p=0 时，时，方程方程(I)有有两个相等的实数根两个相等的实数根 x1=x2=0；(3)当当p0 时，根据平方根的意义，时，根据平方根的意义，方程方程(I)有有两个两个不等的不等的实实数根数根 ，；1px 2px 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫的根的方法叫直接开平方法直接开平方法.探究新知探究新知【归纳归纳】例例1 1 利用直接开平方法解下列方程利用直接开平方法解下列方程:(1)x2=6；(2)x2900=0.解解：（1）x2=6，直接开平方，得直接开平方，得（2）移项，得）移项，得 x2=900
28、.直接开平方，得直接开平方，得x=30，x1=30,x2=30.利用直接开平方解形如利用直接开平方解形如x2=p方程方程6,x 1266xx，素养考点素养考点 1探究新知探究新知2280 x 2953x 228x24x4x 122,2xx 298x289x122222,33xx 巩固练习巩固练习1.解下列方程解下列方程（分析分析:把方程化为把方程化为 x2=p 的的形式形式）(1)(2)解解：移项移项，得，得系数化为系数化为1，得，得即即解解：移项移项，得，得系数化为系数化为1，得，得解：解：把把x+3看做一个整体看做一个整体，两边开平方得两边开平方得 对照前面对照前面方法，你认为怎样解方程方
29、法，你认为怎样解方程（x+3）2=5？35,x 3535.xx ，或123535xx ，或于是，方程于是，方程（x+3）2=5的两个根为的两个根为巩固练习巩固练习由方程得到，由方程得到，实质是实质是把一个一元把一个一元二次方程二次方程“降次降次”，转化为两个一元，转化为两个一元一次方程一次方程，这样就，这样就把把方程转化方程转化为我为我们会解的方程了们会解的方程了.例例2 解下列解下列方程：方程：（1）（）（x1）2=2；解解析析：本本题中只要将（题中只要将（x1）看成是一个整体，看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解就可以运用直接开平方法求解.22.即即x1=-1+，x2=-1-解解：（
30、1 1）x+1是是2的平方根，的平方根，2.x+1=利用直接开平方法解形如利用直接开平方法解形如(mx+n)2=p方程方程素养考点素养考点 2探究新知探究新知解析：解析：本题先将本题先将-4移到方程的右边，再同第移到方程的右边，再同第1小题小题一样地解一样地解.（2）（x1）24=0；即即x1=3，x2=-1.解：解：（2）移项，得（移项，得（x-1）2=4.x-1是是4的平方根，的平方根，x-1=2.探究新知探究新知 x1=，547.4 x2=(3)12（32x）23=0.解析解析：本本题题先将先将3移到方程的右边，再两边都除以移到方程的右边，再两边都除以12，再同第，再同第1小题一样地去解
31、，然后两边都除以小题一样地去解，然后两边都除以-2即即可可.解：解：（3）移项）移项，得，得12（3-2x）2=3，两边都除以两边都除以12，得（，得（3-2x）=0.25.3-2x是是0.25的平方根，的平方根，3-2x=0.5.即即3-2x=0.5,3-2x=-0.5探究新知探究新知962x解解：移项移项 2690 x 23160 x 63,x x6=3，x6=3,方程的两根为方程的两根为x1=3,x1 =9.解：解：212,x 12,x 12,12,xx 方程的两根为方程的两根为211x212.x 解方程解方程.巩固练习巩固练习2.2.（1）（2）2445xx29614xx 解：解：22
32、5,x 25,x 25,25,xx 125x 方程的两根为方程的两根为225.x解：解：2314,x 312,x 312312,xx，方程的两根为方程的两根为21.x 例例3 3 解下列方程：解下列方程：113x解需要利用完全平方公式转化的一元二次方程解需要利用完全平方公式转化的一元二次方程素养考点素养考点 3探究新知探究新知（1）（2）32x 32 32 解方程解方程 x2+6x+9=2.x1=x2=解：解：方程的左边是完全平方形式，这个方程方程的左边是完全平方形式，这个方程可以化为：可以化为：（x+3）2=2进行降次得：进行降次得：巩固练习巩固练习3.3.一元二次方程一元二次方程x29=0
33、的的解是解是 解解析析:x29=0，x2=9，解得：解得：x1=3，x2=3 故答案为：故答案为：x1=3，x2=3连 接 中 考连 接 中 考巩固练习巩固练习x1=3，x2=3 C.4(x-1)2=9,解方程，得解方程，得4(x-1)=3,x1=;4741x2=D.(2x+3)2=25,解方程，得解方程，得2x+3=5,x1=1;x2=-4 1.下列解方程的过程中，正确的是下列解方程的过程中，正确的是（）A.x2=-2,解方程，得解方程，得x=2B.(x-2)2=4,解方程，得解方程，得x-2=2,x=4 D课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题(1)方程方程x2=0.25的根
34、是的根是 .(2)方程方程2x2=18的根是的根是 .(3)方程方程(2x-1)2=9的根是的根是 .x1=0.5,x2=-0.5x13,x2-3x12,x212.填空填空:课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题3.下面下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正如果有错，指出具体位置并帮他改正.21150,3y2115,3y115,3y115,3 y351,y解：解：解：解：不对，从不对，从开始错，应改为开始错，应改为115,3y 12353,353.yy 课堂检测
35、课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题解方程解方程22(2)(25)xx解：解：22225,xx2(25),xx 方程的两根为方程的两根为17x 21x 225,225xxxx 课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题直直接接开开平平方方法法概 念概 念步 骤步 骤基本思路基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法关键要把方程化成 x2=p(p 0)或(x+n)2=p(p 0).一 元 二次 方 程两个一元一次方程降次降次直接开平方法直接开平方法课堂小结课堂小结第二课时返回化为一般式，得化为一般式，得 x2+6x-16=0 要要使一块矩形场地的长比宽多使一块矩形场地的长比宽多6
36、米，并且面积米，并且面积为为16平方米，求场地的长和宽应各是多少？平方米，求场地的长和宽应各是多少？x(x+6)=16导入新知导入新知解：解：设场地宽为设场地宽为xm，则长为（，则长为（x 6）m，根据，根据长方形面积为长方形面积为16m2，列方程得，列方程得 怎样解这个方怎样解这个方程？能不能用程？能不能用直接开平方法？直接开平方法？2.探索直接开平方法和探索直接开平方法和配方法配方法之间的之间的区别和联系区别和联系.素养目标素养目标1.了解配方的概念，掌握用了解配方的概念，掌握用配方法配方法解一元解一元二次方程及解决有关问题二次方程及解决有关问题.(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.
37、2.下列方程能用直接开平方法来解吗下列方程能用直接开平方法来解吗?1.用直接开平方法解下列方程用直接开平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把两题转化成把两题转化成(x+n)2=p(p0)的的形式，再利用开形式，再利用开平方来平方来解解.配方法的定义配方法的定义探究新知探究新知知识点 1 你你还记得吗？还记得吗？填一填下列完全平填一填下列完全平方公式方公式.(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2-2ab+b2=()2.a+ba-b探究新知探究新知2b2222222222(1)10_(2)12_(3)5_2(4)_3(5)_(_)(_)(_)(_)(_)xx
38、xxxbxxxxxxxxxx填一填填一填（根据（根据 ）配方时配方时,等式两边同等式两边同时加上的是时加上的是一次项系一次项系数一半的平方数一半的平方.2222()aabbab25x25526x522x123x22bx2665225()221()3132()2b你发现了什你发现了什么规律？么规律？二次项系二次项系数都为数都为1.1.探究新知探究新知【思考思考】怎样怎样解方程解方程:x2+6x+4=0（1）（1）方程）方程(1)怎样变成（怎样变成（x+n)2=p的形式呢？的形式呢？解解：x2+6x+4=0 x2+6x=-4移项移项 x2+6x+9=-4+9两边都加上两边都加上9二次项系数为二次项
39、系数为1的完的完全平方式：常数项全平方式：常数项等于等于一次项系数一一次项系数一半的平方半的平方.探究新知探究新知 （2）为什么在方程）为什么在方程x2+6x=-4的两边加上的两边加上9？加其？加其他数行吗？他数行吗？提示：提示：不行不行，只有在方程两边加上一次项系数，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式的形式.探究新知探究新知 像上面那样，通过配像上面那样，通过配成成完全完全平方平方形式形式来解来解一元二次方程的方法叫做一元二次方程的方法叫做配方法配方法.配方是为了配方是为了降次降次，把一个一元二次方程转
40、，把一个一元二次方程转化成两个化成两个一元一次方程一元一次方程来解来解.配方法的定义配方法的定义探究新知探究新知45,x 例例1 解方程解方程：2810；xx12415,415.xx解：解：（1）移项，得）移项，得x28x=1,配方，得配方，得 x28x+42=1+42,(x4)2=15由此可得由此可得素养考点素养考点 1探究新知探究新知解二次项解二次项系数是系数是1的一元二次方程的一元二次方程1.解方程解方程x2+8x-4=0解：解：移移项项，得，得 x2+8x4 配方配方，得，得 x2+8x+4=4+4，整理，得整理，得 (x+4)2=20，由此可得由此可得 x+4=，x1 ，x2 .25
41、 425-42 5 巩固练习巩固练习解二次项系数不是解二次项系数不是1的一元二次方程的一元二次方程配方，得配方，得2223313,2424xx 231,416x31,44x 由此可得由此可得2111,.2xx二次项系数化为二次项系数化为1，得，得231,22xx 2213 xx；解：解：移项，得移项，得2x23x=1,例例2 解解方程方程素养考点素养考点 2探究新知探究新知（1）移项和二次项系数化移项和二次项系数化为为1这两个步骤能不这两个步骤能不能交换一下呢能交换一下呢?配方，得配方，得2224211,3xx 211.3x 因为实数的因为实数的平方不会是负数平方不会是负数，所以，所以x x取
42、任何实数时，上式都取任何实数时，上式都不成立，所以原方程不成立，所以原方程无实数根无实数根解：解：移项，得移项，得2364,xx 二次项系数化为二次项系数化为1 1，得，得242,3xx 2 3640.xx为什么方程两边都加12？即即探究新知探究新知（2）思考思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时用配方法解一元二次方程时，移项时要注意要注意些什么？些什么？思考思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项移项时需注意时需注意改变符号改变符号.移项移项，二次项系数化为，二次项系数化为1；左边配成完全平方式左边配成完全平方式；左边写成左边写成完全平方形式完全平方形
43、式；降次降次；解一次方程解一次方程.探究新知探究新知一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.当当p0时时,则则 ,方程的两个根为方程的两个根为当当p=0时时,则则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n.当当p0 时，代入求根公式时，代入求根公式:写出一元二次方程的根写出一元二次方程的根.(2)当当=0时，代入求根公式：时，代入求根公式：写出一元二次方程的根写出一元二次方程的根.（3）当当0时，方程无实数根时，方程无实数根.242bbacxa122 bxxa探究新知探究新知236
44、20 xx1.用用公式法解方程：公式法解方程：解：解：a=3,b=-6,c=-2 =b2-4ac=(-6)2-43(-2)=60 6602 3x13153x23-153x 巩固练习巩固练习用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：（1）x2x1=0 （2）x22 （3）2x22x1=0 3x3=0 观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？况呢
45、？一元二次方程的根的情况一元二次方程的根的情况知识点 2探究新知探究新知【思考【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？x22x8=0 x2=4x4 x23x=3（3）没有实数）没有实数根根.答案答案：（1）有两个不相等的实数根；）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；）有两个相等的实数根；【发现【发现】b24ac的符号的符号决定着方程的解决定着方程的解.探究新知探究新知（2）当当b2-4ac=0时，有两个时，有两个相等相等的实数根：的实数根：（1）当当b2-4ac0 时，有两个时，有两个不等不等的实数根：的实数根：221244,;22bba
46、cbbacxxaa 12;2bxxa（3）当当b2-4ac-1 B.k-1 且k 0C.k1 D.k1 且k0B课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3.已知已知x22xm1没有实数根，求证：没有实数根，求证：x2mx12m必有两个不相等的实数根必有两个不相等的实数根.证明：证明：没有实数根没有实数根 4-4(1-m)0,m0 x2mx12m必有两个不相等的实数根必有两个不相等的实数根.2210 xxm2210 xmxm 2=84mm0m课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题公式法公式法定义定义把各系数直接带入求根公式的解一元把各系数直接带入求根公式的解一元二次方
47、程的方法二次方程的方法.步骤步骤应用应用用判别式用判别式=b2-4ac判定一元二次方程判定一元二次方程根的情况根的情况.课堂小结课堂小结21.2 21.2 解解一元二次方程一元二次方程21.2.3 21.2.3 因式分解法因式分解法 1.解一元二次方程的解一元二次方程的方法有哪些？方法有哪些？2.什么什么叫因式分解叫因式分解?把把一个多项式分解成几个一个多项式分解成几个整式乘积整式乘积的形式叫做因式的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式分解，也叫把这个多项式分解因式.直接开平方法直接开平方法配方法配方法x2=a(a0)(x+m)2=n(n0)公式法公式法x=（b2-4ac0）242bba
48、ca 导导入新知入新知3.分解分解因式的方法有那些因式的方法有那些?（1）提取公因式法提取公因式法:（2）公式法公式法:【思考【思考】下面的下面的方程如何使解答简单呢？方程如何使解答简单呢？am+bm+cm=m(a+b+c).a-b=(a+b)(a-b),a2ab+b=(ab).x2+25x=0导入新知导入新知（3）十字相乘法十字相乘法:2.2.会应用会应用因式分解法因式分解法解一元二次方程并解一元二次方程并解决有关问题解决有关问题.3.3.会会灵活选择灵活选择合适的方法解一元二次方合适的方法解一元二次方程，并能解决相关问题程，并能解决相关问题.素养目标素养目标1.1.理解一元二次方程理解一元
49、二次方程因式分解法因式分解法的概念的概念.根据根据物理学规律，如果把一个物体物理学规律，如果把一个物体从地面从地面 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经的速度竖直上抛，那么经过过 x s 物体离地面的高度（单位：物体离地面的高度（单位：m）为）为 提示：提示：设设物体经过物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度落回地面，这时它离地面的高度为为 0，即，即2104.9.xx【思考【思考】根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精确到确到 0.01 s）21 04.90.xx因式分解法的概念因式分解法的概念探究新知探究新知知识点 121 04.9
50、0 xx解：解：21 0 004 9xx2221 0 05 05 004 94 94 9xx225 05 04 94 9x50504949x 50504949x 110049，x20 x配方法配方法公式法公式法2104.90 xx解：解：24.9100 xxa=4.9，b=10，c=0aacbbx242101024.9 b24ac=(10)20=100110049，x20 x探究新知探究新知1 04.9 x09.410 x2104.90 xx因式分解因式分解 如果如果a b=0，那么那么 a=0或或 b=0.x00 x,01x04.2491002x或或降次，化为两个一次方程降次，化为两个一次方
