1、一、平面图形的面积 二、体积 6.2 定积分在几何学上的应用三、平面曲线的弧长 上页下页铃结束返回首页 f上(x)f下(x)dx,它也就是面积元素.一、平面图形的面积 设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成.因此平面图形的面积为 在点x处面积增量的近似值为 1.直角坐标情形 dxxfxfSba)()(下上.下页讨论：由左右两条曲线xj左(y)与xj右(y)及上下两条直线yd与yc所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？提示：面积为 面积元素为j右(y)j左(y)dy,dcdyyyS)()(左右jj.下页dxxfxfSba)()(下上.dcdyyyS)(
2、)(左右jj.(3)确定上下曲线 例1 计算抛物线y2x与yx2所围成的图形的面积.解 (2)确定在x轴上的投影区间 (4)计算积分 0,1;dxxfxfSba)()(下上.dcdyyyS)()(左右jj.(1)画图;(3)确定上下曲线 2)(,)(xxfxxf下上.102)(dxxxS 31313210323xx.下页 例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积.(2)确定在y轴上的投影区间 (4)计算积分 (3)确定左右曲线2,4.dxxfxfSba)()(下上.dcdyyyS)()(左右jj.解 (1)画图;4)(,21)(2yyyy右左jj.422)214(dyyyS 18
3、614214232yyy.下页例 3 求椭圆12222byax所围成的图形的面积.例3 因为椭圆的参数方程为 xacost,ybsint,所以 解 椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍.aydxS04.于是 aydxS0402)cos(sin4tatdb ydx,椭圆在第一象限部分的面积元素为 022sin4tdtab20)2cos1(2dttababab22.aydxS0402)cos(sin4tatdb 022sin4tdtab20)2cos1(2dttab 下页曲边扇形曲边扇形的面积元素 曲边扇形是由曲线j()及射线,所围成的图形.曲边扇形的面积 2.极坐标情形 jddS2)(21.jd
4、S2)(21.下页 例4 计算阿基米德螺线a(a0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解 解 202)(21daS322032343121aa202)(21daS322032343121aa202)(21daS322032343121aa.例5 计算心形线a(1cos)(a0)所围成的图形的面积.解 解 02cos1(212daS 02)2cos21cos221(da 202232sin41sin223aa.首页曲边扇形的面积：jdS2)(21),(j.二、体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.下页1.旋转体的体积 旋转体都可
5、以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.下页二、体积1.旋转体的体积 旋转体的体积元素 考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片,用圆柱体的体积f(x)2dx作为切片体积的近似值,旋转体的体积 于是体积元素为 dVf(x)2dx.dxxfVba2)(.例6 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线xh及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积.旋转体的体积：解 下页dxxfVba2)(.解 直角三角形斜边的直线方程为xhry.dxxhrVh20)(hxhr032231231hrhxh
6、r032231231hr.aaaadxxaabdxyV)(22222 解 解 旋转椭球体可以看作是由半个椭圆22xaaby及 x 轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.旋转椭球体的体积为 下页旋转体的体积：dxxfVba2)(.例7 计算由椭圆 所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积.12222byaxaaxxaab313222234abaaaadxxaabdxyV)(22222 aaxxaab313222234ab.例8 计算由摆线xa(tsint),ya(1cost)的一拱,直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.解 所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 下
7、页axdxyV2022022)cos1()cos1(dttata32203235)coscos3cos31(adttttaaxdxyV2022022)cos1()cos1(dttata 32203235)coscos3cos31(adtttta.例8 计算由摆线xa(tsint),ya(1cost)的一拱,直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.解 下页 设曲线左半边为xx1(y),右半边为xx2(y).所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为aaydyyxdyyxV20212022)()(022222sin)sin(sin)sin(tdtattatdtatta 2023si
8、n)sin(tdttta 6 3a3.aaydyyxdyyxV20212022)()(设立体在x轴上的投影区间为a,b,立体内垂直于x轴的截面面积为A(x).立体的体积元素为 立体的体积为下页2.平行截面面积为已知的立体的体积dxxAVba)(.A(x)dx.A(x)截面面积为A(x)的立体体积：例9 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角.计算这平面截圆柱所得立体的体积.建立坐标系如图,则底圆的方程为x2y2R2.所求立体的体积为dxxAVba)(.解 tan)(21)(22xRxA.dxxRVRRtan)(2122 RRxxR31tan2132tan323RRRxxR31ta
9、n2132tan323R.下页立体中过点x且垂直于x轴的截面为直角三角形,其面积为 三、平面曲线的弧长 设曲线弧由直角坐标方程yf(x)(axb)给出,其中f(x)在区间a,b上具有一阶连续导数.现在来计算这曲线弧的长度.在曲率一节中,我们已经知道弧微分的表达式为 这也就是弧长元素.因此,曲线弧的长度为下页dxyds21.badxys21.直角坐标情形 例 1 计算曲线2332xy上相应于 x 从 a 到 b 的一段弧的 例11 长度.因此,所求弧长为 解 曲线yf(x)(axb)的弧长：下页badxys21.解 21xy,从而弧长元素 dxxdxyds112.babaxdxxs)1(3212
10、3)1()1(322323abbabaxdxxs)1(32123)1()1(322323abbabaxdxxs)1(32123)1()1(322323ab.设曲线弧由参数方程xj(t)、y(t)(t)给出,其中j(t)、(t)在,上具有连续导数.于是曲线弧的长为 下页曲线yf(x)(axb)的弧长：badxys21.参数方程情形 因为)()(ttdxdyj,dxj(t)d t,所以弧长元素为 dtttdttttds)()()()()(12222jjjjdttts)()(22.dtttdttttds)()()()()(12222jjj.,dxj(t)d t,所以弧长元素为 曲线xj(t)、y(t
11、)(t)的弧长：例13 求摆线xa(sin),ya(1cos)的一拱(02)的长度.解 于是所求弧长为曲线yf(x)(axb)的弧长：badxys21.jdttts)()(22.弧长元素为daads2222sin)cos1(da2sin2202sin2das 202cos22 adaads2222sin)cos1(da2sin2.202cos22 a8a.下页ds)()(22.dyxds)()(22d)()(22 设曲线弧由极坐标方程()()给出,其中()在,上具有连续导数.因为 x()cos,y()sin(),所以弧长元素为 曲线弧的长为 下页极坐标情形 曲线yf(x)(axb)的弧长：ba
12、dxys21.jdttts)()(22.曲线xj(t)、y(t)(t)的弧长：dyxds)()(22d)()(22.ds)()(22.曲线()()的弧长：例14 求阿基米德螺线a(a0)相应于从0到2 一段的弧长.解 于是所求弧长为 结束 弧长元素为dadaads22221.2021das)412ln(412222a曲线yf(x)(axb)的弧长：badxys21.jdttts)()(22.曲线xj(t)、y(t)(t)的弧长：2021das)412ln(412222a.内容小结内容小结1.平面图形的面积边界方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程直角坐标方程注意注意:求弧长时积分上下限必须上大下小jd)(212A3.已知平行截面面面积函数的立体体积baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴:)(xyy 作业作业 P284 2(1),(2);8(1);12
