1、中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院（1）数学（理论）分析法）数学（理论）分析法建立流体运动的方程组与定解条件求解方程组（精确建立流体运动的方程组与定解条件求解方程组（精确解或近似解）。解或近似解）。（2）实验研究）实验研究根据模化理论通过实物实验、模型实验进行观察和测量。根据模化理论通过实物实验、模型实验进行观察和测量。（3）数值计算）数值计算确定方程组与定解条件，选用适当数值方法，编制计算确定方程组与定解条件，选用适当数值方法，编制计算机程序计算。机程序计算。第十二章 量纲分析与相似原理12.1 问题的提出问题的提出1中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院 通
2、过物理模拟实验寻求流体运动时，各量之间存在通过物理模拟实验寻求流体运动时，各量之间存在规律性。规律性。对想象或进行的过程对想象或进行的过程观察、测量、分析观察、测量、分析寻求各寻求各量之间关系、分析、研究、加工量之间关系、分析、研究、加工关于这个现象的关于这个现象的内在规律内在规律近似。近似。实验法很有局限性：实验结果只能用于特定的实验实验法很有局限性：实验结果只能用于特定的实验 条件或推广到与实验条件完全相同的现象中去。条件或推广到与实验条件完全相同的现象中去。由于设备条件限制（由于设备条件限制（T、P过高，尺寸过大），使直过高，尺寸过大），使直接实验难以进行。接实验难以进行。有时只能得出个
3、别量之间的规律性关系，难以抓住有时只能得出个别量之间的规律性关系，难以抓住现象本质，往往需用数学解析法来验证。现象本质，往往需用数学解析法来验证。2中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院例：管内流动阻力例：管内流动阻力P=f(，V，d，g，)实验时每个参数改变实验时每个参数改变5次，则实际次数为次，则实际次数为56=15625次。每次花次。每次花1小时，每天小时，每天8小时，则小时，则需需1953天天3年！年！如采用量纲分析法得到无量纲准则方程：),(),(222dFRfdgdVVdfVPEreu3中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院1 量纲量纲 是物理量的单位种
4、类，又称因次因次，如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），用L表示。2 基本量纲基本量纲 导出量纲导出量纲 基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有 三个基本量纲：长度量纲L，时间量纲T，质量量纲M 导出量纲由基本量纲组合表示，如 加速度的量纲 a=LT-2 力的量纲 F=ma=MLT-2 任何物理量B的量纲可写成 B=MLT12.2 单位与量纲单位与量纲4中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院基本量纲基本量纲：长度 L、时间、质量 M、温度 T导出量纲导出量纲：力 ML-2、压强 ML-1
5、-2、动力粘度 M L-1-1、运动粘度 L2-1、密度 M-3、速度 L-1、加速度 L-2、导热系数 M-3T、比热 L2T-1-2，5中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院3 基本量基本量 导出量导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种关系导出，前者互为独立的物理量。基本量个数取基本量纲个数基本量个数取基本量纲个数，所取定的基本基本量必须包括全部基本量纲在内量必须包括全部基本量纲在内，这就是选取基本量的原则。如、v、l可以构成一组基本量，包含了L、M、T这三个基本量纲，而a、v、l就不能构成基本量，因为不包含基本
6、量纲M。6中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院4无量纲量无量纲量 指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量，如前面讲过的相似准数。1Re121TLLLTvl 1yLL7中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院 量纲和谐性原理量纲和谐性原理 量纲和谐性原理又被称为量纲一致性原理量纲一致性原理，也叫量纲齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中每项的量纲应该是和谐的、一致的、齐次的。一个正确的物理方程，式中的每项的量纲应该一样，以能量方程为例：方程左边各项的量纲从左到右依次为
7、:Cgvgpz22LLLTMLTML2321LLTTL2228中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院量纲分析法将物理现象所涉及的物理量组成无量纲综合量，利用雷利法雷利法和 定理定理使无量纲综合量构成函数关系。它反映了物理量之间的内在规律，并使待求的函数的自变量数目减少到最低。量纲分析法分析简明，抓住问题实质，能大大减少试验次数，并有效简化实验条件。12.3 量纲分析法量纲分析法9中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院一、雷利法一、雷利法（Rayleigh,1899Rayleigh,1899年）年）1）将影响流动过程的n个物理量的隐函数，写成幂函数形式：2）用基本量纲
8、表示各物理量;3）根据量纲和谐原则，方程两边基本量纲的指数应相等，即构成指数应满足的方程（3个方程）4）当n4时可直接求解，当n4时，有n-4个指数待定;5）适当选择待定指数构造出准则数。121121nanaanxxxkx10中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院示例：示例：管内层流运动的压力损失管内层流运动的压力损失设与，u，d，l 有关，则方程三个，未知数5个。54321aaaaaldukP（等温流动）54321111321aaaaaLLMLLLMkML 3254321313aaaaaaaaaLMk131 aa1354321aaaaa232aa则11中南大学能源科学与工程学院
9、中南大学能源科学与工程学院如取：1,153aa则：0,3,2421aaa2310122()eVdllPkVdlkVk RVdddlRkEdlRkVPeue或2如取：则：1,153aa2,1,0421aaa0112222()elklPkVdlkVVVddRd2642VdlRPe对比理论结果：可知：32k（与实验不符）12中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院二、二、定理定理（Buckingham,1914Buckingham,1914年）年）1）列出影响因素：n个物理量，写成隐函数形式：2）选择其中三个（不考虑温度时）在量纲上基本独立的物理量x1，x2，x3，对等温流动可取l，u，
10、.3）用三个量的组合，表示x4,x5,xn共n-3个物理量4）比较M,L,T的因次，解出全部5）建立n-3个无量纲的综合物理量，称 项项0)(21nxxxf iiixxxxi321iii，6）将待求函数关系式写成n-3个 项的关系式：0),(54n(i=4,5,n)13中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院示例：示例：某流动现象由下列因素决定：某流动现象由下列因素决定：流速V，密度，线形尺寸l，压差P，重力加速度g，动力粘度，表面张力，弹性模量E等，现有定理建立相似准则。解：23(,)0f VlP gEl l 1111lVP 1111111132131211LMMLLMLLML取
11、，V，l 为基本量，则031,2,111111解得21VP即Eu（欧拉）数故14中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院同理可得：2221rFVgleRlV13eWlV1245221EVMll26ll370),(32llllMWRFEeeru),(3212llllMWRFVPeer无量纲方程：或写成：),(3212llllMWRFVPEueer或：*Fr是弗罗得（弗罗得（Froude）数，）数，We是韦伯（是韦伯（Weber）数。）数。15中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院16如：对不可压管内流动，Fr，We，M均不重要，可忽略。dlll23lld22(,)ueP
12、lERVd d 则：实验证明：dlEu为线性关系23(,)2eVlPRdd于是：3(,)eRd 取阻力系数：22VdlP则：（达西公式）只需对和Re和/d做有限次实验，可得出的具体关系式，则流动阻力关系式即完全确定。-尼古拉兹实验中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院小结(A)由定理可方便地求出全部准则数；(B)无需知道运动方程，结合实际即可得到应用面广泛的准则方程；(C)其作用绝不亚于对基本方程求得解析解，这是实验流体力学可以独立发展的重要原因；(D)只是宏观规律，不能了解流场微观信息，如流速、温度、密度等的时空分布（解析解、数值解）。17中南大学能源科学与工程学院中南大学能源
13、科学与工程学院一流动相似要满足几何相似、运动相似和动力相似。长度：长度：1 1、几何相似、几何相似夹角相等，形状相似，几何尺寸对应成比例。1lCDDddll3lCVV2lCAA面积：体积：12.4 相似原理相似原理18中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院速度：速度：2 2、运动相似、运动相似对应时空点的速度方向相同，大小成比例。加速度：体积流量：VtlCCCdtdlt dl dVValVtltVCCCCCCCdtdVt dVdaa22qtlVlVVCCCCCAVVAqq3219中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院3 3、动力相似、动力相似对应点受力类型、方向相同
14、，大小成比例。其中，F：合力，F：粘性力，G：质量力，P：压力，：P压力差2tlMFCCCCPPPPGGFFFF20中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院温度：温度：4、热力相似、热力相似对应点温度（差）成比例，热流方向相同、大小成比例。热流量：TCTTTT23TTlqMtTqCCCCq21中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院例：例：对不可压缩流体的非定常等温流动，当质量力对不可压缩流体的非定常等温流动，当质量力只有重力，直角坐标下，只有重力，直角坐标下，N-S方程（方程（Z方向）：方向）：当两流动满足流动相似条件时，属于同一类物理现象，其运动规律可由完全相同的微
15、分方程组来描述。)(1222222zwywxwzpgzwwywxwutw原型方程模型方程：)(1222222zwywxwzpgzwwywxwutw12.5 相似准则相似准则22中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院,tgtgCCCCtg,pVlpVxyzdxdydzCCCpVxyzdxdydz22222 ,)()(lVCClVlVCClCVClVlVlVlV流动相似：代入模型方程：ZPCCCgCzwwywxwuCCtwCCLpglVtV1)(22dxdydzdFCCCzwywxwCCCClFlV32222222)(23中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院欲使该方程
16、与原型方程完全相同，则方程各项的系数对应成比例：322lFlVlPglVtVCCCCCCCCCCCCCCC其中：位变惯性力压力质量力粘性力合力时变惯性力tVCClVCC2gClpCCC2lVCCCC3lFCCC用第二项遍除，则：22221glplFVtVVVllVCCCCCCCCCCCCC CCCC24中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院定义：准则数定义：准则数牛顿数：Newton NumbereNlVF22位变惯性力合力tSVtl位变惯性力时变惯性力22rFlgV重力（质量力）位变惯性力eRlV粘性力位变惯性力uEVpVp22位变惯性力压力斯特罗哈数：Strouhal Num
17、ber弗罗德数：Froude Number雷诺数：Reynolds Number欧拉数：Euler Number25中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院其它准则数：其它准则数：马赫数：Mach Number韦伯数：Weber Number普朗特数：Prandtl Number帕克列特数：Peclet Number格拉晓夫数：Grashof NumberrPakc热边界层流动边界层热扩散率动量扩散率cETcVTcV22焓差动能弹性力惯性力声速流速MaVerePPRklVc导热率对流传热率rGTbg223粘性力浮力表面张力惯性力eWlV2埃克特数：Eckert Number26中南
18、大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院于是模型方程可写成：即对应时空点所对应的准则数相等。)(1zwwywxwutwSSttdxdydzdFNNzwywxwRRzpEEgFFeeeeuurr)(122222222模型与原型相似，要求：122eeeeuurrttNNRREEFFSS或：eeeeuurrttNNRREEFFSS,27中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院三、局部相似三、局部相似若采用同种流体，则Cl=1，即模型与原型相同。例：对不可压流体，如粘性力相似，则Re相等同时重力相似，则Fr相等lCVVlCVV1于是32lC如取模型/原型=1/10，则6.311这很
19、难做到！28中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院n局部相似局部相似(A)将准则数用相应的特征量表示，即用特征准则数取代点准则数；(B)只考虑主要准则数，忽略次要因素。n相似原理的作用相似原理的作用(A)由运动方程导出相似准数，并用来指导实验；(B)对运动方程进行简化：将基本方程无量纲化出现相似准数，比较量级大小，小量级项忽略，还原方程，则少去若干项（或变量）。29中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院12.6 基本方程组的相似变换基本方程组的相似变换为简要说明其方法，仍以不可压缩流动为例为简要说明其方法，仍以不可压缩流动为例0VVPkgDtVD230中南大学能源科
20、学与工程学院中南大学能源科学与工程学院引入特征尺寸L，特征时间t0，特征速度V。无量纲化0,tttLzzLyyLxx2,VpVpVVzkyjxi得到以下无量纲方程组0V 不出现无量纲数，说明不受流动参数的影响。1）连续性方程:31中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院2）动量方程：非非定常项对流项定常项对流项 重力重力 压差压差 粘性应力粘性应力当准则数很大或很小时，可以忽略有关项，简化方程。比如：物体尺寸很小，流速振动周期很大时，St会很小，非定常项可忽略；高速流动（大尺度），Fr很大，可忽略重力项；大尺度高速流动，Re很大，甚至可忽略粘性项（即理想流体）；Re很小时，则可忽略惯性项动量方程可转化为线性微分方程。211()treVSVVkpVtFR 32中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院相似变换规则：相似变换规则：1）对于粘性运动，Re通常是重要的相似准数；2）为使非定常流动相似，St要相等；3）有自由面的流动，Fr和Gr是重要的；4）有传热的流动，Pr是重要的；5）高速流的传热，Ec是重要的。33中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院作业l1214l1216l121934
