1、12一、行列式的性质一、行列式的性质设设 n 阶行列式阶行列式,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD 把把 D 中的行与列互换中的行与列互换,所得的所得的 n 阶行列式记为阶行列式记为,212221212111TnnnnnnaaaaaaaaaD称称 DT 为为 D 的的3证明证明 的的转转置置行行列列式式记记ijaDdet,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD ,2,1,njiabjiij 即即按定义按定义 nnppptTbbbD21211 .D 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.nppptnaaa212114 互换行列式的两行（列
2、）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.设行列式设行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.)(,jijiccrrji行行（列列），记记作作交交换换是由行列式是由行列式 互换互换 两行得到的两行得到的,ijaDdet ji,5于是于是 njinpjpipptbbbbD1111 njinpipjpptaaaa111 ,111nijnpjpipptaaaa ,1为为自自然然排排列列其其中中nji.1的的逆逆序
3、序数数为为排排列列njippppt,11tppppnij的的逆逆序序数数为为设设排排列列则有则有即当即当 时时,jik,;kpkpab 当当 时时,jik,ipjpjpipabab ,111tt 故故 .11111DaaaaDnijnpjpippt 6推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 .0 D,DD 7 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.kknnnniniinaaakakakaaa
4、a212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面 )(kckrkiii ，记记作作行行（列列）乘乘以以第第8性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211.0 9性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一
5、列（行）的元素都是两数之和数之和.nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如10性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变nnnjninnjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111nnnjnjninnjjinjji
6、jiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如11例例2101044614753124025973313211 D二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 3 122101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr 2 132101044614753140202010013211 3 132rr 4 2220035120
7、140202010013211 154rr 143rr 1442rr 2220020100140203512013211 2220020100211003512013211 23rr 152220001000211003512013211 34rr 2 6400001000211003512013211 352rr 4 6000001000211003512013211 454rr .12 612 16用归纳法不难证明：用归纳法不难证明：任何任何n阶行列式总能利用阶行列式总能利用ri+krj 化为上（下）三角化为上（下）三角形行列式；对列也有类似的结论。形行列式；对列也有类似的结论。练习：教材
8、练习：教材P12例例7.利用性质把行列式化成上三角形行列式的步骤：利用性质把行列式化成上三角形行列式的步骤：(1):利用利用r1 ,把把(1,1)元下方的元素化为元下方的元素化为0；(2):利用利用r2 ,把把(2,2)元下方的元素化为元下方的元素化为0；(n-1):利用利用rn-1 ,把把(n-1,n-1)元下方的元素化为元下方的元素化为0.17例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得n,3,2nccc 21D特点：特点：各行的各行的元素之元素之和相等
9、和相等.18 abbbabbbabbbbna1111)1(.)()1(1 nbabna)(1banac )2(1 irri babababbbbna 0000000001)1(19 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 nccc 21D法法2babababbbbna 000000000)1(.)()1(1 nbabna)2(1 irri参考课本参考课本P12的例的例820例例3 计算计算dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD 3610363234232cbabaacbabaacbabaadcba 363023200122334rrrrrr 解
10、解 从第从第4 4行开始，行开始，后行减前行后行减前行D2140002000aabaacbabaadcba 34rr baabaacbabaadcba 30020002334rrrr 22例例4 4nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设ABC主对角线上的主对角线上的A,B是方块，主对角线右上方是是方块，主对角线右上方是0块块.则则BAD 23例例5 计算计算2 2n 阶行列式阶行列式nndcdcbabaD22 解解 将第将第2 2n行依次与第行依次与第2 2n-1-1行、行、第、第2 2行对调行对调（共作（共作2 2n-2-2次相邻对换），再把第次相
11、邻对换），再把第2 2n列依次与列依次与第第2 2n-1-1列、列、第、第2 2列对调，得到列对调，得到24dcdcbabadcbaDnn00000000)1()22(22 nnnnnbcadDbcadDbcadDbcadD)()()()(21)2(22)1(22 )1(2 n由例由例4，得到递推公式：，得到递推公式：25性质性质2,3,6介绍了行列式关于行介绍了行列式关于行(列列)的三种运算：的三种运算：2.计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)化三角形法化三角形法;(2)利用定义利用定义.小结小结1.熟练掌握行列式的熟练掌握行列式的6个性质个性质.,jirr,kri.jikrr 即：即：
