1、数学物理方法常微分方程 具有有限多个自由度的系统物理问题中的微分方程物理规律的数学描述偏微分方程 具有无限多个自由度的连续介质或场描述对象以下导出常见的几个数学物理方程物理问题12.1 弦的横振动方程 完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧后以某种方式激发，在铅直平面内作小振动，求弦的横振动方程。取弦的平衡位置为 x 轴，两端分别为 x=0 和 x=l，设 u(x,t)为弦上一点 x 在时刻 t 的横向位移。如图，弦上一小段 dx 两端 x 和 x+dx 处受到弹性力 F 的作用。xyoxdxx 1 2 TT弦完全柔软 F=T：切向应力，无法向力 22)sin()sin(tudmTTxdxx 0)c
2、os()cos(xdxxTT xyoxdxx 1 2 TT dx 足够小，可视为质点，它在 x 方向及垂直方向上的动力学方程为：牛顿第二定律忽略了重力的作用xxu 1tan dxxxu 2tan 均匀弦dxdm 方程变为：xu tansin,1 xu1cos xdxxxuxuTtudx22 xdxxTT 即小振动dxxuT22 02222 xuTtu 弦两端的位移之差 u(x+dx,t)u(x,t)与 dx 相比是一个小量因此，在准确到 的一级项的条件下，xu （略去了 的三级项）xu （略去了 的二级项）xu 0 xdxxTT方程化为：（弦中各点张力相等，T 不随 x 变化）022222 x
3、uatu Ta 令 ，则a：弦的振动传播速度（后面证明）弦的横振动方程当弦在横向上受到外力作用时，有dxfdxxuTtudx 2222 f：单位长度上所受的外力因此，fxuatu 22222非齐次项 是单位质量所受的外力 f12.2 杆的纵振动方程类似地处理杆的纵振动方程 一根均匀细杆沿杆长方向作小振动，假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况（即位移）完全相同，并且不考虑在垂直方向上相应发生的形变。取杆长方向为 x 轴方向，垂直于杆长方向的截面均用它的平衡位置 x 标记，在任一时刻 t，此截面相对于平衡位置的位移为 u(x,t)，对于杆的一小段(x,x+dx)通过两端截面所受到的弹性力分
4、别为 P(x,t)S 和 P(x+dx,t)S。如图，其中 P(x,t)为 x 处的截面在时刻 t 时，单位面积所受的弹性力。xdxx StxP),(StdxxP),(StxPtdxxPtudm),(),(22 Sdxdm 若杆的密度为 ，则略去杆长方向的形变，根据胡克定律，xPtu 22 xuEP 由牛顿第二定律可知StxPtdxxPtuSdx),(),(22 E 是杆的杨氏模量，是物质常数02222 xuEtu 022222 xuatu Ea 令 ，则杆的纵振动方程为杆的纵振动弦的横振动机理不完全相同，偏微分方程形式完全一样。波动方程：02222 uatu2222222zyx 是拉普拉斯算
5、符杆的纵振动方程12.3 热传导方程推导热传导方程的方法与前面完全相同 不同之处：具体的物理规律不同波动方程牛顿第二定律、胡克定律热传导方程能量守恒定律、热传导的傅里叶定律热传导的傅里叶定律 设 u(x,y,z,t)表示连续介质内空间坐标为(x,y,z)点在时刻 t 的温度，若介质内存在温度差，而温度变化不大时，则热流密度 与温度梯度 成正比，比例系数 k 称为热导率，k 的大小与介质材料和温度有关，若温度变化不大时，k 近似地与温度 u 无关。qu quk 负号表示热流方向与温度变化方向相反，即热量由高温流向低温。均匀各向同性介质中的热传导方程dxdydzdtxukdydzdtxukxukd
6、ydzdtqqdxxxdxxxxx22)()(如图，介质内部的一个长方体微元，建立坐标系使坐标面与长方体表面重合。从时刻 t 到时刻 t+dt，沿 x 轴方向流入长方体微元的热量为：xdxx ),(zyxdxdyyzdzdyy dzz dv同理，在 dt 时间内沿 y、z 方向流入体积微元的热量分别为：dxdydzdtyukdxdzdtyukyukdxdzdtqqdyyydyyyyy22)()(dxdydzdtzukdxdydtzukzukdxdydtqqdzzzdzzzzz22)()(dxdydzdtzuyuxuk 222222流入体积微元的净热量为：令 ，则 若体积微元内没有其它热源或消耗
7、，由能量守恒定律可知：净流入的热 量等于介质在此时间内温度升高所需的热量。ducdxdydzdxdydzdtzuyuxuk 222222：介质密度c：比热容tucuk 202 ucktu ck 02 utu 为温度传导率令 ，则 若体积微元内有热量产生（化学反应、电流通过等），单位时间内单位体积中产生的热量为 F(x,y,z,t)，则有：ducdxdydzdxdydzdttzyxFdxdydzdtzuyuxuk ),(222222tuctzyxFuk ),(2),(),(2tzyxfctzyxFucktu ck ),(2tzyxfutu 令 （热流强度），则上式变为ucj 若介质不均匀，则热导
8、率 k 与坐标有关),()(tzyxFuktuc dxdydzdtxukdydzdtxukxukdydzdtqqdxxxdxxxxx22)()(热传导方程变为：),(tzyxFqtj 连续性方程对于各向异性的介质，热导率 k 与坐标方向 x、y、z 相关，傅立叶定律变为：quk k是 33 矩阵，则热传导方程为：),()(tzyxFuktuc 从分子运动的层面看，温度的高低表征了物质分子热运动的剧烈程度。分子热运动的不平衡通过碰撞交换能量，宏观上就表现为热量的传递。同样地，若物质的内部浓度不均匀，通过分子运动发生物质交换，宏观上就表现为分子的扩散。热传导与扩散的这种微观机理上的相似性，决定了扩
9、散方程与热传导方程具有相同的形式：),(2tzyxfuDtu 其中，u(x,y,z,t)代表分子浓度，D 是扩散系数，f(x,y,z,t)是单位时间内在单位体积中该种分子的 产率。设位移函数为 u(x,t)，依题意单位长弦受到的阻力为 ，如图，弦中任意一小段 dx 在振动过程中的受力情况为：例题例题解 在弦的横振动问题中，若弦受到一个与速率成正比的阻力，试导出弦的阻尼振动方程。tub 1122coscos TT 纵向（水平方向）：dxtubTTdxxx 1122sinsin 横向（竖直方向）：xyoxdxx 1 2 1T2T小振动条件下，运动方程化简为：TTT 21dxxxdxxxxdxxtu
10、dxdxtubxuTxuT 2212 弦在作横振动，由牛顿第二定律有0coscos1122 TTdxxxdxxxtudxdxtubTT 221122sinsin 即dxxxdxxxtudxdxtubdxxuT 2222 2222tutubxuT 02222 tubxuTtu 弦的阻尼横振动方程为022222 tucxuatu bcTa,设粒子的浓度为 u(x,y,z,t)，考虑 dt 时间内 dv 中的粒子流动情况，由扩散定律知，流入 x 方向的净粒子数为：例题例题解 设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为 F(x,y,z,t)，试导出扩散方程。y 方向：z 方向：xdxx
11、 ),(zyxdxdyyzdzdyy dzz dvdydzdttdxxqtxqxx),(),(dxdzdttdyyqtyqyy),(),(dxdydttdzzqtzqzz),(),(源强产生的粒子数：dxdydzdttzyxF),(dxdydztzyxudttzyxudxdydzdttzyxFdxdydttdzzqtzqdxdzdttdyyqtyqdydzdttdxxqtxqzzyyxx),(),(),(),(),(),(),(),(),(由质量守恒得：两边同除以 dxdydzdt 得：tutzyxFzqyqxq ),(扩散定律：单位时间通过单位截面的粒子数与浓度梯度成正比。uD 负号表示扩散
12、方向与浓度变化方向相反，即粒子由高浓度向低浓度扩散。qtutzyxFxuDzyuDyxuDx ),(若 D 为均匀的，即与(x,y,z)无关，则tutzyxFuD ),(2),(2tzyxFuDtu 设杆做纵振动的位移函数为 u(x,t)，杆的杨氏模量为 E，体密度为 ，在 x 处的横截面积为 S(x)，dx 做纵振动时的运动方程为：例题例题解 试推导一均质细圆锥杆的纵振动方程。22)()()(tudxxSxuxSExuxSExdxx 纵向（水平方向）：两边同除以 dxxoxdxx ),(txul22)()(tuxSxuxSxE 将 代入上式，可得：约去 p p 和 tan ，化简整理得222
13、2)tan()tan(tuxxuxxE p p p p22)tan()(p pp pxrxS 2222tuxxuxxE 022222 xuxxxatu令 则 Ea 2此绳为柔软轻绳，可视作忽略掉重量的弦，设绳的平衡位置为水平线，位移函数为 u(x,t)，绳的线密度为 ，类似弦的横振动分析，dx 做横振动时的运动方程为：例题例题解 长为 l 的均质柔软轻绳，一段固定在竖直轴上，绳子以角速度 w w 转动。试导出此绳相对于水平线的横振动方程。2212tudxxuTxuTxdxx 横向（竖直方向）：xoxdxx w w1Tly2T22)()(tudxxuxTxuxTxdxx 此绳以角速度 w w 转
14、动，绳上任意一处 x 的张力，由 x 到 l 这段绳的惯性离心力所提供，因此)(21)(2222xldxxxTlx ww w w 离心力=向心力=mw w2 2r22222222)(21)(21tudxxuxlxuxldxxdxx wwww 方程可化为两端同除以 dx 则22222)(21tuxuxlx w w0)(2122222 xuxlxtuw w12.4 稳定问题 futu 2 02 u0:02 uf0:02 u 一般情况稳定态热传导方程（扩散方程）u 不随 t 变化泊松方程拉普拉斯方程波动方程静电场电势 即 u 随 t 周期的变化 为波数亥姆霍兹方程 fu 202222 uatutie
15、tzyxvtzyxuw w),(),(022 vkvakw w 物理数学波动方程双曲型方程热传导方程抛物型方程泊松方程椭圆型方程拉普拉斯方程 任务：三类方程的求解12.5 边界条件与初始条件 对于偏微分方程 的通解是：u(x,y)=C1(y)+xC2(y)C1 与 C2 是 y 的任意函数，可见解并不唯一。要描述一个具有确定解的物理问题，数学上要构成一个定解问题0),(22 xyxu微分方程 边界条件 初始条件 定义 初始条件完全描述物理问题的研究对象在初始时刻时，其内部及边界上任意一点的状况。边界条件完全描述物理问题的研究对象的边界上各点 在任一时刻的状况。第一类边界条件：边界上各点的函数值
16、第二类边界条件：边界上各点函数的法向微商值第三类边界条件：与 的线性关系 u u nu nu 举例举例热传导方程02 utu 初始条件：Vzyxzyxut ),(),(0 边界条件：),(tu 初始时刻各点的温度 边界上各点的温度),(1tknu 单位时间内通过单位面积的边界流入的热量为 (,t)：法向微商，梯度矢量在外法线上的投影。若边界绝热，则 =0，有n 0 nu)(0uuhnuk 介质通过边界按牛顿冷却定律散热。牛顿冷却定律：单位时间通过单位面积表面与外界交换的热量正比于介质表面温度 与外界温度 u0 之差，h 为比例系数。u 例题例题解长为 l 的均匀细杆，x=0 端固定，另一端受到
17、沿杆长方向的力 F，若撤去 F 的瞬间为 t=0 时刻，求 t 0 的杆的纵振动的定解条件。SFxuEt 0边界条件：0),(0 xtxu（t 0 无外力作用，即无应变）初始条件：（胡克定律，S：横截面积，E：杨氏模量）0 lxxuxESFdxESFdxxuuxxt 00000 ttu 例题例题解长为 l，x=0 端固定的均匀细杆，处于静止状态中，在 t=0 时，一个沿着杆长方向的力 F 加在杆的另一端上，求 t 0 时杆上各点位移的定解条件。00 tu边界条件：0),(0 xtxu初始条件：胡克定律，S：横截面积，E：杨氏模量ESFxulx 00 ttu 例题例题解长为 l 的均匀杆的导热问
18、题（1）杆的两端温度保持零度（2）杆的两端均绝热（3）杆的一端恒温零度，另一端绝热试写出三种情况下的边界条件。0,00 lxxuu（1）xukq （2）杆长方向的热量流动由傅里叶定律知，热流密度 两端绝热，既无热量流动，所以 设 u(x,t)为杆的温度函数0,00 lxxxuxu（3）或0,00 lxxxuu0,00 lxxuxu 以上均为齐次边界条件。12.6 内部界面上的连接条件若微分方程成立的空间区域的内部出现结构上的跃变，所补充的相关条件称为连接条件或衔接条件。两种不同材料连接成的弦0),(),(21221212 xyxuatyxu设跃变严格的发生于一点，且连接非常牢固光滑。定义 举例
19、举例解0),(),(22222222 xyxuatyxu对于第一段弦：对于第二段弦：连接点 x0 处的连接条件为：00),(),(21xxxxtxutxu 00),(),(21xxxxxtxuxtxu（位移相等）（张力相等）例题例题解长为 l 的弦，在 x0 处挂有质量为 m 的小球，试推导弦作横振动时 x0 处的衔接条件。),(),(0201txutxu 可知：0,),(0,0),(),(0201tlxxtxutxxtxutxu横向：受力分析后，由牛顿定律可知，x0 处：纵向：0coscos2211 TTxyomg2T1T0 x1 2 0222211sinsinxxtummgTT 设小球引起
20、的 1、2 很小：1coscos21 0111tansinxxxu 0222tansinxxxu因此有：TTT 21 gtumxuxuTxxxxxx0002212 衔接条件为：),(),(0201txutxu gtuTmxuxuxxx0002212 解均匀弦的某一点 x0 上受到有限大小的力 f(t)沿 u 轴负向。连接条件：举例举例 00),(),(xxxxtxutxu)(),(),(00tfxtxuxtxuTxxxx （位移相等）（张力与外力平衡）若此外力 f(t)由重物 M 提供，且重物与弦同步的发生运动，两者之间无相对位移，则上式变为：00022),(),(),(xxxxxxttxuM
21、MgxtxuxtxuT 解两种电介质的界面 上的电势连接条件：举例举例 21uu nunu2211 （电势连续）（电位移矢量的法向分量连续）定解问题数理方程定解条件初始条件边界条件衔接条件 例题例题解弹性杆原长为 l，一端固定，另一端被拉离平衡到位置 b 而静止，试导出在外力 F(t)作用下杆的定解问题。弹性杆的纵振动所满足的方程为：)(22222tfxuatu 初始条件：边界条件：xyobl)(tF设杆长方向为 x 轴，位移函数为 u(x,t)，单位质量受到的外力为 f(t)0,00 tttuxlbu)(,00tFxuEulxx 例题例题解长为 l 的均匀弦，两端固定，弦中张力为 T，在 x
22、0 处以横向力F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，若视振动为小振动试写出定解问题。数理方程：t 0，F 已撤去，故无需衔接条件。xyoF2T1T0 x1 2 022222 xuatu初始条件：边界条件：0,),(0,000000 tttulxxxlxlhxxxxhu0,00 lxxuuhxyoF2T1T0 x1 2 在 x0 的左右两边，弦中的张力分别为 T1 和 T2，t=0 时刻的受力分析：0coscos0sinsin11222211 TTTTF初始条件：竖直方向：水平方向：小振动条件下：TTTxlhxh 21210220111coscostansin,tansin TlxlFxh)(00
23、可知：0,),(0,)(000000 tttulxxxlTlFxxxxTlxlFu 例题例题解长为 l 的柱形管，一端封闭一端开放，管外空气中含有某种浓度为 u0的气体向管内扩散，试写出该扩散问题的定解问题。设管长方向为 x 轴，浓度函数为 u(x,t)，x=0 端封闭，x=l 端开放，管的横截面积为 S。由扩散定律知：xyoxldxx xuDq SdxuuSdtqqtdttxdxx dt 时间内流入微元 dv=Sdx 内的气体分子满足的方程为：SdxuuSdtDxuxutdttxdxx tuDxu 22两边同除以Sdxdt，得该扩散问题满足的方程为：初始条件：边界条件：00 tu00,0uu
24、xulxx 022 xuDtu12.7 定解问题的适定性存在性：定解问题有解唯一性：定解问题的解是唯一的稳定性：定解问题中已知条件有微小改变时，解也只有微小改变条件对实际问题的物理抽象是合理的初始条件完全确定地描写了初始时刻体系内部以及边界上任意一点的状况边界条件完全而确定的描写了边界上任意一点在 时的状况定义 解的适定性0 t有界空间内的热传导问题),(0zyxut ),(),(),(zyxttzyxf ),(tu ),(2tzyxfutu 0,),(tVzyx0 t举例举例解Vzyx),(（边界条件）（初始条件）均为连续函数此定解问题的解 u(x,y,z,t)应当满足：是 内的连续函数在 内，存在且连续满足热传导方程满足边界条件满足初始条件 0,),(tVzyx0,),(tVzyx,222222tuzuyuxu
