1、2012.7.1集合的含义与表示集合的含义与表示了解了解康托尔康托尔德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。学习目标学习目标1.了解了解集合的含义集合的含义以及集合中元素的以及集合中元素的确定性、互异性与无序性确定性、互异性与无序性.2.掌握元素与集合之间的掌握元素与集合之间的属于关系并能用用符号表示属于关系并能用用符号表示.3.掌握掌握常用数集及其专用符号常用数集及其专用符号，学会使用集合语言叙述数学问，学会使用集合语言叙述数学问题题.4.掌握集合的表示方法：掌握集合的表示方法：自然语言、集合语言自然语言、集合语言(列举法、
2、描述列举法、描述法法)，并能相互转换，并能相互转换.能选择适当的方法表示集合能选择适当的方法表示集合.数集数集 自然数的集合自然数的集合,有理数的集合有理数的集合,不等式不等式x-73的解的集合的解的集合初中学习了哪些集合的实例初中学习了哪些集合的实例点集点集 圆圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合到一个定点的距离等于定长的点的集合)线段的垂直平分线线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合相等的点的集合),等等等等.“请我们班所有的女生起立！请我们班所有的女生起立！”，咱们班所有的，咱们班所有的女生能不能构成一个集合？女生能不能构成一个集合？“请我
3、们班身高在请我们班身高在1.70米的男生起立！米的男生起立！”，他们，他们能不能构成一个集合？能不能构成一个集合？其实，生活中有很多东西能构成集合，比如新华其实，生活中有很多东西能构成集合，比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等。大家字典里所有的汉字可以构成一个集合等等。大家能不能再举一些生活中的实际例子呢？能不能再举一些生活中的实际例子呢？一般地一般地,我们把研究对象统称为我们把研究对象统称为元素元素,把一些把一些元素组成的总体叫做元素组成的总体叫做集合集合(简称为简称为集集).集合的概念集合的概念（1）世界上最高的山能不能构成集合？（2）世界上的高山能不能构成集合？思考：（3）由实数
4、1、2、3、1组成的集合有几个元素？（4）由实数1、2、3、1组成的集合记为A,由实数3、1、2、组成的集合记为B,这两个集合相等吗？这些性质都是从概念中得到的,概念是知识的生长点,思维的发源地.判断以下元素的全体是否组成集合判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由并说明理由:(1)大于大于3小于小于11的偶数的偶数;(2)我国的小河流我国的小河流.集合相等集合相等：只要构成这两个集合的元素是一样的，则这个集合是相等的。例：两边相等的三角形和等腰三角形问题如果用如果用A表示高一（表示高一（3）班学生组成的集合，）班学生组成的集合，a表示高表示高一（一（3）班的一位同学，）班的一位同学，b表示
5、高一（表示高一（4）班的一位同）班的一位同学学,那么那么a、b与集合与集合A分别有什么关系？由此看出元分别有什么关系？由此看出元素与集合之间有什么关系？素与集合之间有什么关系？由于集合是一些确定对象的集体,因此可以看成整体,通常用大写字母A,B,C等表示集合.而用小写字母a,b,c等表示集合中的元素.元素与集合的关系有两种元素与集合的关系有两种:如果如果a是集是集A的元素，记作的元素，记作:a A如果如果a不是集不是集A的元素，记作：的元素，记作：aA例如，用例如，用A表示表示“120以内所有的质数以内所有的质数”组组成的集合，则有成的集合，则有3，等等。，等等。元素与集合的关系元素与集合的关
6、系常用的数集课堂练习P5 第1题判断0与N,N*,Z的关系?解析解析:判断一个元素是否在某个集合中判断一个元素是否在某个集合中,关键在于关键在于弄清这个集合由哪些元素组成的弄清这个集合由哪些元素组成的.数集数集符号符号自然数集自然数集(非负整数集非负整数集)N正整数集正整数集 N*或或N+整数集整数集Z有理数集有理数集Q实数集实数集R问题问题(1)如何表示如何表示“地球上的四大洋地球上的四大洋”组成的集合组成的集合?(2)如何表示如何表示“方程方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根的所有实数根”组成的集组成的集合合?1,-2 把集合中的元素一一列举出来把集合中的元素一一列举出来,并用花括号括
7、起来表示并用花括号括起来表示集合的方法集合的方法叫做叫做列举法列举法.集合的表示方法集合的表示方法太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋例例1 用列举法表示下列集合：用列举法表示下列集合：(1)小于小于10的所有自然数组成的集合；的所有自然数组成的集合；(2)方程方程 的所有实数根组成的集合；的所有实数根组成的集合；(3)由由120以内的所有素数组成的集合以内的所有素数组成的集合.2xx 解解：(1)A=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.(2)B=0，1.(3)C=2，3，5，7，11，13，17，19.一个集合中的元素一个集合中的元素的书写一般不考虑的书写一般不考
8、虑顺序顺序(集合中元素集合中元素的无序性的无序性).1.确定性确定性2.互异性互异性3.无序性无序性（注意：（注意：元素与元素之间用逗号隔开元素与元素之间用逗号隔开）(1)您能用自然语言描述集合您能用自然语言描述集合2,4,6,8吗吗?(2)您能用列举法表示不等式您能用列举法表示不等式x-73的解集吗的解集吗?小于小于10的正偶数的集合的正偶数的集合不能一一列举不能一一列举(请阅读课本请阅读课本P4例例2前的内容前的内容)|10 xR x 02|2 xx2010|xx集合的表示方法集合的表示方法(2)用描述法表示下列集合用描述法表示下列集合 1,-1 大于大于3的全体偶数构成的集合的全体偶数构
9、成的集合.练习练习 (1)用列举法表示下列集合用列举法表示下列集合 50|xNxA065|2 xxxB自然语言主要用文字语言表述自然语言主要用文字语言表述,而列举法和描述法是用符号语言表述而列举法和描述法是用符号语言表述.列举法主要针对集合中元素个数较少的情况列举法主要针对集合中元素个数较少的情况,而描述法主要适用于集合中的而描述法主要适用于集合中的元素个数无限或不宜一一列举的情况元素个数无限或不宜一一列举的情况.集合的表示方法集合的表示方法练习练习P5 练习第练习第2题题基础练习基础练习1.填空题填空题设集合设集合-2,-1,0,1,2，时代数时代数式的值式的值则中的元素是则中的元素是Ax1
10、2x现有现有:不大于的正有理数不大于的正有理数.我校高一年级我校高一年级所有高个子的同学所有高个子的同学.全部长方形全部长方形.全体无实根全体无实根的一元二次方程四个条件中所指对象不能组的一元二次方程四个条件中所指对象不能组成集合的成集合的33,0,-12选择题选择题 以下说法正确的()(A)“实数集”可记为R或实数集或所有实数(B)a,b,c,d与c,d,b,a是两个不同的集合(C)“我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定 已知2是集合M=中的元素，则实数为()(A)2 (B)0或3 (C)3 (D)0,2,3均可23,02 aaaaCc（3）下列四个集合中，不
11、同于另外三个的是：yy=2 B.x=2A.C.2 D.xx2-4x+4=0(4)由实数x,-x,x,所组成的集合 中，最 多含有的元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5 2x33x（1）方程组 的解集用列举法表示为_；用描述法表示为 .（2）集合 用列举法表示为 .25xyxy(,)|6,x yxyxN yN3.填空填空1.用描述法表示下列集合用描述法表示下列集合1，4，7，10，131/3,1/2,3/5,2/3,5/7.x|x=3n-2,n N*且且n5解解：x|x=,n N*且且n52nn 能力提高题能力提高题2.用列举法表示下列集合：用列举法表示下列集合：（1）A=xN Z (
12、2)B=N xZ x16 x16 4.若若-3 a-3,2a+1,a2+1,求实数求实数a的值的值.3.求集合求集合3，x,x2-2x中，元素中，元素x应满足的条件。应满足的条件。回回 顾顾 交交 流流今天我们学习了哪些内容？今天我们学习了哪些内容？第第11页页 习题习题1.1 A组组 第第1、2、3、4题题大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作
13、为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文关于一切实代数数的一个性质中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。格奥尔格格奥尔格康托尔康托尔康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德）德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒）
14、，1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在187918
15、84年发表的题为关于无穷线性点集论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。在1891年发表的集合论的一个根本问题里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考
16、虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻
17、击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。他的著作有：G.康托尔全集1卷及康托尔-戴德金通信集等。康托尔是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。
