1、第二章第二章 推理与证明推理与证明 2.2.2 2.2.2 反证法反证法教材分析 直接证明与间接证明是数学证明的两类基本方法，直接证明的两种方法：综合法与分析法；间接证明的一种基本方法：反证法.反证法，可以说是一个难点.因为以前我们的证明所采用的方法均为直接证明法，由已知到结论，顺理成章.而对于间接证明的反证法，许多同学难以走出直接证明的局限，从而不能深刻或正确地理解反证法思想.其实，反证法作为证明方法的一种，有时起着直接证明不可替代的作用.教学目标 使学生初步掌握反证法的概念及反证法证明的基本方法；培养学生用反证法简单推理的技能，发展学生的思维能力.引导学生掌握反证法证题的基本方法，训练学生
2、的思维能力.重点难点重点难点重点：重点：(1)(1)理解反证法的概念；理解反证法的概念；(2)(2)体会反证法证明命题的思路方法及掌握反证法证明的步骤体会反证法证明命题的思路方法及掌握反证法证明的步骤.难点：理解难点：理解“反证法反证法”证明如何得出证明如何得出“矛盾的所在矛盾的所在”.”.温故知新温故知新1.直接证明的两种基本证法：直接证明的两种基本证法：综合法和分析法综合法和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果由因导果执果索因执果索因3 3、在实际解题时，两种方法如何运用？、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法通常用分析法寻求思路，
3、寻求思路，再由综合法再由综合法书写过程书写过程.综合法综合法:已知条件已知条件结论结论分析法分析法:结论结论 已知条件已知条件 引入新课 事例一：诸葛亮的“空城计”与反证法：三国时期，蜀国丞相诸葛亮屯兵阳平时，派大将魏延领兵去攻打魏国，只留下少数老弱病残军士守城，不料魏国大都督司马懿率大队人马杀来，靠几个老弱军士出城应战，无异于以卵击石，怎么办？诸葛亮冷静思考之后，决定打开城门，让老弱军士在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香案，端坐弹琴，态度从容，琴声幽雅，司马懿见此情景，心中疑虑：“诸葛亮一生精明过人，谨慎有余，从不冒险，今天如此这般，城内必有伏兵，绝不能中计。”于是急令退兵。这就是家喻
4、户晓的“空城计”。反证法是间接证明的一种方法，我们对于这种方法并不陌生，反证法是间接证明的一种方法，我们对于这种方法并不陌生，在日常生活或解决某些数学问题时，有时会不自觉地使用反在日常生活或解决某些数学问题时，有时会不自觉地使用反证法。证法。路边苦李 王戎王戎7岁时岁时,与小伙伴们外出游玩与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果看到路边的李树上结满了果子子.小伙伴们纷纷去摘取果子小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动只有王戎站在原地不动.伙伴问他为伙伴问他为什么不去摘？什么不去摘？事例二事例二王戎回答说王戎回答说:“树在道边而多子树在道边而多子,此必苦李此必苦李.”小伙伴摘取小伙伴摘
5、取一个尝了一下一个尝了一下,果然是苦李果然是苦李.王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?证明：在一个三角形中至少证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于有一个角不小于60.引例引例 ABC 三角形内角和等于三角形内角和等于假设假设 先假设先假设结论的反面是正确的结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，然后通过逻辑推理，推出推出与公理、已证与公理、已证的定理、定义或已知条件相的定理、定义或已知条件相矛盾矛盾，说明说明假设不成立假设不成立，从而得到，从而得到原结论正确原结论正确。这种证明方法就是这种证明方法就是-反证法反证法 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的把这种不是直接
6、从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为证明方法称为间接证明间接证明.注：反证法注：反证法是最常见的是最常见的间接证法间接证法。一般地，假设一般地，假设原命题不成立原命题不成立（即在原命题的条件下，结论（即在原命题的条件下，结论不成立），不成立），经过正确的推理，最后经过正确的推理，最后得出矛盾得出矛盾。因此说明因此说明假设假设错误错误，从而证明了从而证明了原命题成立原命题成立，这样的证明方法叫做这样的证明方法叫做反证法反证法。一、探究定义一、探究定义否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论肯定结论即分三个步骤：即分三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真反设反设假设命题的结论不成立；假设命题的
7、结论不成立；存真存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。归谬归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，得出从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾矛盾；二、探究二、探究反证法的证明过程反证法的证明过程归缪矛盾：归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2）与假设矛盾或自相矛盾）与假设矛盾或自相矛盾;（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾）与已有公理、定理、定义、事实矛盾.反证法的思维方法：正难则反 数学中的一些基础命题都是我们经常运用的明显事实，他它们的判断方法极少，宜用反证法证明.正难则反是应用反证法的原则，即一个命题的结论
8、如果难以直接证明时，可考虑用反证法.宜用反证法证明的题型有：（1）一些基本命题、基本定理；（2）易导出与已知矛盾的命题；（3）“否定性”命题；（4）“唯一性”命题；（5）“必然性”命题；（6）“至多”“至少”类命题；（7）涉及“无限”结论的命题等.例例1:已知直线已知直线a,b 和平面和平面 ,如果如果 且且 ,求求证证:.,abab 因为 ，所以 .,bb且b/ab/a证明：因为证明：因为ab，所以经过直线，所以经过直线 a,b确定确定一个平面一个平面 .ba,下面用反证法证明直线 与平面 没有公共点.假设直线 与平面 有公共点P,则 ,即点P是直线a与b的公共点,这与 矛盾,所以 .aaP
9、b/ab/a 因为因为 ,而而 所以所以 与与 是两个不同的平面是两个不同的平面.aaP三、典例剖析三、典例剖析-类型一：类型一：例例2 2.证明：证明：不可能成等差数列不可能成等差数列2,3,5注：注：否定型命题否定型命题(命题的结论是命题的结论是“不可能不可能”，“不能表示为不能表示为”，“不是不是”，“不存在不存在”，“不等不等”，“不具有某种性质不具有某种性质”等等)常用反证法。常用反证法。三、典例剖析三、典例剖析-类型二：类型二：证明证明:假设假设 能成等差数列，则能成等差数列，则2,3,5两边平方得两边平方得:232522(23)(25)5210化简得化简得:两边平方得两边平方得:
10、2540上式显然不成立，所以假设错误上式显然不成立，所以假设错误不可能成等差数不可能成等差数2,3,5所 以例例 3 已已 知知 x，y0，且且 x y2.求求 证证：1 xy，1 yx中中 至至 少少 有有 一一 个个 小小 于于 2.证证 明明 假假 设设1 xy，1 yx都都 不不 小小 于于 2，即即1 xy 2，1 yx 2.三、典例剖析三、典例剖析-类型三：类型三：x，y0，1 x 2y,1 y 2x.2 x y 2(x y)，即即 x y 2 与与 已已 知知 x y2 矛矛 盾盾 1 xy，1 yx中中 至至 少少 有有 一一 个个 小小 于于 2.规规 律律 方方 法法 对对
11、 于于 含含 有有“至至 多多”、“至至 少少”的的 命命 题题 适适 合合 用用 反反 证证 法法，对对 于于 此此 类类问问 题题，需需 仔仔 细细 体体 会会“至至 少少 有有 一一 个个”、“至至 多多 有有 一一 个个”等等 字字 眼眼 的的含含 义义，弄弄 清清 结结 论论 的的 否否 定定 是是 什什 么么，避避 免免 出出 现现 证证 明明 遗遗 漏漏 的的 错错 误误 例例4.4.证明：证明：已知已知a0，关于关于x的方程的方程ax=b有且只有一个根。有且只有一个根。注：注：唯一性命题唯一性命题(命题的结论是命题的结论是“有且只有有且只有”，“只有一个，只有一个，“唯一存唯一
12、存在在”等等)常用反证法。常用反证法。三、典例剖析三、典例剖析-类型四：类型四：证明：反证法，假设方程至少有两个不等根证明：反证法，假设方程至少有两个不等根x1，x2，即，即 ax1=b,;ax2=b -,得得a(x1-x2)=0.又又x1x2，a=0，这与已知，这与已知a0矛盾矛盾.故假设错误，原命题成立故假设错误，原命题成立.易导出与已知矛盾的命题三、典例剖析三、典例剖析-类型五：类型五：例例5.已知函数已知函数f(x)是是(-,+)上的增函数，上的增函数，a,bR,对命题对命题“若若a+b0,则则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),写写出其逆命题，判断其真假并证明你的结论。出其逆命
13、题，判断其真假并证明你的结论。解：逆命题是解：逆命题是“若若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则则a+b0.”真命题真命题.反证法证明：假设反证法证明：假设a+b0,则则a-b,b-a.f(x)是是(-,+)上的增函数上的增函数,则则 f(a)f(-b),f(b)f(-a)f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),这与已知相矛盾，这与已知相矛盾，逆命题为逆命题为真命题真命题.例6.若下列方程：x2+4ax-4a+3=0,x2+ax+a=0,x2+2ax+2a=0至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围.思路分析：三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根，先
14、求出反面情况时a的范围，所得范围的补集就是正面情况的答案.证明：设三个方程均没有实根，则有证明：设三个方程均没有实根，则有 212223164(34)0,140,0.2480,aaaaaaa 解 得所以当所以当 时，三个方程至少有一个方程有实根时，三个方程至少有一个方程有实根.102aa或（1）直接证明有困难）直接证明有困难正难则反正难则反!归纳总结：归纳总结：哪些命题适宜用反证法加以证明？哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一反证法是数学家最精当的武器之一”（3）唯一性命题）唯一性命题（2）否定性命题）否定性命题（4）至多，至少型命题）至多
15、，至少型命题反证法的一般步骤反证法的一般步骤 先假设命题的结论不成立先假设命题的结论不成立从假设出发，经过推理从假设出发，经过推理 得出矛盾得出矛盾 否定假设否定假设 肯定原命题肯定原命题 分清条件和结论分清条件和结论四、归纳步骤四、归纳步骤五、全课总结五、全课总结1、知识小结：、知识小结：反证法证明的思路：假设命题的结论不成立反证法证明的思路：假设命题的结论不成立正确的推正确的推理理,得出矛盾得出矛盾否定假设，肯定待证明的命题否定假设，肯定待证明的命题2、难点提示、难点提示:利用反证法证明命题时利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结一定要准确而全面的找出命题结论的反面。论的反面。
16、“的反面是的反面是“没有没有”，“最多最多”的反面是的反面是“不止不止”。原词语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n个个 小于小于 至多有至多有n个个 对所有对所有x,成立成立对任何对任何x，不成立不成立准确地作出反设准确地作出反设(即否定结论即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式的否定形式.不是不是不都是不都是不大于不大于不小于不小于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某个存在某个x，不，不成立成立存在某个存在某个x,成立成立不等于不等于某个某个
