1、第二讲第二讲 参数方程参数方程圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为为参参数数）(sincosryrx为为参参数数）(sincosrbyrax复习复习圆的参数方程圆的参数方程1.圆心在原点圆心在原点,半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:2.圆心为圆心为(a,b),半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:12222byax3.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？它的参数方程是什么样的？如图如图,以原点为圆心以原点为圆心,分别以分别以a,b(ab0)为半径作两个圆为半径作两个圆,点点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点与小圆的交点,过
2、点过点A作作ANOx,垂足为垂足为N,过点过点B作作BMAN,垂足为垂足为M,)(sincos为为参参数数的的参参数数方方程程为为 byaxM0,2)OAMxyNB椭圆的标准方程椭圆的标准方程:1bya2222 x椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几何意义的几何意义:)(sinbycosa为为参参数数 xxyO圆的标准方程圆的标准方程:圆的参数方程圆的参数方程:x2+y2=r2)(sinycos为为参参数数 rrx的几何意义是的几何意义是AOP=PA椭圆的参数方程椭圆的参数方程:是是AOX=,不是不是MOX=.12222 byax sincosbyax2,012222 aybx sin
3、cosaybx练习练习 把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程.22149xy(1)22116yx(2)3 cos5 sinxy(3)8 cos10 sinxy(4)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程2 cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx)(sin2cos3为参数为参数 yx9322331tan 6 sin2cos3yx)1,233(xyOM(3cos,2sin)3cosy2sinx5min d14922 yx14922 yx14922 yx 例例1、已知椭圆、已知椭圆 上点上点M(x,y)，(2)求
4、求2x+3y的最大值和最小值；的最大值和最小值；例例2、如图，在椭圆如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点上求一点P，使，使P到直线到直线 l：x-y+4=0的距离最小的距离最小.xyOP分析分析1：),y,y(288P设设2882|4yy|d则则分析分析2：),sin,cos(P 22设设222|4sincos|d则则分析分析3：平移直线平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求至首次与椭圆相切，切点即为所求.yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX22110064xy 例例3、已知椭圆、已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。练习练习 已知
5、已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正与坐标轴正半轴的两个交点半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边使四边形形OAPB的面积最大的面积最大.)sincos(baA，)20(abab22sin2 224ba 22max4baL )0(12222 babyax sincos4|4baEAFAS 4 a，abS2max sin4cos4|)|(|4baEAFAL 116922 yx，cos8211021cos1221121 BAxxx3sin4211921sin621121 BAyyy13614422 yx21 MBAM sin6cos12，3sin4co
6、s8 yx116)3(6422 yx)0(12222 babyax)sincos(ba，aabkAP cos0sin，cossinabkOP 1cos0sincossin aabab 0coscos)(22222 baba 222cosbab 1cos 1cos1 11222 bab11122 ee212 e122 eB设中点设中点M(x,y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin29y422 x练习练习:1 取一切实数时，连接取一切实数时，连接 A(4sin,6cos)和和B(-4cos,6sin)两点的线段两点的线段的中点轨迹是的中点轨迹是 .A.圆圆 B.椭圆椭圆 C.直线直线 D
7、.线段线段_?_)(,0cos3sin2cos42222通通方方程程为为，那那么么圆圆心心的的轨轨迹迹的的普普为为参参数数、已已知知圆圆的的方方程程为为 yxyx1)sin()cos2(22 yx化化为为)(sincos2为参数为参数 yx1422 yx化为普通方程是化为普通方程是中中点点轨轨迹迹方方程程。上上各各点点连连线线的的为为参参数数和和椭椭圆圆、求求定定点点)(sincos)0,2(3 byaxa 144)(2222 byaax得得上述的方程消去参数，上述的方程消去参数，),(yxM点连线的中点为点连线的中点为解：设定点与椭圆上的解：设定点与椭圆上的)(2sin2cos2为参数为参数
8、则则 byaax 的坐标为的坐标为，则点，则点的倾斜角为的倾斜角为为原点为原点，上一点，且在第一象限上一点，且在第一象限为参数为参数是椭圆是椭圆、POOPyxP3)()(sin32cos44 )1554,554(、B)3,4(、D()B),3,2(、A),3,32(、C5154sin32,554cos4 yx33tan3 OPkOP的的倾倾斜斜角角为为解解：3cos4sin32 xykOP又又 cos2sin 在第一象限在第一象限且点且点又又P,1cossin22 552sin,55cos 双曲线的参数方程双曲线的参数方程)0,0(12222 babyax,1上上在在圆圆因因为为点点CA ,s
9、in,cos baA的的坐坐标标为为 ,sin,cos baOA 所所以以 sin,cosaaxAA ,AAOA 因因为为从从而而所所以以,0 AAOA .0sincoscos2 aaxa记记解解得得.cos ax .sec,seccos1 ax 则则,的终边上的终边上在角在角因为点因为点 B.tan,tan byby 即即由由三三角角函函数数定定义义有有的轨迹的参数方程为的轨迹的参数方程为点点所以所以M,1cossincos1222 因为因为,1tansec22 即即,的轨迹的普通方程为的轨迹的普通方程为后得到点后得到点从消去参数从消去参数所以所以M,这是中心在原点这是中心在原点.轴轴上上的
10、的双双曲曲线线焦焦点点在在x .23,2,2,0 且且的的范范围围为为通通常常规规定定参参数数 由圆的参数方程得点由圆的参数方程得点.tan,sec byax 为参数为参数 baoxy)MBABAOBBy在中，(,)M x y设|tanBBOBtan.bOAAx在中，|cosOAOAcosasec,asec()tanxaMyb所所以以的的轨轨迹迹方方程程是是为为参参数数2a2 22 22 2x xy y消消去去参参数数后后，得得-=1 1,b b这这是是中中心心在在原原点点，焦焦点点在在x x轴轴上上的的双双曲曲线线。1.已知参数方程11xttytt(t 是参数是参数,t 0)化为普通方程化为
11、普通方程,画出方程的曲线画出方程的曲线.2.参数方程sectanxayb(,)22是 参 数表示什么曲线表示什么曲线?画出图形画出图形.练习练习:的的两两个个焦焦点点坐坐标标。、求求双双曲曲线线 tan34sec323 yx(2 15,0)13yx 3sec2()_tanxy、双曲线为参数 的渐近线方程为4?,.,0,122222以以发发现现什什么么结结论论由由此此可可的的面面积积探探求求平平行行四四边边形形两两点点近近线线交交于于分分别别与与两两渐渐行行线线作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平过过点点为为原原点点上上任任意意一一点点为为双双曲曲线线，设设如如图图例例MAOBBAMObab
12、yaxM AMBOxyAMBOxy.xaby 双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为解解 ,tan,sec ba)sec(tan axabby 代代入入把把xaby )tan(sec2 axA)tan(sec2 axBB点点横横坐坐标标同同理理 aAOx 设设ab tan 2sin|OBOASMAOB 平平行行四四边边形形 2sincoscos BAxx 2sincos4tansec2222 a.22tan222ababaa sec()tanxayb为参数2222-1(0,0)xyabab的参数方程为：30,2)22通常规定且，。22221xyab22sec1tan 222222minmin
13、(sec,tan)sec(tan2)tan1tan4tan42(tan1)35tan1,34431QOQOQPQ 解：设双曲线上点的坐标为先求圆心到双曲线上点的最小距离当即或时22221:(2)11OxyPxyQPQ例、已知圆上一点与双曲线上一点，求、两点距离的最小值例例3),tan,sec(aaB)tan,sec(aaA 则则222ayx ,sectan,sectan22aaakaaakBAAA 122 BAAAkk)0,0(12222 babyax)0,(0 xabax220|)tan,sec(ba)tan,sec(ba)tan(tan2 b)sec(sec2(a )sec(sec2)ta
14、n(tan)sec(sec)tan(tan2 axbaby)0(,0 xP)sec(sec2220 abaxabax220|2|secsec|222222223004.(,),Pb xa ya b abPabPR例例 设设 是是双双曲曲线线上上任任意意一一点点过过点点 作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平行行线线,分分别别与与两两渐渐近近线线相相交交于于点点Q Q和和R,R,求求证证:PQ:PQ)10000(215001002gttgtytx 为参数，且为参数，且pxy22)2,2(tan xypxy22 tan2tan22pypx tan1 t),0()0,(t ptyptx222 ta
15、n2tan22pypx),(t ptyptx2222121212121212121,1,)(,)(221ttDttCttBttAMMttMMtptyptx 、，、所在直线的斜率是所在直线的斜率是则弦则弦所对应的参数分别是所对应的参数分别是，上异于原点的不同两点上异于原点的不同两点为参数为参数、若曲线、若曲线212221212122221ttptptptptkMM 的轨迹方程。的轨迹方程。的中点，求点的中点，求点为线段为线段点点，上的动点，给定点上的动点，给定点为抛物线为抛物线、设、设PMMPMxyM002)0,1(22 C练习练习，和和别别是是两两点点对对应应的的参参数数方方程程分分解解：由由
16、于于2121,ttMM的的坐坐标标分分别别为为和和则则可可得得点点21MM，)2,2(),2,2(22221211ptptMptptM)0(22 ppxy1,0)2()2(21212221 ttttptpt所所以以即即),(,yxBAM的坐标分别为的坐标分别为解：设点解：设点)0,)(2,2(),2,2(2121222121 ttttptptptpt且且)2,2(),2,2(),(222121ptptOBptptOAyxOM 则则)(2),(2(122122ttpttpAB ,0,OBOAOBOA所以所以因为因为三点共线，三点共线，且且BMAyptxptMB,)2,2(222 ,0,OBOMA
17、BOM所所以以由由0)(2)(2122122 ttpyttpx,0)(21 yttx)0(21 xxytt即即),2,2(121ptyptxAM 的的轨轨迹迹方方程程这这就就是是点点即即Mxpxyx)0(0222 )2)(2()2)(2(122221ptyxptyptptx 02)(2121 xtpttty化化简简，得得02)(xpxyy.42pAOB的面积最小，最小值为的面积最小，最小值为 12)2()2(21121221 ttpptptOA12)2()2(22222222 ttpptptOB)1()1(22221212 ttttpSAOB2222212 ttp4)(22212 ttp24p
18、 轴对称时，轴对称时，关于关于，即当点，即当点当且仅当当且仅当xBAtt,21 ）点）点）为半径的圆（除去（为半径的圆（除去（为圆心，为圆心，）的轨迹方程是以（的轨迹方程是以（另一个交点另一个交点的两根，的两根，为方程为方程即即为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为以以为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为则以则以（）设）设（法（法0,00,)0(0212)(022,022022)2,2(),2,22222221222212222212122222121ppQxpxyxpxyxttyxpytpxtttyptxptyxOByptxptyxOAptptBptptA 练习练习 已知椭圆已知椭圆C1:及抛
19、物及抛物线线C2:y2=6(x-3/2)；若；若C1C2，求，求m的取值范围。的取值范围。)(sin3cos2为为参参数数 ymx代入得代入得 cos2+4cos+2m-1=0所以所以 t2+4t+2m-1=0 在在-1,1内有解；内有解；。平平分分线线段段所所以以抛抛物物线线的的顶顶点点的的中中点点为为原原点点因因为为DEODE),0,0(),2,2)(2,2(,222121ptptptptBA的坐标分别为的坐标分别为证明：设点证明：设点)2,2(222ptptC 的的坐坐标标为为则则点点)2(1221211ptxttptyAB 的的方方程程为为直直线线)0,2(21tptD 的坐标为的坐标
20、为所以点所以点)2(1221211ptxttptyAC 的的方方程程为为直直线线)0,2(21tptE的的坐坐标标为为所所以以练习练习 4 经过抛物线经过抛物线y2=2px(p0)的顶点的顶点O任作两条互相任作两条互相垂直的线段垂直的线段OA和和OB，以直线，以直线OA的斜率的斜率k为参数，求线为参数，求线段段AB的中点的中点M的参数方程。的参数方程。解：直线解：直线OA的方程为的方程为y=kx，直线，直线OB的方程为的方程为xky1-由由y2=2px和和y=kx，得，得A点坐标为点坐标为)2,2(2kpkp同理同理B点坐标点坐标(2pk2,-2pk)(22为为参参数数kpkkpypkkpx 则则的的坐坐标标为为设设点点),(yxM,2222222pkkppkkpx pkkppkkpy 222的的轨轨迹迹的的参参数数方方程程是是的的中中点点所所以以，线线段段MAB12222 byax1 kxy),0(sincos5为为参参数数 mmyx)5,1()5,0(,55,1 ,1A B C D)1,0(1 m1 m
