1、要点梳理要点梳理1.1.奇函数、偶函数的概念奇函数、偶函数的概念 一般地一般地,如果对于函数如果对于函数f f(x x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个x x，都，都 有有_，那么函数，那么函数f f（x x）就叫做偶函数）就叫做偶函数.一般地一般地,如果对于函数如果对于函数f f(x x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个x x，都，都 有有_，那么函数，那么函数f f（x x）就叫做奇函数）就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y y轴轴 对称对称.2.3 2.3 函数的奇偶性函数的奇偶性 f f（-x x）=f f（x x
2、）f f（-x x）=-=-f f（x x）基础知识基础知识 自主学习自主学习2.2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行一般都按照定义严格进行,一般一般 步骤是步骤是:（1 1）考查定义域是否关于）考查定义域是否关于_对称；对称；（2 2）考查表达式）考查表达式f f（-x x）是否等于）是否等于f f（x x）或）或-f f（x x）：）：若若f f（-x x）=_=_，则，则f f（x x）为奇函数；）为奇函数；若若f f（-x x）=_=_，则，则f f（x x）为偶函数；）为偶函数；若若f f（-x x）=_=_且且f f（-x
3、x）=_,=_,则则f f(x x)既是既是 奇函数又是偶函数；奇函数又是偶函数；若若f f（-x x）-f f（x x）且）且f f（-x x）f f（x x），则），则f f（x x）既）既 不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数.原点原点-f f（x x）f f（x x）-f f（x x）f f（x x）3.3.奇、偶函数的性质奇、偶函数的性质(1)(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_,_,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_(_(填填“相同相同”、“相反相反”）.(2
4、)(2)在公共定义域内在公共定义域内 两个奇函数的和是两个奇函数的和是_,_,两个奇函数的积是偶两个奇函数的积是偶 函数；函数；两个偶函数的和、积是两个偶函数的和、积是_；一个奇函数，一个偶函数的积是一个奇函数，一个偶函数的积是_._.奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数相同相同相反相反基础自测基础自测1.1.对任意实数对任意实数x x,下列函数为奇函数的是下列函数为奇函数的是 （）A.A.y y=2=2x x-3 B.-3 B.y y=-3=-3x x2 2 C.C.y y=ln 5=ln 5x x D.D.y y=-|=-|x x|cos|cos x x 解析解析 A A为非奇非偶函数为非
5、奇非偶函数,B,B、D D为偶函数为偶函数,C,C为奇函数为奇函数.设设y y=f f(x x)=ln 5)=ln 5x x=x xln 5,ln 5,f f（-x x）=-=-x xln 5=-ln 5=-f f（x x）.C2.2.（20082008全国全国理）理）函数函数 的图象关于的图象关于 （）A.A.y y轴对称轴对称 B.B.直线直线y y=-=-x x对称对称 C.C.坐标原点对称坐标原点对称 D.D.直线直线y y=x x对称对称 解析解析 f f（x x）是奇函数）是奇函数.f f（x x）的图象关于原点对称）的图象关于原点对称.xxxf1)(,1)(xxxf).()1(1
6、)(xfxxxxxfC3.3.下列函数中既是奇函数下列函数中既是奇函数,又在区间又在区间-1,1-1,1上单调递上单调递 减的函数是减的函数是 ()()A.A.f f(x x)=sin)=sin x x B.B.f f(x x)=-|)=-|x x-1|-1|C.C.D.D.解析解析 函数是奇函数函数是奇函数,排除排除B B、C C（B B中函数是非奇中函数是非奇 非偶函数，非偶函数，C C中是偶函数），中是偶函数），-1-1，1 1 f f（x x）=sin=sin x x在在-1,1-1,1上是增函数上是增函数,排除排除A,A,故选故选D.D.)(21)(xxaaxfxxxf22ln)(,
7、22 D4.4.已知已知f f(x x）=axax2 2+bxbx是定义在是定义在 a a-1-1，2 2a a 上的偶函数上的偶函数,那么那么a a+b b的值是的值是 （）A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 依题意得依题意得31312121,031,021babaa.31031baB5.5.（20082008福建理）福建理）函数函数f f（x x）=x x3 3+sin+sin x x+1(+1(x xR R),),若若f f（a a）=2=2，则，则f f（-a a）的值为）的值为 （）A.3 B.0 C.-1 D.-2A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析解析 设设g g(x
8、x)=)=x x3 3+sin+sin x x,很明显很明显g g(x x)是一个奇函数是一个奇函数.f f（x x）=g g（x x）+1.+1.f f（a a）=g g（a a）+1=2+1=2，g g（a a）=1=1，g g（-a a）=-1=-1，f f（-a a）=g g（-a a）+1=-1+1=0.+1=-1+1=0.B题型一题型一 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断【例例1 1】判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：(1)(1)(2)(2)判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,应先检查定义域是否应先检查定义域是否 关于原点对称关于原点对称,然后再比较然后再比较f f(x x)
9、与与f f(-(-x x)之间是否相等之间是否相等 或相反或相反.思维启迪思维启迪;11lg)(xxxf.)()(xxxxf 111题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 (1)(1)定义域关于原点对称定义域关于原点对称.故原函数是奇函数故原函数是奇函数.(2)0(2)0且且1-1-x x00 -1-1x x1,1,定义域关于原点不对称定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数故原函数是非奇非偶函数.,11011xxx),(11lg)11lg(11lg)(1xfxxxxxxxf又xx11 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条其中包括两个必备条 件件:一是定义域关于原点对称一是
10、定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的这是函数具有奇偶性的 必要不充分条件必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是所以首先考虑定义域对解决问题是 有利的有利的;二是判断二是判断f f(x x)与与f f(-(-x x)是否具有等量关系是否具有等量关系.在判断奇在判断奇 偶性的运算中偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关可以转化为判断奇偶性的等价等量关 系式系式(f f(x x)+)+f f(-(-x x)=0()=0(奇函数奇函数)或或f f(x x)-)-f f(-(-x x)=0()=0(偶函偶函 数数)是否成立是否成立.探究提高探究提高知能迁移知能迁移1 1 判断函数判断
11、函数f f(x x)=)=的奇偶性的奇偶性.解解 -2 -2x x22且且x x0,0,函数函数f f(x x)的定义域关于原点对称的定义域关于原点对称.f f(-(-x x)=-)=-f f(x x),),即函数即函数f f(x x)是奇函数是奇函数.3342|xx4-4-x x2 200|x x+3|3,+3|3,)()(.)(xxxxxfxxxxxf2222444334 又又题型二题型二 函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用 【例例2 2】判断下面函数的奇偶性】判断下面函数的奇偶性,并求函数的单调区间并求函数的单调区间.求定义域求定义域判断奇偶性判断奇偶性研究在研究在(0,1)(0,1)上的
12、单调性上的单调性.解解 所以函数所以函数f f(x x)的定义域为的定义域为(-1,0)(0,1).(-1,0)(0,1).f f(x x)的定义域关于原点对称的定义域关于原点对称,且对定义域内的任且对定义域内的任 意意x x,所以所以f f(x x)是奇函数是奇函数.思维启迪思维启迪.log)(xxxxf 1112.,110110110 xxxxxxx得得由由须满足须满足),()log(log)(xfxxxxxxxf 11111122有有任取任取x x1 1,x x2 2(0,1),(0,1),且设且设x x1 1 0)0，即，即f f(x x)在在(0,1)(0,1)内单调递减内单调递减.
13、由于由于f f(x x)是奇函数是奇函数,所以所以f f(x x)在在(-1,0)(-1,0)内单调递减内单调递减.f f(x x)的单调递减区间为的单调递减区间为(-1,0)(-1,0)和和(0,1).(0,1).,)(log)(log,).(log)(log)(loglog)()(0112112112112101111211211111111122221211222212222112121 xxxxxxxxxxxxxxxxxfxf所以所以由于由于探究提高探究提高 根据函数的奇偶性根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间讨论函数的单调区间 是常用的方法是常用的方法.奇函数在对称区间上的单调性相同
14、；奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究性的函数的单调性的研究,只需研究对称区间上的单只需研究对称区间上的单调性即可调性即可.知能迁移知能迁移2 2 已知定义域为已知定义域为R R的函数的函数f f(x x)=)=是奇函数是奇函数.(1)(1)求求a a，b b的值；的值；(2)(2)若对任意的若对任意的t tR R，不等式，不等式f f(t t2 2-2-2t t)+)+f f(2(2t t2 2-k k)0)0恒恒 成立成立,求求k k的取值范围的取值范围.解解 (1)(1)因为因为f
15、 f(x x)是奇函数，所以是奇函数，所以f f(0)=0(0)=0，abxx 122.,)()(.)(.,211214121121210211 aaaffaxfbabxx解得解得知知又由又由从而有从而有解得解得即即(2)(2)由由(1)(1)知知由上式易知由上式易知f f(x x)在在(-,+)(-,+)上为减函数上为减函数.又因又因f f(x x)是奇函数，从而不等式是奇函数，从而不等式f f(t t2 2-2-2t t)+)+f f(2(2t t2 2-k k)0 )0 等价于等价于f f(t t2 2-2-2t t)-)-2-2t t2 2+k k.即对一切即对一切t tR R有有3
16、3t t2 2-2-2t t-k k0.0.从而判别式从而判别式=4+12=4+12k k0,0,解得解得k k.31.)(1212122121 xxxxf题型三题型三 抽象函数的奇偶性与单调性抽象函数的奇偶性与单调性【例例3 3】(12(12分分)已知函数已知函数f f(x x),),当当x x,y yR R时时,恒有恒有f f(x x+y y)=f f(x x)+)+f f(y y).).(1)(1)求证：求证：f f(x x)是奇函数；是奇函数；(2)(2)如果如果x x为正实数，为正实数，f f（x x）0,0,并且并且f f(1)=(1)=试试 求求f f(x x)在区间在区间-2-
17、2，6 6上的最值上的最值.(1)(1)根据函数的奇偶性的定义进行证明根据函数的奇偶性的定义进行证明,只需证只需证f f(x x)+)+f f(-(-x x)=0;)=0;(2)(2)根据函数的单调性定义进行证明根据函数的单调性定义进行证明,并注意函数奇并注意函数奇 偶性的应用偶性的应用.思维启迪思维启迪,21(1)(1)证明证明 函数定义域为函数定义域为R R,其定义域关于原点对称其定义域关于原点对称.f f（x x+y y）=f f（x x）+f f（y y），令），令y y=-=-x x,f f(0)=(0)=f f(x x)+)+f f(-(-x x).).令令x x=y y=0,=0
18、,f f(0)=(0)=f f(0)+(0)+f f(0),(0),得得f f(0)=0.(0)=0.f f（x x）+f f（-x x）=0=0，得，得f f(-(-x x)=-)=-f f(x x),),f f(x x)为奇函数为奇函数.4.4分分（2 2）解解 方法一方法一 设设x x,y yR R+，f f（x x+y y）=f f（x x）+f f（y y），），f f（x x+y y）-f f（x x）=f f（y y）.x xR R+，f f（x x）0,0,f f(x x+y y)-)-f f(x x)0,)0,f f(x x+y y)x x,f f(x x)在（在（0 0，+
19、）上是减函数）上是减函数.8.8分分 又又f f（x x）为奇函数，）为奇函数，f f（0 0）=0=0，f f（x x）在（）在（-,+-,+）上是减函数）上是减函数.f f（-2-2）为最大值，）为最大值，f f(6)(6)为最小值为最小值.10.10分分 f f(1)=(1)=f f(-2)=-(-2)=-f f(2)=-2(2)=-2f f(1)=1,(1)=1,f f(6)=2(6)=2f f(3)=2(3)=2f f（1 1）+f f（2 2）=-3.=-3.所求所求f f(x x)在区间在区间-2-2，6 6上的最大值为上的最大值为1 1，最小值，最小值为为-3.12-3.12分
20、分 ,21方法二方法二 设设x x1 1 0,0,f f(x x2 2-x x1 1)0.)0.f f(x x2 2)-)-f f(x x1 1)0.)0.即即f f(x x)在在R R上单调递减上单调递减.f f（-2-2）为最大值，）为最大值，f f（6 6）为最小值）为最小值.10.10分分f f（1 1）=f f（-2-2）=-=-f f（2 2）=-2=-2f f（1 1）=1=1 f f（6 6）=2=2f f（3 3）=2=2f f（1 1）+f f（2 2）=-3.=-3.所求所求f f(x x)在区间在区间-2-2，6 6上的最大值为上的最大值为1 1，最小值，最小值为为-3
21、.12-3.12分分 ,21 探究提高探究提高 （1 1）满足）满足f f(a a+b b)=)=f f(a a)+)+f f(b b)的函数，只的函数，只 要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数.（2 2）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用 方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注.知能迁移知能迁移3 3 函数函数f f(x x)的定义域为的定义域为D D=x x|x x0,0,且满足且满足 对于任意对于任意x x1 1,x x2 2D D,有有f f(x x1 1x x
22、2 2)=)=f f(x x1 1)+)+f f(x x2 2).).（1 1）求）求f f(1)(1)的值；的值；（2 2）判断）判断f f(x x)的奇偶性并证明你的结论；的奇偶性并证明你的结论；（3 3）如果）如果f f(4)=1,(4)=1,f f(3(3x x+1)+1)+f f(2(2x x-6)3,-6)3,且且f f(x x)在在 (0(0，+)+)上是增函数，求上是增函数，求x x的取值范围的取值范围.解解 （1 1）对于任意对于任意x x1 1,x x2 2D D,有有f f(x x1 1x x2 2)=)=f f(x x1 1)+)+f f(x x2 2)，令令x x1
23、1=x x2 2=1,=1,得得f f(1)=2(1)=2f f(1),(1),f f(1)=0.(1)=0.(2)(2)令令x x1 1=x x2 2=-1,=-1,有有f f(1)=(1)=f f(-1)+(-1)+f f(-1).(-1).f f(-1)=(-1)=f f(1)=0.(1)=0.令令x x1 1=-1,=-1,x x2 2=x x有有f f(-(-x x)=)=f f(-1)+(-1)+f f(x x),),f f(-(-x x)=)=f f(x x),),f f(x x)为偶函数为偶函数.（3 3）依题设有）依题设有f f(4(44)=4)=f f(4)+(4)+f f
24、(4)=2,(4)=2,f f（16164 4）=f f（1616）+f f（4 4）=3=3，f f(3(3x x+1)+1)+f f(2(2x x-6)3,-6)3,f f(3(3x x+1)(2+1)(2x x-6)-6)f f(64)(64)(*)21f f(x x)在（在（0 0，+）上是增函数，）上是增函数，(*)等价于不等式组等价于不等式组x x的取值范围为的取值范围为.R,)()()()(3313137533315373136462130621364621306213 xxxxxxxxxxxxxxxx或或或或或或或或即即或或.533313137|xxxx或或1.1.正确理解奇函
25、数和偶函数的定义正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个必须把握好两个 问题问题:(1)(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数定义域在数轴上关于原点对称是函数f f(x x)为奇函为奇函 数或偶函数的必要非充分条件数或偶函数的必要非充分条件;(2)(2)f f(-(-x x)=-)=-f f(x x)或或f f(-(-x x)=)=f f(x x)是定义域上的恒等式是定义域上的恒等式.2.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为为 了便于判断函数的奇偶性了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化有时需要先将函数进行化 简简,或应用定义的等
26、价形式或应用定义的等价形式:f f(-(-x x)=)=f f(x x)f f(-(-x x)f f(x x)=0)=0 =1(1(f f(x x)0).)0).方法与技巧方法与技巧)()(xfxf 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高3.3.奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴轴 对称对称,反之也真反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象利用这一性质可简化一些函数图象 的画法的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性也可以利用它去判断函数的奇偶性.1.1.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否首先应该判断函数定义域是否 关
27、于原点对称关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶定义域关于原点对称是函数具有奇偶 性的一个必要条件性的一个必要条件.失误与防范失误与防范2.2.判断函数判断函数f f(x x)是奇函数是奇函数,必须对定义域内的每一个必须对定义域内的每一个x x,均有均有f f(-(-x x)=-)=-f f(x x).).而不能说存在而不能说存在x x0 0使使f f(-(-x x0 0)=-)=-f f(x x0 0).).对对 于偶函数的判断以此类推于偶函数的判断以此类推.一、选择题一、选择题 1.1.已知已知f f(x x)=)=axax2 2+bxbx是定义在是定义在 a a-1-1，2 2a
28、 a 上的偶函数，上的偶函数，那么那么a a+b b的值是的值是 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 依题意得依题意得31 312121.,31031031021 bababaaB定时检测定时检测2.2.若函数若函数f f（x x）是定义在）是定义在R R上的偶函数，在（上的偶函数，在（-,0-,0 上是减函数，且上是减函数，且f f(2)=0(2)=0，则使得，则使得f f(x x)0)0的取值范围的取值范围 是是 ()()A.(-,2)A.(-,2)B.(2,+)B.(2,+)C.(-,-2)(2,+)C.(-,-2)(2,+)D.(-2,2)D.(-2,2)解析解析 f f
29、（x x）是偶函数且在）是偶函数且在 (-,0(-,0上是减函数，且上是减函数，且f f（2 2）=f f（-2-2）=0=0，可画示意图如图所，可画示意图如图所 示，由图知示，由图知f f(x x)0)0的解集为（的解集为（-2-2，2 2）.D3.3.（20092009辽宁理，辽宁理，9 9）已知偶函数已知偶函数f f(x x)在区间在区间0,0,+）上单调递增，则满足）上单调递增，则满足 的的x x的取的取 值范围是值范围是 （）A.B.A.B.C.D.C.D.)31()12(fxf)32,31()32,31)32,21()32,21解析解析 方法一方法一 当当2 2x x-10,-10
30、,即即x x 时，因为时，因为f f(x x)在在0 0，+）上单调递增，故需满足）上单调递增，故需满足当当2 2x x-10,-10,即即x x 时，由于时，由于f f(x x)是偶函数，故是偶函数，故f f(x x)在在（-,0-,0上单调递减，上单调递减，此时需满足此时需满足21,32,3112xx即.3221 x所以21),31()31(ff.3231,2131,3112xxx综上可得即方法二方法二 f f(x x)为偶函数为偶函数,f f(2(2x x-1)=-1)=f f(|2(|2x x-1|)-1|)又又f f(x x)在区间（在区间（0 0，+）上为增函数）上为增函数,不等式
31、不等式 等价于等价于 )31()12(fxf.|3112 x.,3231311231 xx4.4.(2009(2009陕西文，陕西文，10)10)定义在定义在R R上的偶函数上的偶函数f f(x x)，对，对 任意任意x x1 1,x x2 20,+)(0,+)(x x1 1x x2 2),),有有 则则 （）A.A.f f(3)(3)f f(-2)(-2)f f(1)(1)B.B.f f(1)(1)f f(-2)(-2)f f(3)(3)C.C.f f(-2)(-2)f f(1)(1)f f(3)(3)D.D.f f(3)(3)f f(1)(1)21,321,故有故有f f(3)(3)f f
32、(-2)(-2)00时，时，f f(x x)=1-2)=1-2-x x,则不等式则不等式f f(x x)00时，时，1-21-2-x x=0=0与题意不符，与题意不符，当当x x000，f f（-x x）=1-2=1-2x x，又又f f（x x）为）为R R上的奇函数，上的奇函数，f f（-x x）=-=-f f（x x），），-f f（x x）=1-2=1-2x x，f f（x x）=2=2x x-1-1，f f（x x）=2=2x x-1 2-1 2x x x x-1,-1,不等式不等式 f f(x x)的解集是（的解集是（-，-1-1）.答案答案 A Ax211,21,2121二、填空
33、题二、填空题7.7.已知函数已知函数y y=f f(x x)为奇函数为奇函数,若若f f(3)-(3)-f f(2)=1,(2)=1,则则f f(-2)-(-2)-f f(-3)=_.(-3)=_.解析解析 f f(x x)为奇函数且为奇函数且f f(3)-(3)-f f(2)=1(2)=1，f f(-2)-(-2)-f f(-3)=(-3)=f f(3)-(3)-f f(2)=1.(2)=1.1 18.8.设奇函数设奇函数f f(x x)的定义域为的定义域为-5,5,-5,5,当当x x00，55时时,函数函数y y=f f(x x)的图象如图所示，则使函数值的图象如图所示，则使函数值y y
34、00的的x x的的 取值集合为取值集合为_._.解析解析 由原函数是奇函数由原函数是奇函数,所以所以 y y=f f(x x)在在-5,5-5,5上的图象关于坐上的图象关于坐 标原点对称标原点对称,由由y y=f f(x x)在在0,50,5上上 的图象，得它在的图象，得它在-5-5，00上的图上的图 象象,如图所示如图所示.由图象知，使函数值由图象知，使函数值y y00)0)，在区间，在区间-8,8-8,8上有四个不同上有四个不同 的根的根x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4,则则x x1 1+x x2 2+x x3 3+x x4 4=_.=_.解析解析 因为定义在因为定义
35、在R R上的奇函数，满足上的奇函数，满足f f(x x-4)=-4)=-f f(x x),),所以所以f f(4-(4-x x)=)=f f(x x).).因此，函数图象关于直线因此，函数图象关于直线x x=2=2对称对称 且且f f(0)=0,(0)=0,由由f f(x x-4)=-4)=-f f(x x)知知f f(x x-8)=-8)=f f(x x).).又因为又因为f f(x x)在区间在区间0,20,2上是增函数，所以上是增函数，所以f f(x x)在区间在区间-2,0-2,0 上也是增函数上也是增函数,如图所示，那么方程如图所示，那么方程f f(x x)=)=m m(m m0)0
36、)在区间在区间-8-8，8 8上上有四个不同的根有四个不同的根x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4,不妨设不妨设x x1 1 x x2 2 x x3 3 x x4 4.由对称由对称性知性知x x1 1+x x2 2=-12,=-12,x x3 3+x x4 4=4,=4,所以所以x x1 1+x x2 2+x x3 3+x x4 4=-12+4=-8.=-12+4=-8.答案答案 -8-8 三、解答题三、解答题10.10.设函数设函数f f(x x)=)=x x2 2-2|-2|x x|-1(-3|-1(-3x x3),3),(1)(1)证明证明f f(x x)是偶函数；是偶
37、函数；(2)(2)画出这个函数的图象；画出这个函数的图象；(3)(3)指出函数指出函数f f(x x)的单调区间的单调区间,并说明在各个单调区并说明在各个单调区 间上间上f f(x x)是增函数还是减函数；是增函数还是减函数；(4)(4)求函数的值域求函数的值域.(1)(1)证明证明 x x-3,3,-3,3,f f(x x)的定义域关于原点对称。的定义域关于原点对称。f f(-(-x x)=(-)=(-x x)2 2-2|-2|-x x|-1|-1 =x x2 2-2|-2|x x|-1=|-1=f f(x x),),即即f f(-(-x x)=)=f f(x x),),f f(x x)是偶
38、函数是偶函数.(2)(2)解解 当当x x00时，时，f f(x x)=)=x x2 2-2-2x x-1=(-1=(x x-1)-1)2 2-2-2，当当x x00时，时，f f(x x)=)=x x2 2+2+2x x-1-1=(=(x x+1)+1)2 2-2,-2,即即f f(x x)=)=(x x-1)-1)2 2-2 (0-2 (0 x x3)3)(x x+1)+1)2 2-2 (-3-2 (-3x x0).0).根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图.(3)(3)解解 函数函数f f(x x)的单调区间为的单调区间为-3,-1),-1,0
39、),0,1),1,3.-3,-1),-1,0),0,1),1,3.f f(x x)在区间在区间-3,-1)-3,-1)和和0,1)0,1)上为减函数上为减函数,在在-1,0),1,3-1,0),1,3上为增函数上为增函数.(4)(4)解解 当当x x00时时,函数函数f f(x x)=()=(x x-1)-1)2 2-2-2的最小值为的最小值为-2,-2,最大值为最大值为f f(3)=2(3)=2；当当x x000时，时，-x x0,00）.f f(x x)=)=即即f f(x x)=-)=-x xlg(2+|lg(2+|x x|)(|)(x xR R).).).0()2lg(),0()2lg
40、(xxxxxx12.12.已知函数已知函数 (x x0,0,常数常数a aR R).).(1)(1)讨论函数讨论函数f f(x x)的奇偶性，并说明理由；的奇偶性，并说明理由；（2 2）若函数）若函数f f(x x)在在2 2，+）上为增函数，求实数）上为增函数，求实数a a 的取值范围的取值范围.xaxxf2)(解解 （1 1）当）当a a=0=0时，时，f f（x x）=x x2 2对任意对任意x x(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)，有有f f(-(-x x)=(-)=(-x x)2 2=x x2 2=f f(x x),),f f(x x)为偶函数为偶函数.当当a a00时，时，(
41、x x0,0,常数常数a aR R)，若若x x=1 1，则，则f f(-1)+(-1)+f f(1)=20(1)=20；f f(-1)-(-1)-f f(1),(1),f f(-1)(-1)f f(1).(1).函数函数f f(x x)既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数.综上所述，当综上所述，当a a=0=0时，时，f f(x x)为偶函数；为偶函数；当当a a00时，时，f f（x x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数.xaxxf2)(（2 2）设）设22x x1 1 x x2 2,要使函数要使函数f f(x x)在在x x2,+2,+）上为增函数，）上为增函数，必须必须f f(x x1 1)-)-f f(x x2 2)0)0恒成立恒成立.x x1 1-x x2 20,4,4,即即a a 4,4,x x1 1x x2 2(x x1 1+x x2 2)16,)16,a a的取值范围是（的取值范围是（-，1616.,)()()(2121212122212121axxxxxxxxxaxxaxxfxf 返回返回
