1、高中数学重要公式 1.集合与元素 一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集，通常用大写字母A、B、C表示.集合中的每一对象叫做集合的一个元素，通常用小写字母a、b、c表示。2.集合中元素的性质 确定性、互异性、无序性确定性、互异性、无序性3.集合的表示法列举法、描述法、图示法列举法、描述法、图示法两个集合A与B之间的关系：定义性质子集如果集合A的任何一个元素都是集合B 的元素，那么集合A叫集合B 的子集，记为A B(或或B A).A A;A;若若A B,B C,则则A C;定义性质真子集 如果A是B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A，那么集合A是集合B 的真子集，记为A B
2、(或B A).若A B,B C,则A C集合相等 对于两个集合A与B，若A B 且B A，则这两个集合相等，记为A=B.两个非空集合相等当且仅当它们的元素完全相同.6 6空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.常用数集的记法：数集自然自然数集数集正整正整数集数集整数整数集集有理有理数集数集实数实数集集复数复数集集记法NN*或或N N+ZQRC集合的运算及运算性质定义性质与说明交集由所有属于集合由所有属于集合A 属于集属于集合合B的元素所组成的集合，叫的元素所组成的集合，叫A与与B的交集，记作的交集，记作AB，即，即AB=AA=AA =AB=BA且且x|xA且且xB定义定义性质与说明性
3、质与说明并集并集由属于集合由属于集合A 属于集合属于集合B的元素组成的集合叫的元素组成的集合叫A与与B的并集，记作的并集，记作AB，即，即AB=.AA=AA =AAB=BA补集补集设全集为设全集为U，A是是U的一个子的一个子集，由集，由U中所有不属于中所有不属于A的元的元素组成的集合叫素组成的集合叫A在在U中的补中的补集，记作集，记作 UA，即，即 UA=.A UA=U A UA=U（UA）=A或或x|xA或或xBx|xU且且x A1010其它常用结论其它常用结论:有限集合的子集个数公式 设有限集合A中有n个元素，则A的子集个数有 2n 个其中真子集的个数为2n-1个，非空子集个数为2n-1个
4、，非空真子集个数为2n-2个若 p,则 q 若 q,则 p若p,则q若q,则pl简单命题与复合命题l）区别：是否有逻辑联结词l）复合命题的构成形式：lP P或或Q PQ Q PQ l P P且且Q PQ Q PQ l 非非P P p p pq非非pp且且qp或或q真真真真 假假真真真真真真假假假假假假真真假假真真真真假假真真假假假假真真假假假假非非p真假相反真假相反p且且q一假必假一假必假p或或q一真必真一真必真既不充分也不必要条件充分且必要条件1）A B且且B A，则，则A是是B的的2）若）若A B且且B A，则，则A是是B的的3 3）若）若A BA B且且B AB A，则，则A A是是B
5、B的的4）A B且且B A，则，则A是是B的的22124.()(0)()()(0)()()()(0).5.()0(,)()()0.f xaxbxc af xa xhk af xa xxxxaf xa bf a f b二次函数的三种形式：一般式：；顶点式：；零点式：零点存在的判定：方程在内有实根的充分非必要条件是6 6、函数单调性的判定方法、函数单调性的判定方法1.定义法:2.导数法:3.图像法:4.复合函数单调性的判定:5.和函数单调性的判定:在单调区间上,增函数的图象自左向右看是上升的,减函数的图象自左向右看是下降的.注:函数的单调区间只能是其定义域的子区间;函数的单调区间是连续区间,若区间
6、不连续,用逗号隔开写.7.()()()(2)().8.12.yf xxaf axf axfaxf xf xfxf xf xfxf xfxf x 函数的对称性：函数的图像关于直线对称函数的奇偶性：是奇函数图像关于原点对称；是偶函数图像关于y轴对称 9.10T0T=4a;30T=2a;T4T.f xTf xTf xf xf xxa af xf xf xxa af xf xfx函数的周期性：是周期函数，且周期为；2为奇函数且关于对称是周期函数，且周期为偶函数且关于对称是周期函数，且周期周期为0 周期为幂的有关概念:(1)正整数指数幂(2)零指数幂(3)负整数指数幂(4)正分数指数幂(5)负分数指数幂
7、(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义)(Nnaaaaann 个)0(10aa10,nnaanNa0,1mnmnaaam nNn110,1mnmnmnaam nNnaa有理数指数幂的性质:10,rsr sa aaar sQ 20,srrsaaar sQ 30,0,rrraba babrQ(4)()rrraabb(5)rr ssaaaloglog(0,1,0).logloglogloglog1loglog;loglogamnbaNnmaaamnaaabNbaN aaNNNnNbbambbba11.指数式与对数式的互化：12.对数恒等式：a13.换底公式及其推论：；log 10;l
8、og1.log()logloglogloglogloglog()aaaaaaaanaaaMNMNMMNNMnM nR14.对数的性质：15.对数运算法则：；a1a10a10a0 x0时，时，y1y1.当当x0 x0时，时，0y10yoxo时，时，0y10y1,当当x0 x1y1.xyo1xyo1 当当x1时，时，y0 当当x=1时，时，y=0 当当0 x1时，时，y1时，时，y0 当当x=1时，时，y=0 当当0 x0 1、一般数列、一般数列数列的通项公式数列的通项公式 数列的前数列的前n项和项和)2()1(111nSSnSaannnnnaaaaS 3212、等差数列 等差数列的判定方法:定义
9、法：对于数列an,若 则数列是等差数列.daann1 等差数列的通项公式 dnaan)1(1 等差数列的前n项和 2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1 等差中项如果如果a，A，b成等差数列，那么成等差数列，那么A叫做叫做a与与b的等的等差中项。即：差中项。即：2A=a+b 或或 2baA等差数列的性质1等差数列任意两项间的关系等差数列任意两项间的关系：如果：如果 是等差数列是等差数列的第的第 项，项，是等差数列的第是等差数列的第 项，且项，且 ，公差为公差为 ，则有，则有 nanmamnm ddmnaamn)(2.对于对于等差等差数列数列 ，若，若 ，则则 naqpmnqpmnaaaa
10、3若数列若数列 是等差数列，是等差数列，是其前是其前n项的和，项的和，那么，那么 ，成等差数列成等差数列 nanS*Nk kSkkSS2kkSS233、等比数列、等比数列等比数列的判定方法:1 定义法：对于数列定义法：对于数列an，若，若 ，则数列，则数列an是等比数列。是等比数列。2等比中项法：对于数列等比中项法：对于数列an，若，若 ，则数，则数列列an是等比数列是等比数列.)0(1qqaann212nnnaaa 等比中项如果在如果在a与与b之间插入一个数之间插入一个数G，使，使a，G，b成等比数列，成等比数列，那么那么G叫做叫做a与与b的等比中项。即的等比中项。即 abG2 等比数列的通
11、项公式 11nnqaa等比数列的前n项和 当当 时时)1(1)1(1qqqaSnn)1(11qqqaaSnn1q1naSn 等比数列的性质1等比数列任意两项间的关系等比数列任意两项间的关系：如果：如果 是等是等比比数数列的第列的第m项，项，是等比数列的第是等比数列的第n项，且项，且 ，公公比比为为q，则有，则有2.对于对于等比等比数列，若数列，若 ，则，则 namanm mnmnqaavumnvumnaaaa3若数列若数列an是等是等比比数列，数列，Sn是其前是其前n项的和，那项的和，那么么 ，成等成等比比数列数列 kSkkSS2kkSS2322.数列通项的求法：121321321111ann
12、nnnnnnnnSaf naaaaaaaaf naaaaaaaaaabn+1n+12n+1已知式与有关时，常用。2 递推关系为a时，常用。即a3 递推关系为时，常用。即4 递推关系为a姊妹式法累加法累时，常用乘法构造法。n23.求数列前n项和S 的常用方法：15倒序相加法2 错位相减法3 裂项相消法4 分组求和法并项求和法21nnaaa1适合a形式的数列适合差比数列.1naf nf n适合通项的数列.nnnabc适合通项的数列.n适合通项带有-1 的数列.1.把角度换成弧度2.把弧度换成角度二、弧长公式与扇形面积公式1 1、弧长公式：、弧长公式：=rl2 2、扇形面积公式：、扇形面积公式：S=
13、12 rlS=12 r2RL二.任意角的三角函数设设是一个任意角是一个任意角,的终边上任意一点的终边上任意一点p(除端点外除端点外)的坐标是的坐标是(x,y),它与原点的它与原点的距离是距离是r2222(0)rxyxyyxxryrxyrxrycot,sec,csctan,cos,sinyxosin0cos00cottan0sin0tan00cotc0ostancot1sincsc1cossec1coscotsinsintancos22sincos122tan1sec 22cot1csc 倒数关系商数关系平方关系、特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值诱导公式：,:2符号看象限奇变偶不变口诀为的各
14、三角函数值的化简诱导公式是针对k例：)23sin(cos)2cos(sin)sin(sin)cos(cossin()sincos()costan()tan sin(2)sincos(2)costan(2)tankkk sin()sincos()costan()tan sin()cos2cos()sin2 sin()cos2cos()sin2 3sin()cos23cos()sin2 3sin()cos23cos()sin2 sin()sincos()costan()tan 奇变偶不变，符号看象限2227.sin()sincoscossincos()coscossinsintantantan()
15、.1tantan28.3sincos2sin,sin3cos2sin;63sincos2sin;sincoss4xxxxxxxxxabab两角和与差公式：；化单角单函数公式：2222in()cos,sin.ababab其中2222222222222229.sin2sincoscos2cossin2cos11 2sin2tantan2.1tan30.2sinsinsin31.2cos2cos2cos.11132.sinsinsin222abcRABCabcbcAbcacaBcababCSabCbcAcaB 倍角公式：；正弦定理：余弦定理：；面积定理：2abcss sasbscs其中降幂公式21
16、cos2cos221 cos2sin2三角变换一般技巧有:切化弦 降次 诱导公式变角 辅助角变换公式 妙用1 分子分母同乘(除)一个数 图图象象y=sinxy=cosxxoy22232-11xy22232-11性性质质定义域定义域RR值值 域域-1，1-1，1周期性周期性T=2T=2奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数单调性单调性增函数22,22kk减函数232,22kk增函数2,2kk减函数2,2kko三角函数的图象与性质正切函数的图象与性质y=tanx图图象象22 xyo2323定义域定义域值域值域,2|NkkxxR奇偶性奇偶性 奇函数奇函数周期性周期性T单调性单调性)(2,2(Zkkkx
17、ysin第一种变换第一种变换:图象向左图象向左()或或向右向右()平移平移 个单位个单位 00|)sin(xy横坐标伸长横坐标伸长()或缩短或缩短()到原来的到原来的 倍倍 纵坐标不变纵坐标不变1101)sin(xy纵坐标伸长纵坐标伸长(A1)或缩短或缩短(0A1)或缩短或缩短(0A0)的图象的图象ax2+bx+c=0(a0)的根的根ax2+bx+c0(a0)的解集的解集ax2+bx+c0)的解集的解集x1x2xyOyxOx1yxO0=00有两相异实有两相异实根根x1,x2 (x1x2)有两相等实有两相等实根根 x1=x2=ab2没有实根没有实根x|xx2x|x1 x 0 xyabab2222
18、+=1 0 xyabba222=+abc12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc不不 同同 点点相相 同同 点点xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2POO x F1 F2 A2B1 B2 y A1(-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)c2c757522221(0)xyabab|x|a,|y|b|x|b,|y|a（a,0 ）,(0,b)（b,0 ）,(0,a)(c,0)(0,c)cea)0(12222babxay关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率1(0)xyabab22222222A1（-a，0），），A2（
19、a，0）A1（0，-a），），A2（0，a）1 00yx(a,b)ab 2 22 22 22 2 yaya x R ，或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 (1)ceea 渐近线渐近线ayxb .yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)x axa y R ，或或 (1)ceea byxa 图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)
20、0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px 2px 2py 2py1121 2222200002222121256.MFMF22FF57.(,)1(0)1.58.|2,(02|)59.aaxyxyP xyabababMFMFaaFF2椭圆的定义：点在椭圆内的充要条件：点在椭圆内双曲线的定义：圆锥曲线的通径：2b椭圆、双曲线的通径长为；抛物线的通径长为2p.a2121ABkxx21221241xxxxk）（66.1.2.解决直线与圆锥曲线关系问题的常用方法：设而不求，整体代入 适合中点弦问题曲直联立，韦达定理 适合一般问题S直棱柱侧直棱柱侧=chchS正棱锥侧正棱锥侧ch21 S全全=S侧侧
21、+S底底S正棱锥台正棱锥台S球球=4R2.)hc(c21 2Srh圆柱侧Srl圆锥侧()SrR l圆台侧注：注：V棱棱柱柱=Sh1034CBACBA13VSh67.证线线平行的方法 1.1.若有线面平行，且经过这条直线的平面若有线面平行，且经过这条直线的平面与已知平面相交，则这条直线与交线平行；与已知平面相交，则这条直线与交线平行；2.2.若有面面平行，且都与第三个平面相交，若有面面平行，且都与第三个平面相交，则交线平行；则交线平行；3.3.利用平行线的传递性；利用平行线的传递性；4.4.证明两直线垂直于同一平面；证明两直线垂直于同一平面；5.5.证明两直线的方向向量是共线向量证明两直线的方向
22、向量是共线向量.68.证线面平行的方法 1.1.证明平面外的一条直线与平面内的一条直线证明平面外的一条直线与平面内的一条直线平行；平行；2.2.若有面面平行；则一个平面内的任何一条直若有面面平行；则一个平面内的任何一条直线都与另一平面平行；线都与另一平面平行；3.3.证明平面的法向量与直线的方向向量垂直；证明平面的法向量与直线的方向向量垂直；4.4.证明直线的方向向量与平面的两相交直线的证明直线的方向向量与平面的两相交直线的方向向量是共面向量方向向量是共面向量.69.证面面平行的方法 1.1.证明一个平面内的两条相交直线分别平证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线；行
23、于另一个平面内的两条相交直线；2.2.证明一个平面内的两条相交直线分别平证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；行于另一个平面；3.3.利用平行平面的传递性；利用平行平面的传递性；4.4.证明两平面都垂直于同一直线；证明两平面都垂直于同一直线；5.5.证明两平面的法向量是共线向量证明两平面的法向量是共线向量.70.证线线垂直的方法 1.1.利用三垂线定理；利用三垂线定理；2.2.若线面垂直，则这条直线垂直于平面内若线面垂直，则这条直线垂直于平面内的一切直线；的一切直线；3.3.证明两直线的方向向量的数量积为零证明两直线的方向向量的数量积为零.71.证线面垂直的方法 1.1.证明这条直
24、线垂直于平面内的两条相交直证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线；线；2.2.若面面垂直，经过一个平面内的一点垂直若面面垂直，经过一个平面内的一点垂直与交线的直线与另一个平面垂直；与交线的直线与另一个平面垂直；3.3.若平行线中的一条与平面垂直；则另一条也若平行线中的一条与平面垂直；则另一条也与这个平面垂直；与这个平面垂直；4.4.证明直线的方向向量与平面的法向量共线证明直线的方向向量与平面的法向量共线.72.证面面垂直的方法：1.1.证明一个平面的垂线经过另一个平面；证明一个平面的垂线经过另一个平面；2.2.证明两平面的法向量垂直证明两平面的法向量垂直.1212121273.cos.PA2.
25、sin.ncos3.ncos.a ba bnPA nnn nnn n 用向量法求空间角：1.异面直线所成的角：直线与平面所成的角：当 为锐角时，二面角：当 为钝角时 2222279.480.14;2abcRR2长方体与外接球：正方体与球：正方体与外接球：3a正方体与内切球：a=2R.12n1281.N=m+m+m.82.83.(1)(2)(1).()84.(1)(1)1 2()nmnmmnnmmNmmmnAn nnnmnmAn nnmnCAmmnm 分类计数原理：分步计数原理：排列数公式：！组合数公式：！1185.12.mn mnnmmmnnnCCccc组合数的两个性质：；0112221012
26、186.()(012).87.CCCC288.222nnnnrn rrnnnnnnnrn rrrnnnnnnnnnabC aC abC abC abC bTC ab rn二项式定理及通项：；通项：，各二项式系数的和：奇数项与偶数项的二项式系数和：0 02 21 13 3n nn nn nn nC CC CC CC C 1289.P A+BP AP B.90.P ABP A P B.91.A()(1).92.10(1,2,)21.kkn knninP kC PPPiPP两个互斥事件有一个发生的概率：两个独立事件同时发生的概率：在 次独立重复试验中，事件 恰有k次发生的概率：离散型随机变量的两个性
27、质：；1 1222221122293.94.()()2,.95.96.12,(1).nnnnEx Px Px PE abaEbB n pEnpDxEpxEpxEpDD aba DB n pDnpp 数学期望：数学期望的性质：1；如果方差与标准差：方差的性质：；如果 2226112221197.1,.2 698.xnniiiiiinniiiif xexxxyyx ynx ybyabxxxxnxaybx 正态密度函数：回归方程：；其中 199.10;2()();3(sin)cos;4(cos)sin;115(ln)(log);ln6()()ln.nnxxxxxCxnxnxxxxxaxxaeeaaa
28、 Q几种常见函数的导数：，2100.1()2()3()(0)101.()()()().xuxxuvuvuvuvuvuuvuvvvvyfxyyufxf ux导数的四则运算：；复合函数的导数：的导数或写成：0102.0030001f xfxf xfxf xfxf xf xf xfxf xfx0002导数与函数的单调性：已知在某个区间上可导，1 若在这个区间上恒成立，则在这个区间上单调递增；2 若在这个区间上恒成立，则在这个区间上单调递减；若在这个区间上恒成立，则在这个区间上是常函数.已知在某个区间上可导，1 若在这个区间上单调递增，则在这个区间上恒成立；2 若在这个区间上单调递减，则在这个2区间上
29、恒成立.103.利用导数求极值：左负右正为极小，左正右负为极大.222222104.,R105.|.106.1()()()()2()()()()3()()()()4()()(abicdiac bd abcdzabiababicdiacbd iabicdiacbd iabi cdiacbdbcad iacbdbcadabicdii cdicdcd复数相等：、复数的模：复数的四则运算：；0).224414243107.(,)|.108.1i1i()109.nnnnzabi a bzabizzabiiiinabiab RN共轭复数及性质：与互为共轭复数，互为共轭复数的模相等，且虚数单位i的性质：虚数单位i乘方具有周期性：；复数集与平面上点的关系：任何一个复数都可与平面上的点，对应，故复数集与复平面上的点可建立一一对应关系
