1、第三节第三节 共形映射共形映射 解析函数导数的几何意义解析函数导数的几何意义 共形映射的概念及若干基本定理共形映射的概念及若干基本定理义义解解析析函函数数导导数数的的几几何何意意一一、复平面曲线的交角复平面曲线的交角01,()()(),:(3.1),:,()().,.zz tx tiy tttzzt 我我们们知知道道 平平面面上上有有向向连连续续曲曲线线可可用用连连续续函函数数来来表表示示 其其中中表表示示曲曲线线始始点点对对应应于于参参数数终终点点对对应应于于参参数数这这样样就就规规定定了了曲曲线线的的方方向向是是从从到到规规定定了了方方向向的的曲曲线线就就是是有有向向曲曲线线 下下面面为为
2、方方便便计计 约约定定因因此此曲曲线线的的方方向向是是沿沿着着 增增大大的的方方向向 (),(),()()(),x ty tz tx tiy t 平平面面曲曲线线的的切切向向量量为为在在复复平平面面上上相相应应地地表表示示为为arg(),()(),iz tz tz t e 另另一一方方面面arg()()()(77).z tz tz tx 刻刻划划了了在在点点处处的的切切向向量量与与 轴轴正正向向之之间间的的夹夹角角如如图图图图7-7)3.3(:),()()(:)2.3(:),()()(:22221111 ttiytxtzzCttiytxtzzCz平面的两条有向曲线平面的两条有向曲线今设有今设有
3、01122101111202222102()(),()()arg();()arg()(78);zz tz tCzz toxztCzz toxztCzC 它它们们 交交于于一一点点则则在在处处的的切切线线 正正向向 与与轴轴的的夹夹角角为为在在处处的的切切线线与与轴轴正正向向的的夹夹角角为为如如图图在在 的的切切线线方方向向沿沿逆逆时时针针方方向向转转到到图图7-802211120,arg()arg()(3.4)0.0.zztztCCz 在在 的的切切线线方方向向 转转过过的的角角度度为为表表示示转转过过的的角角度度实实际际上上是是依依逆逆时时针针方方向向的的表表示示转转过过的的角角度度实实际际
4、上上是是依依顺顺时时针针方方向向转转过过角角度度今今后后把把 也也说说成成曲曲线线与与在在 的的交交角角02 解解析析函函数数导导数数的的幅幅角角的的几几何何意意义义0000000(),()0,(3.1).(),(),():()(),:wf zDzD fzCzzzz twf zwf zCwww tf z tt 设设在在区区域域 解解析析又又设设为为 平平面面内内一一条条过过 的的有有向向光光滑滑曲曲线线 它它由由方方程程表表示示 设设将将曲曲线线 映映射射为为 平平面面的的一一条条有有向向光光滑滑曲曲线线000,()()()tw tfz z t 正正向向对对应应于于参参数数 增增大大的的方方向
5、向根根据据复复合合函函数数求求导导法法则则有有00000()arg()arg()arg()(mod2)(3.5)ww touw tfzz t 因因此此曲曲线线 在在处处切切线线与与轴轴正正向向的的夹夹角角为为000(mod2)2arg()arg()arg()(mod2)(3.5)w tz tfz 这这里里表表示示等等式式两两端端允允许许相相差差的的整整数数倍倍图图7-9,)(,97000的的转转动动角角映映射射后后在在经经之之间间的的夹夹角角理理解解为为的的切切线线正正向向在在对对应应点点射射后后曲曲线线的的切切线线正正向向与与映映在在线线而而且且将将原原来来的的曲曲都都相相同同轴轴的的正正向
6、向轴轴与与轴轴与与轴轴中中的的如如果果假假定定图图zzfwCwzCv、yux 000(3.5)(3.5)()0,(arg()1);(2)().,fzCwf zfCzz 是是曲曲线线 经经映映射射后后在在 转转动动角角转转动动角角的的大大小小与与方方向向跟跟曲曲线线 的的形形状状及及方方向向无无关关 这这时时我我们们说说这这种种映映射射具具有有转转动动角角那那么么或或表表明明当当时时的的不不变变性性图图7-9图图7-10平平面面的的分分别别映映射射为为和和把把又又设设点点它它们们交交于于一一和和分分别别为为的的方方程程与与现现在在假假定定曲曲线线wCCzfwtttztzzCC2121221102
7、1)(.,),()(),3.3()2.3()()(:)()()(:)(:,2222111121twtzfwCftwtzfwCf 即即和和曲曲线线 :t1111022220(3.5)arg()arg()arg()(mod2)arg()arg()arg()(mod2)w tz tfzw tz tfz 由由知知22112211arg()arg()arg()arg()(mod2)(3.6)w tw tz tz t 所所以以12001200121200(),.(3.6):,()().zCCwfwf zCzzwCf z 相相交交于于 的的任任何何两两条条曲曲线线和和之之间间的的夹夹上上式式左左端端是是和和
8、在在处处的的夹夹角角角角 其其右右端端是是曲曲线线和和在在 处处的的夹夹大大小小和和方方向向都都等等同同于于经经过过映映射射后后对对应应的的曲曲线线和和之之间间在在的的夹夹角角所所以以这这种种映映射射具具有有保保持持两两曲曲线线间间夹夹角角的的大大小小角角因因此此表表明明和和方方向向不不,.变变的的性性质质 这这种种性性质质称称为为保保角角性性何意义何意义解析函数导数的模的几解析函数导数的模的几03000000000000000(),(),().,(),.,wf zzwzCwwf zf CzCzwf zwwsCzzzzwwwwCzzwwzzs 设设把把 映映射射为为把把过过 的的曲曲线线 映映
9、射射为为过过的的曲曲线线即即又又设设 是是曲曲线线 上上邻邻近近 的的点点它它在在映映射射下下的的像像 是是在在 上上邻邻近近的的点点 用用表表示示曲曲线线 上上 与与 之之间间的的弧弧长长是是这这段段弧弧两两端端点点之之间间的的弦弦长长表表示示曲曲线线 上上对对应应点点与与 之之间间的的弧弧长长是是这这段段弧弧两两端端点点之之间间的的弦弦长长因因曲曲线线 和和 都都是是光光滑滑的的 所所以以当当从从而而时时与与0,.ww 是是等等价价无无穷穷小小与与也也是是等等价价无无穷穷小小因因此此00000000()limlimlim(3.7)zzzzzzwwwwfzzzzzs 0000.(3.7):(
10、)(),.().Czf zwf zzCzCwf z 这这个个极极限限值值称称为为曲曲线线 在在 的的伸伸缩缩率率表表明明是是经经映映射射后后通通过过 的的任任何何光光滑滑曲曲线线 在在 的的伸伸缩缩率率 它它与与曲曲线线 的的形形状状及及方方向向无无关关 我我们们把把这这种种性性质质说说成成在在处处具具有有伸伸缩缩不不变变性性:,有下面的定理有下面的定理综上所述综上所述0000001(),()0,():(1)()arg()(),.f zDzD fzwf zzfzzzCwf zzC 定定理理 设设函函数数在在区区域域 解解析析则则映映射射在在 具具有有下下述述性性质质转转动动角角的的不不变变性性
11、是是 平平面面过过 的的任任意意光光滑滑曲曲线线 经经过过映映射射后后在在 处处的的转转动动角角 它它与与曲曲线线 的的形形状状及及方方向向无无关关000000(2)()()().(3)()()(),.zwf zwf zzwf zzfz 保保角角性性 过过 的的两两条条曲曲线线之之间间的的夹夹角角跟跟经经过过映映射射后后所所得得两两条条曲曲线线之之间间在在的的夹夹角角在在大大小小及及方方向向上上保保持持不不变变伸伸缩缩率率不不变变性性 过过 的的任任一一条条曲曲线线经经映映射射后后在在 的的伸伸缩缩率率均均为为与与曲曲线线的的形形状状及及方方向向无无关关 221wzziwzziw 例例 求求在
12、在处处的的伸伸缩缩率率和和旋旋转转角角。问问将将经经过过点点且且平平行行于于实实轴轴正正向向的的曲曲线线的的切切线线方方向向映映成成平平面面上上哪哪个个方方向向，并并作作图图。0000(),(),().(),().wf zzzwf zzwf zzwf zDwf zD 定定义义设设在在 的的邻邻域域内内有有定定义义 且且在在 具具有有保保角角性性和和伸伸缩缩率率不不变变性性 则则称称映映射射在在 是是共共形形的的 或或称称在在 是是共共形形映映射射 如如果果在在区区域域 的的每每一一点点都都是是共共形形映映射射 则则说说是是区区域域 内内的的共共形形映映射射共形映射的概念共形映射的概念01基本定
13、理基本定理共形映射的概念及若干共形映射的概念及若干二二、.形形映映照照或或保保角角映映射射共共形形映映射射有有时时又又称称为为共共000000002(),()0,(),arg(),().()()0,().wf zzfzwf zzfzzfzzwf zDfzwf zD 定定理理 设设函函数数在在 解解析析 且且则则映映射射在在 是是共共形形的的表表示示这这个个映映射射在在 的的转转动动角角表表示示这这个个映映射射在在 的的伸伸缩缩率率如如果果在在 解解析析且且处处处处有有则则映映射射是是 内内的的共共形形映映射射1下下面面阐阐述述定定理理 的的几几何何意意义义 000012011221012021
14、122(),(),()0,()()(),()()wf zDzD wf zfzCCzzf Cf Cwf zCzzCzzwf zwf z 设设在在 内内解解析析与与是是 平平面面过过 的的两两条条光光滑滑曲曲线线和和分分别别是是它它们们经经映映射射后后的的像像 在在邻邻近近 取取一一点点在在邻邻近近 取取一一点点则则和和1201212012012012000,(),(),()wzzwf zwwwzz zzz zzwf zw wwzwfz 分分别别在在和和且且邻邻近近用用直直线线段段或或光光滑滑曲曲线线段段连连接接和和它它在在映映射射下下的的像像是是 平平面面上上连连接接和和的的光光滑滑曲曲线线段段
15、 这这样样 在在 平平面面有有一一个个以以和和 为为顶顶点点的的小小曲曲边边三三角角形形 当当和和非非常常接接近近时时 它它与与三三角角形形近近似似 经经映映射射后后得得到到以以和和为为顶顶点点的的小小曲曲边边三三角角形形 这这两两个个曲曲边边三三角角形形在在 处处的的顶顶角角与与在在处处的的顶顶角角相相等等 夹夹这这两两个个顶顶角角的的对对应应边边长长度度之之比比近近似似地地等等于于,.所所以以这这两两个个小小曲曲边边三三角角形形是是近近似似地地相相似似的的图图7-11,(712),.wz 以以上上定定义义的的共共形形映映射射不不仅仅要要求求映映射射要要保保持持两两曲曲线线间间夹夹角角大大小
16、小不不变变 而而且且方方向向也也不不变变 二二者者有有一一项项不不满满足足就就不不是是共共形形映映射射 例例如如是是关关于于实实轴轴的的对对称称映映射射它它虽虽然然保保持持两两曲曲线线间间夹夹角角的的大大小小不不变变但但方方向向却却变变相相反反了了图图所所以以它它不不是是共共形形映映射射图图7-12本定理本定理关于共形映射的若干基关于共形映射的若干基023()(),().wf zDDGf D 定定理理保保域域性性定定理理 设设在在区区域域 内内解解析析且且不不恒恒为为常常数数 则则 的的像像也也是是一一区区域域000004(),(),(),arg()().RiemannDGzwwf zDGzD
17、 wGwf zfzwf zDG 定定理理映映照照定定理理 设设 和和 分分别别是是扩扩充充 平平面面和和扩扩充充 平平面面的的两两个个边边界界均均不不止止一一点点的的单单连连通通区区域域 则则存存在在双双方方单单值值的的共共形形映映射射把把 映映成成又又若若给给定定和和一一实实数数则则唯唯一一存存在在满满足足条条件件的的共共形形映映射射把把 双双方方单单值值共共形形映映射射的的为为.,000在在这种映射便可能不再存这种映射便可能不再存条件条件而如果希望附加更多的而如果希望附加更多的存在的了存在的了这种共形映射便是唯一这种共形映射便是唯一点的转动角时点的转动角时映射在映射在并规定并规定和和对对应
18、点对对应点不过当我们要求给定一不过当我们要求给定一但不唯一但不唯一的共形映射是存在的的共形映射是存在的映成映成把把止一点的单连通区域时止一点的单连通区域时都是边界不都是边界不和和映照定理告诉我们当映照定理告诉我们当注记注记zwzGDGDRiemann,.DGDG在在共共形形映映射射中中 把把上上半半平平面面或或单单位位圆圆作作为为标标准准区区域域要要实实现现 到到 的的映映射射 只只需需实实现现 到到上上半半平平面面或或单单位位圆圆的的映映射射 再再实实现现上上半半平平面面或或单单位位圆圆到到 的的映映射射5(),(),(),().D wf zDDDzDDwDwf zDD 定定理理边边界界对对
19、应应原原理理 设设简简单单可可求求长长封封闭闭曲曲线线 围围成成区区域域在在解解析析 把把 一一一一地地映映成成围围成成区区域域当当 沿沿 关关于于 的的正正向向移移动动 即即移移动动过过程程中中落落在在 的的左左边边 时时 沿沿关关于于的的正正向向移移动动 则则把把一一一一共共形形地地映映成成图图7-13713,图图是是边边界界对对应应原原理理的的示示意意图图 它它说说明明讨讨论论共共形形映映射射时时要要注注意意边边界界方方向向与与所所围围区区域域的的配配合合 根根据据边边界界对对应应原原理理(),(),(),.DDf DDf DDwf zDDDDD 当当区区域域 及及在在 解解析析的的函函
20、数数给给定定时时 要要想想求求像像区区域域只只要要先先求求出出边边界界在在映映射射下下的的像像及及其其方方向向 再再由由边边界界对对应应原原理理可可知知 由由所所围围区区域域并并在在方方向向配配合合上上跟跟与与 关关系系一一致致即即是是所所求求的的22()212,?wf zzzziz 例例试试求求映映射射在在点点处处的的旋旋转转角角 并并说说明明它它在在 平平面面的的哪哪一一部部分分放放大大 哪哪一一部部分分缩缩小小()22,(12)4,fzzfii 解解()arg(12)arg(4)2wf zfii 故故在在处处的的旋旋转转角角为为()()211211,1,2wf zzfzzzz 又又在在
21、处处的的伸伸缩缩率率为为当当即即时时 映映射射是是缩缩小小的的.,211,112映射是放大的映射是放大的时时即即当当 zz.,21122外外部部放放大大内内部部缩缩小小把把圆圆周周 zzzw123()(,)(,)()0,(,)(,).f zu x yiv x yfzu x ycv x yc 例例设设在在全全平平面面解解析析且且证证明明曲曲线线族族和和曲曲线线族族互互相相正正交交11221212(),(,),(,),(),(,)(,).wf zu x ycwuuczv x ycwvvcucvcwf zu x ycv x yc 证证由由条条件件知知实实现现共共形形映映射射 特特别别地地 它它把把曲
22、曲线线映映成成 平平面面垂垂直直于于 轴轴的的直直线线把把 平平面面的的曲曲线线映映成成 平平面面垂垂直直于于 轴轴的的直直线线直直线线和和直直线线是是互互相相垂垂直直的的 而而具具有有保保角角性性它它们们的的原原像像和和也也是是正正交交的的2,.注注记记 例例 即即7.27.2的的例例4 4 我我们们在在这这里里给给出出的的是是第第二二个个证证明明 1140Im2wDzzwz 例例 映映射射将将区区域域：映映为为 平平面面上上的的什什么么区区域域？22,1zxiywuivuivxiywuv 解解 设设 则则 2222uxuvvyuv 221122vyuv 当当时时，22(1)1,uv即即 2
23、200vyuv 当当时时，0.v 即即1:Im0|1|1wDGwwwz 所所以以将将区区域域 映映为为区区域域且且5:0,01sin.2Dxywz 例例 求求矩矩形形在在映映射射下下的的像像714,:0(0),2:(01),2:1(0),:0(01).2DOA AB BCCOOA yxAB xyBCyxCO xy 解解如如图图矩矩形形 的的边边界界依依次次由由线线段段和和组组成成 它它们们的的方方程程分分别别为为图图7-14)sin(cos)cos(sin)sin(iyxiyxiyxw xshyixchycossin .cos),(,sin),(xshyyxvxchyyxu ,0),(),20
24、(sin),(yxvxxyxuOA 的方程代入上式得的方程代入上式得将将)10(0:sin uvOAzwOA映映射射下下的的像像为为在在所所以以2222,sin:0,(11):sin1,cos1(0)21.(1)(1)AB BCCOwzA BvuchBCuxchvxshxuvchsh 用用同同样样的的方方法法可可求求出出和和在在映映射射下下的的像像分分别别为为它它是是椭椭圆圆在在第第一一象象限限的的部部分分)20(,cos)1(0,sin)1(0:)(xxshvxchuDfG).0,0(,1)1()1(:2222 vushvchuG限限的的部部分分这这是是椭椭圆圆内内部部在在第第一一象象:0,(01)714,sinC OuvshDwz 其其方方向向对对应应关关系系如如图图由由边边界界对对应应原原理理知知矩矩形形区区域域在在映映射射下下的的像像为为
