1、第五章微分法:)?()(xF积分法:)()?(xf互逆运算不定积分 2022-12-5cyx-ljy2第一节与第二节三、三、基本积分公式基本积分公式 四、不定积分的性质四、不定积分的性质 一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 第一节与第二节第一节与第二节 不定积分的概念、性质 与基本公式 2022-12-5cyx-ljy3一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念定义定义 1.若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x)满足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在区间 I 上的一个原函数.则称 F(x)为f(x)2022-12-5cyx-ljy4问题问题:
2、1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理定理1.,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)(存在原函数.(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数2022-12-5cyx-ljy5定理定理 5.1,)()(的一个原函数是若xfxF的所有则)(xf原函数都在函数族CxF)(C 为任意常数)内.证证:1)的原函数是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函数是设)()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF)()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个
3、常数C它属于函数族.)(CxF即2022-12-5cyx-ljy6定义定义 2.)(xf在区间 I 上的原函数全体称为Ixf在)(上的不定积分,d)(xxf其中 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数;xxfd)(被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;若,)()(xfxF则CxFxxf)(d)(C 为任意常数)C 称为积分常数积分常数,不可丢不可丢!例如,xxdeCxexx d2Cx 331xxdsinCx cos记作2022-12-5cyx-ljy7二、不定积分的几何意义二、不定积分的几何意义:)(xf的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族
4、.yxO0 x的积分曲线积分曲线.2022-12-5cyx-ljy8例例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解解:xy2xxyd2Cx 2所求曲线过点(1,2),故有C2121C因此所求曲线为12 xyyx)2,1(O2022-12-5cyx-ljy9三、三、基本积分公式基本积分公式利用逆向思维利用逆向思维xkd)1(k 为常数)Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln时0 x)1()ln()ln(xxx12022-12-5cyx-ljy1021d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cx sinxx2cosd)8(x
5、xdsec2Cx tan或Cx cotarc21d)5(xxCx arcsin或Cx cosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cot2022-12-5cyx-ljy11xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxxde)12(Cxexaxd)13(Caaxln22221(14)dln0 xxxaCaxa2022-12-5cyx-ljy12四、不定积分的基本性质四、不定积分的基本性质xxfkd)(.1xxgxfd)()(.2xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0(kd3.d xxxfd)()(xfdxxfd)(xx
6、fd)(或4.dxC)(xF)(xF或Cd)(xF)(xF2022-12-5cyx-ljy13例例2求下列不定积分求下列不定积分：22(1)d;xxx3(2)(1)d.xx解解(1)由于由于222244xxxx22dd4 d4xxxxx原式344.3xxCx(2)由于由于43d(1)4(1)dxxx41d(1)4x原式41(1).4xC2022-12-5cyx-ljy14例例 3求下列不定积分求下列不定积分：332(1)d;x xxxx 321(3)d;1xxxx(2)2(e1)d;xxx222(1)12(4)d.1xxxxxx解解23d(1)d32dxx xxxx原式133223ln63xx
7、xC323ln6.3x xxxC(2)2(e1)d;xxx321(3)d;1xxxx222(1)12(4)d.1xxxxxx2022-12-5cyx-ljy152dd1xx xx解原式21arctan.2xxC(2e)d2 dxxxx解原式221dd21xxxxx解原式(2e)2.1 ln2ln2xxCdd2arcsinxx xxx21ln2arcsin.2xxxC2022-12-5cyx-ljy162(3)tand;x x例例 4求下列不定积分求下列不定积分：2cos(1)d;1 sinxxx221(2)d;sincosxxx(4)sec(tan2sec)d.xxxx解解21 sin(1)d
8、1 sinxxx原式(1 sin)dxxdsin dxx xcos.xxC221(2)d;sincosxxx2(3)tand;x x(4)sec(tan2sec)d.xxxx2022-12-5cyx-ljy172(sec1)dx解原式2222sincosdsincosxxxxx解原式22secdcscdx xx xtancot.xxC2secddx xxtan.xxCsec2tan.xxC2sec tan d2 secdxx xx x解原式2022-12-5cyx-ljy18例例5.已知求因此1d()xxf x1()d2xf xxxeC解：1()2xf xxe112xx e1d()xxf x2
9、dxex2xeC 2022-12-5cyx-ljy19例例6.求：212d41xx 2112d4xxx2022-12-5cyx-ljy20内容小结内容小结1.不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形恒等变形,及 基本积分公式基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质积分性质2022-12-5cyx-ljy21作作 业业 习题册习题册 P75P78 （练习一及练习二）（练习一及练习二）2022-12-5cyx-ljy22思考与练习思考与练习1.证明 xxxx1arctan2)21arccos(),1
10、2arcsin(和.12的原函数都是xx2.若则的原函数是,)(exfx d)(ln2xxfx提示提示:xe)(e)(xxfxlne)(ln xfx1Cx 2212022-12-5cyx-ljy233.若)(xf是xe的原函数,则xxxfd)(ln提示提示:已知xxfe)(0e)(Cxfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln102022-12-5cyx-ljy244.若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为,sin x则)(xf的一个原函数是().;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示:已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)(?或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx2022-12-5cyx-ljy255.求下列积分:22d;(1)xxx提示提示:222211(1)(1)xxxx22111xx)(2x2x2022-12-5cyx-ljy266.求不定积分解：解：.d1e1e3xxxxxxd1e1e3xxxd1e)1(e2(ee1)xx2(ee1)dxxx21ee2xxxC
